المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة
إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات الثلاثة المقترحة.
قيس طول ضلع مربع مساحته $(1-\sqrt{2})^{2}$ هو:
أ) $1-\sqrt{2}$ ب) $\sqrt{2}-1$
ليكن $(O, I, J)$ معينا في المستوي والنقطتان $A(\sqrt{12}, 2)$ و $B(2\sqrt{3}, -2)$ إذن:
أ) $A$ و $B$ متناظران بالنسبة لـ $(OI)$ ب) $A$ و $B$ متناظران بالنسبة لـ $(OJ)$
مثلث متقايس الأضلاع محيطه $\sqrt{72}+\sqrt{9}$ إذن قيس طول ضلعه:
أ) $6\sqrt{2}$ ب) $2\sqrt{2}+1$
ليكن $(O, I, J)$ معينا متعامدا في المستوي و $E(3, 1)$ و $F(-2, 1)$ فإن مجموعة النقاط $M(x, y)$ بحيث $x\le0$ و $y=1$ هي:
أ) $[JF)$ ب) $[JF]$ ج) $[EF)$
السؤال 1: طول الضلع $L$ هو القيمة المطلقة لجذر المساحة
$$ L = \sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |1-\sqrt{2}| $$
بما أن $1 < \sqrt{2}$، فإن $1-\sqrt{2} < 0$
$$ L = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 $$
الإجابة الصحيحة هي: ب) $\sqrt{2}-1$
السؤال 2: المناظرة بالنسبة لمحور
لدينا $A(\sqrt{12}, 2) = A(2\sqrt{3}, 2)$ و $B(2\sqrt{3}, -2)$
النقطتان لهما نفس الفاصلة $x_A = x_B = 2\sqrt{3}$
ولهما إرتيبان متعاكسان $y_A = -y_B$
إذن $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$
الإجابة الصحيحة هي: أ) $A$ و $B$ متناظران بالنسبة لـ $(OI)$
السؤال 3: قيس طول ضلع مثلث متقايس الأضلاع
المحيط $P = \sqrt{72}+\sqrt{9} = \sqrt{36 \times 2} + 3 = 6\sqrt{2} + 3$
طول الضلع $L = \frac{P}{3}$
$$ L = \frac{6\sqrt{2} + 3}{3} = \frac{6\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{3} = 2\sqrt{2} + 1 $$
الإجابة الصحيحة هي: ب) $2\sqrt{2}+1$
السؤال 4: مجموعة النقاط $M(x, y)$ بحيث $x\le0$ و $y=1$
النقطة $J$ في المعلم $(O, I, J)$ هي $J(0, 1)$
النقطة $F$ هي $F(-2, 1)$
مجموعة النقاط المطلوبة هي نقاط الإرتيب $y=1$ والتي فاصلتها $x \le 0$
هذه المجموعة هي نصف المستقيم الذي أصله $J(0, 1)$ ويشمل $F(-2, 1)$، أي نصف المستقيم $[JF)$
الإجابة الصحيحة هي: أ) $[JF)$
نعتبر العبارة التالية حيث $x$ عدد حقيقي: $E=(\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3})+3\sqrt{3}+3x$
1- بين أن $E=\sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$
2- جد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
$$ (1) E=0 $$
$$ (2) |\sqrt{\frac{1}{3}}E|=|x-\sqrt{3}| $$
1- تبيان أن $E=\sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$
نشر العبارة $E$:
$$ E = (\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3})+3\sqrt{3}+3x $$
$$ E = \sqrt{3}x^2 - 2(\sqrt{3})^2x + 3x - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}+3x $$
$$ E = \sqrt{3}x^2 - 6x + 3x - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}+3x $$
$$ E = \sqrt{3}x^2 + (-6+3+3)x + (-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}) $$
$$ E = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} $$
$$ E = \sqrt{3}(x^2 - 3) $$
باستعمال المتطابقة الهامة $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$$ E = \sqrt{3}(x^2 - (\sqrt{3})^2) $$
$$ E = \sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $$
2- إيجاد العدد الحقيقي $x$
(1) $E=0$
$$ \sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) = 0 $$
$$ x-\sqrt{3} = 0 \quad \text{أو} \quad x+\sqrt{3} = 0 $$
$$ x = \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{3} $$
مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$
(2) $|\sqrt{\frac{1}{3}}E|=|x-\sqrt{3}|$
نعوض $E$ بقيمتها المختصرة: $E = \sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$
