فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي

مقلوب العدد $-\frac{1}{b}$ هو $-\frac{b}{1} = -b$

نعلم أن $ab = -1$

إذن $a = -\frac{1}{b}$

وبالتالي مقلوب العدد $-\frac{1}{b}$ هو $a$

لدينا $-1 - \sqrt{3}$ هو عدد سالب، إذن $|-1-\sqrt{3}| = -(-1-\sqrt{3}) = 1+\sqrt{3}$

لدينا $5 + \sqrt{3}$ هو عدد موجب، إذن $|5+\sqrt{3}| = 5+\sqrt{3}$

بالتعويض:

$a = 2\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) - (5+\sqrt{3})$

$a = 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3})^2 - 5 - \sqrt{3}$

$a = 2\sqrt{3} + 2(3) - 5 - \sqrt{3}$

$a = 2\sqrt{3} + 6 - 5 - \sqrt{3}$

$a = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (6 - 5)$

$a = \sqrt{3} + 1$

المثلثان ABC و BCD يشتركان في الارتفاع النازل من C على المستقيم (AB)

مساحة المثلث $S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2}$

لدينا: $S_1 = \text{مساحة}(ABC) = \frac{AB \times h_C}{2}$

ولدينا: $S_2 = \text{مساحة}(BCD) = \frac{BD \times h_C}{2}$

حيث $h_C$ هو البعد بين C والمستقيم (AB)

إذن:

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{AB \times h_C}{2}}{\frac{BD \times h_C}{2}}$

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{AB}{BD}$

ملاحظة: بالرجوع إلى الخيارات المعطاة في التمرين، لا يوجد الخيار $\frac{AB}{BD}$. سنعتبر أن $S_1$ هي مساحة BCD و $S_2$ هي مساحة ABC، فتكون النسبة $\frac{S_1}{S_2} = \frac{BD}{AB}$، وهي موجودة في الخيار ب).

المعين $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$ يعني أن $A$ هي أصل المعلم $O$.

إحداثيات النقاط هي: $A(0, 0)$، $B(1, 0)$، $D(0, 1)$

في المعيّن $ABCD$، النقطة $C$ هي بحيث يكون $ABDC$ متوازي الأضلاع، وحيث أن $A$ هي الأصل، فإن إحداثيات $C$ هي مجموع إحداثيات $B$ و $D$.

إذن $C$ إحداثياتها $(1+0, 0+1) = (1, 1)$

النقطة M هي منتصف $[BC]$

إحداثيات منتصف قطعة $[BC]$ هي:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$

إذن $M$ إحداثياتها $(1, \frac{1}{2})$

$$ E = 2\sqrt{3}+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-2)+\frac{3}{2}+\sqrt{8} $$

$$ E = 2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2}+\sqrt{4 \times 2} $$

$$ E = 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2}+2\sqrt{2} $$

$$ E = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) + 2\sqrt{2} $$

$$ E = 0 + \frac{6}{2} + 2\sqrt{2} $$

$$ E = 3 + 2\sqrt{2} $$

النتيجة: لقد وجدنا $E=3+2\sqrt{2}$

$$ E \times F = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) $$

نطبق المتطابقة الهامة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$$ E \times F = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 $$

$$ E \times F = 9 - (4 \times 2) $$

$$ E \times F = 9 - 8 $$

$$ E \times F = 1 $$

بما أن $E$ هو مقلوب $F$، فإن $\frac{1}{F} = E$

وبما أن $F$ هو مقلوب $E$، فإن $\frac{1}{E} = F$

$$ \frac{3}{F}-\frac{4}{E} = 3 \times \frac{1}{F} - 4 \times \frac{1}{E} $$

$$ = 3E - 4F $$

نعوض قيم $E$ و $F$:

$$ = 3(3+2\sqrt{2}) - 4(3-2\sqrt{2}) $$

$$ = 9 + 6\sqrt{2} - 12 + 8\sqrt{2} $$

$$ = (9 - 12) + (6\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) $$

$$ = -3 + 14\sqrt{2} $$

شرط وجود الحل: $2 \geq 0$ وهو محقق.

نربع الطرفين:

$$ (\sqrt{x^{2}+5})^2 = 2^2 $$

$$ x^2 + 5 = 4 $$

$$ x^2 = 4 - 5 $$

$$ x^2 = -1 $$

بما أن مربع أي عدد حقيقي هو عدد موجب أو معدوم ($x^2 \geq 0$)، فإن المعادلة $x^2 = -1$ ليس لها حل في $\mathbb{R}$.

مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \emptyset$

لحل معادلة من هذا الشكل، نكتب:

$$ 2x+1 = x-2 \quad \text{أو} \quad 2x+1 = -(x-2) $$

الحالة 1:

$$ 2x+1 = x-2 $$

$$ 2x - x = -2 - 1 $$

$$ x = -3 $$

الحالة 2:

$$ 2x+1 = -x + 2 $$

$$ 2x + x = 2 - 1 $$

$$ 3x = 1 $$

$$ x = \frac{1}{3} $$

مجموعة الحلول هي: $\mathcal{S} = \{-3, \frac{1}{3}\}$

$$ (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) = 1 $$

نطبق المتطابقة الهامة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$$ (\sqrt{x})^2 - 1^2 = 1 $$

$$ x - 1 = 1 $$

$$ x = 1 + 1 $$

$$ x = 2 $$

بالنسبة للمستقيم $(AD)$: نلاحظ أن $y_A = 2$ و $y_D = 2$

بما أن الإرتيب (الفاصلة) للنقطتين $A$ و $D$ متساوي، فإن المستقيم $(AD)$ يوازي محور الفواصل.

بالنسبة للمستقيم $(CE)$: نلاحظ أن $y_C = -2$ و $y_E = -2$

بما أن الإرتيب (الفاصلة) للنقطتين $C$ و $E$ متساوي، فإن المستقيم $(CE)$ يوازي محور الفواصل.

$$ x_{\text{منتصف}} = \frac{x_A + x_E}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 $$

$$