$$ |\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})|=|x-\sqrt{3}| $$
بما أن $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 3} = \sqrt{1} = 1$:
$$ |(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})| = |x-\sqrt{3}| $$
$$ |x-\sqrt{3}||x+\sqrt{3}| = |x-\sqrt{3}| $$
$$ |x-\sqrt{3}|(|x+\sqrt{3}| - 1) = 0 $$
$$ |x-\sqrt{3}| = 0 \quad \text{أو} \quad |x+\sqrt{3}| = 1 $$
الحالة 1: $|x-\sqrt{3}| = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3}$
الحالة 2: $|x+\sqrt{3}| = 1 \quad \Rightarrow \quad x+\sqrt{3} = 1 \quad \text{أو} \quad x+\sqrt{3} = -1$
$$ x = 1-\sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -1-\sqrt{3} $$
مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \{\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}\}$
نعتبر العبارتين التاليتين حيث $x$ عدد حقيقي:
$$ A=2(\frac{3}{2}-\sqrt{3})-[\sqrt{4}-|\sqrt{8}-2|]-(1-\sqrt{12}) $$
$$ B=\sqrt{8}(2-2\sqrt{2})-(x-\sqrt{32})(-1+\sqrt{2}) $$
1) بيّن أن $A=2\sqrt{2}-2$
2) أ) بيّن أن $A-B=(\sqrt{2}-1)(2+x)$
ب) استنتج قيمة العدد الحقيقي $x$ بحيث $A=B$
3) إذا علمت أن $x=-1+\sqrt{2}$ أحسب $A-B$
4) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $A=B+\sqrt{2}-2$
1) تبيان أن $A=2\sqrt{2}-2$
$$ A = (3-2\sqrt{3})-[2-|\sqrt{8}-2|]-(1-2\sqrt{3}) $$
بما أن $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$، فإن $\sqrt{8}-2 > 0$
$$ A = 3-2\sqrt{3} - [2-(\sqrt{8}-2)] - 1+2\sqrt{3} $$
$$ A = (3 - 1) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - [2-\sqrt{8}+2] $$
$$ A = 2 - [4-2\sqrt{2}] $$
$$ A = 2 - 4 + 2\sqrt{2} $$
$$ A = 2\sqrt{2} - 2 $$
2) أ) تبيان أن $A-B=(\sqrt{2}-1)(2+x)$
نختصر العبارة $B$ أولاً:
$$ B = 2\sqrt{2}(2-2\sqrt{2})-(x-4\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) $$
$$ B = 4\sqrt{2} - 8 - (\sqrt{2}x - x - 8 + 4\sqrt{2}) $$
$$ B = 4\sqrt{2} - 8 - \sqrt{2}x + x + 8 - 4\sqrt{2} $$
$$ B = x - \sqrt{2}x = (1-\sqrt{2})x $$
ثم نحسب $A-B$:
$$ A-B = (2\sqrt{2}-2) - (1-\sqrt{2})x $$
$$ A-B = 2(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)x $$
$$ A-B = (\sqrt{2}-1)(2+x) $$
2) ب) استنتاج قيمة $x$ بحيث $A=B$
المعادلة $A=B$ تعني $A-B=0$
$$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = 0 $$
بما أن $\sqrt{2}-1 \neq 0$
$$ 2+x = 0 $$
$$ x = -2 $$
النتيجة: $x = -2$
3) حساب $A-B$ إذا كان $x=-1+\sqrt{2}$
نعوض قيمة $x$ في العبارة المختصرة $A-B = (\sqrt{2}-1)(2+x)$
$$ A-B = (\sqrt{2}-1)(2 + (-1+\sqrt{2})) $$
$$ A-B = (\sqrt{2}-1)(1 + \sqrt{2}) $$
$$ A-B = (\sqrt{2})^2 - 1^2 $$
$$ A-B = 2 - 1 = 1 $$
النتيجة: $A-B = 1$
4) إيجاد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $A=B+\sqrt{2}-2$
$$ A-B = \sqrt{2}-2 $$
نعوض $A-B$ بعبارتها المختصرة:
$$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = \sqrt{2}-2 $$
نختصر الطرف الأيمن: $\sqrt{2}-2 = - (2-\sqrt{2}) = - (\sqrt{2}(\sqrt{2}-1))$
$$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = -\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) $$
نقسم على $(\sqrt{2}-1)$ (وهو غير معدوم):
$$ 2+x = -\sqrt{2} $$
$$ x = -2-\sqrt{2} $$
النتيجة: $x = -2-\sqrt{2}$
المعلم $(O, I, J)$ متعامد من المستوي. النقاط: $A(3, 0)$، $B(0, 4)$، $C(3, 4)$، $D(-3, 4)$
2) بين ان المثلث $ABC$ قائم
3) بين ان $AB=OC$
4) بين ان $ABC=ODC$ (تطابق المثلثين)
5) ابن $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $O$ و $F$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $A$
6) حدد معللا جوابك إحداثيات $F$
7) بين ان $CE=DF$
8) أحسب مساحة الرباعي $OAFE$
2) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم
نحسب أطوال الأضلاع بالمسافة $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$$ AC^2 = (3-3)^2 + (4-0)^2 = 0 + 16 = 16 $$
$$ BC^2 = (3-0)^2 + (4-4)^2 = 9 + 0 = 9 $$
$$ AB^2 = (0-3)^2 + (4-0)^2 = 9 + 16 = 25 $$
نلاحظ أن $\mathbf{AC^2 + BC^2 = 16 + 9 = 25}$
وبما أن $AB^2 = 25$
فإن $AC^2 + BC^2 = AB^2$
حسب المبرهنة العكسية لمبرهنة بيتاغور، المثلث $\mathbf{ABC}$ قائم في $C$
3) تبيان أن $AB=OC$
$$ AB = \sqrt{25} = 5 $$
$$ OC^2 = (3-0)^2 + (4-0)^2 = 9 + 16 = 25 $$
$$ OC = \sqrt{25} = 5 $$
إذن $\mathbf{AB = OC = 5}$
4) تبيان أن $ABC$ و $ODC$ متطابقان
لدينا $A(3, 0)$، $B(0, 4)$، $C(3, 4)$، $O(0, 0)$، $D(-3, 4)$
نحسب أضلاع المثلثين:
في $\triangle ABC$: $AB=5$، $AC=4$، $BC=3$
في $\triangle ODC$:
$$ OD^2 = (-3-0)^2 + (4-0)^2 = 9 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{OD = 5} $$
$$ OC = 5 $$
$$ DC^2 = (3-(-3))^2 + (4-4)^2 = 6^2 + 0 = 36 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{DC = 6} $$
بما أن أطوال الأضلاع في $\triangle ODC$ هي $5$، $5$، $6$، وفي $\triangle ABC$ هي $5$، $4$، $3$
فإن $\triangle ABC$ و $\triangle ODC$ **ليسا متطابقين**.
نستنتج أن هناك خطأ في نص السؤال أو إحداثيات النقطة $D$ أو أن السؤال يقصد المقارنة فقط.
6) إحداثيات $F$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $A$
بما أن $F$ مناظرة $D$ بالنسبة لـ $A$، فإن $A$ هي منتصف $[DF]$
$$ x_A = \frac{x_D + x_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{-3 + x_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 6 = -3 + x_F \quad \Rightarrow \quad \mathbf{x_F = 9} $$
$$ y_A = \frac{y_D + y_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{4 + y_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = 4 + y_F \quad \Rightarrow \quad \mathbf{y_F = -4} $$
النتيجة: $F(9, -4)$
7) تبيان أن $CE=DF$
إحداثيات $E$ مناظرة $C(3, 4)$ بالنسبة لـ $O(0, 0)$ هي $E(-3, -4)$
نحسب $CE^2$:
$$ CE^2 = (-3-3)^2 + (-4-4)^2 = (-6)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100 $$
$$ CE = 10 $$
نحسب $DF^2$: $D(-3, 4)$ و $F(9, -4)$
$$ DF^2 = (9-(-3))^2 + (-4-4)^2 = (12)^2 + (-8)^2 = 144 + 64 = 208 $$
بما أن $100 \neq 208$، فإن $\mathbf{CE \neq DF}$
نستنتج أن هناك خطأ في نص السؤال أو الإحداثيات.
8) أحسب مساحة الرباعي $OAFE$
نقاط الرباعي: $O(0, 0)$، $A(3, 0)$، $F(9, -4)$، $E(-3, -4)$
نلاحظ أن $y_E = y_F = -4$، إذن $(EF)$ مواز لمحور الفواصل. $O(0, 0)$ و $A(3, 0)$ على محور الفواصل.
الرباعي $\mathbf{OAFE}$ هو شبه منحرف قائم (أو متوازي أضلاع)
الضلعان $(OA)$ و $(EF)$ متوازيان.
طول القاعدة الأولى: $OA = 3$
طول القاعدة الثانية: $EF = |9 - (-3)| = 12$
الارتفاع $h$ هو البعد بين $(OA)$ و $(EF)$، وهو $|-4 - 0| = 4$
مساحة شبه المنحرف: $$ \mathcal{A} = \frac{OA + EF}{2} \times h $$
$$ \mathcal{A} = \frac{3 + 12}{2} \times 4 $$
$$ \mathcal{A} = \frac{15}{2} \times 4 = 15 \times 2 = 30 $$
النتيجة: مساحة الرباعي $\mathbf{OAFE}$ هي 30 وحدة مساحة.
يمثل الشكل شبه منحرف $BCKL$ قاعدتاه $[BC]$ و $[LK]$. $R$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(LK)$. $O$ نقطة من نصف المستقيم $[BR)$ بحيث $BO=4$. $(OC)$ يقطع $(BL)$ في $E$. $A$ المسقط العمودي لـ $E$ على $(OB)$ بحيث $AB=1$.
1) أ- عين على $[OB]$ النقطة $H$ حيث $OH=3,5$. الموازي لـ $(BC)$ والمار من $H$ يقطع $(BL)$ في $M$.
ب- بيّن أن $\mathbf{HM=\frac{15}{8}}$ (سنقوم بالحساب الصحيح)
ج- بيّن أن $\mathbf{HM=\frac{1}{2}AE}$ (سنقوم بالحساب الصحيح)
د- استنتج $BC$ علما أن $EC=1,25$
2) عين $J$ النقطة من $[OC]$ بحيث $EJ=EA$. إذا علمت أن $JK=2,5$، بين أن نصف المستقيم $[OC)$ هو منصف الزاوية $\widehat{AOK}$.
1) د- استنتاج $BC$
1- إثبات التوازي:
بما أن $[BC]$ و $[LK]$ قاعدتا شبه المنحرف، فإن $(BC) // (LK)$
بما أن $R$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(LK)$، فإن $(BR) \perp (LK)$
إذن $(BR) \perp (BC)$، وبالتالي $\mathbf{\triangle OBC}$ قائم في $\mathbf{B}$
2- تطبيق مبرهنة طالاس لإيجاد $OC$:
لدينا $O, A, B$ على استقامة واحدة. $A \in [OB]$ بحيث $OA = OB - AB = 4 - 1 = 3$
$(EA) \perp (OB)$ (لأن $A$ مسقط $E$) و $(BC) \perp (OB)$ (لأن $\triangle OBC$ قائم في $B$)
إذن $\mathbf{(EA) // (BC)}$
في $\mathbf{\triangle OBC}$، $A \in (OB)$ و $E \in (OC)$ و $(EA) // (BC)$
$$ \frac{OE}{OC} = \frac{OA}{OB} $$
$$ \frac{OE}{OC} = \frac{3}{4} $$
بما أن $E$ و $C$ و $O$ على استقامة واحدة و $EC=1,25$، وبما أن $OE < OC$ فإن $E$ بين $O$ و $C$
$$ EC = OC - OE = OC - \frac{3}{4} OC = \frac{1}{4} OC $$
$$ OC = 4 \times EC = 4 \times 1,25 = 5 $$
3- حساب $BC$ (مبرهنة بيتاغور):
في $\triangle OBC$ القائم في $B$:
$$ BC^2 = OC^2 - OB^2 $$
$$ BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 $$
$$ BC = 3 $$
النتيجة: $\mathbf{BC = 3}$ (صنتمتر)
1) ب- و ج- حساب $HM$ و المقارنة مع $AE$
نحسب أولاً $AE$: بما أن $\frac{AE}{BC} = \frac{OA}{OB}$
$$ AE = BC \times \frac{3}{4} = 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2,25 $$
نحسب $HM$: بما أن $(HM) // (BC)$ و $H \in (OB)$، وبافتراض أن $M$ تقع على $(OC)$ عوضاً عن $(BL)$ (لتطبيق طالاس)، أو أن $L, O, C$ على استقامة واحدة (غير معطى):
سنعتبر $\triangle OBC$ مركز التناسب $O$ (أو $B$):
$$ \frac{HM}{BC} = \frac{OH}{OB} \quad (\text{على افتراض } M \in (OC) \text{ و } H \in (OB)) $$
$$ HM = BC \times \frac{OH}{OB} = 3 \times \frac{3,5}{4} = 3 \times \frac{7}{8} = \frac{21}{8} = 2,625 $$
القيمة المحسوبة هي $\mathbf{HM = \frac{21}{8}}$. هذا يختلف عن $\frac{15}{8}$
المقارنة مع $AE$: $\frac{HM}{AE} = \frac{21/8}{9/4} = \frac{21}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{7}{6}$
هذا يختلف عن $\frac{1}{2}$. نستنتج وجود خطأ في نص السؤال (1-ب) و (1-ج).
2) تبيان أن $[OC)$ هو منصف الزاوية $\widehat{AOK}$
(نحتاج إلى معلومات إضافية عن $K$ و $L$ لتحديد $OK$ و $\widehat{AOK}$، السؤال يبدو ناقصاً أو معقداً للغاية لهذا المستوى.)
إذا افترضنا أن $O$, $B$, $R$, $K$ على استقامة واحدة، فإن $\widehat{AOK} = \widehat{AOB} = 180^{\circ}$. ومنصفها هو $(AE)$، وليس بالضرورة $(OC)$.
سنفترض أن $K$ هي نقطة على محور التراتيب (غير معطى) $\Rightarrow$ **لا يمكن إثبات ذلك بالمعطيات الحالية.**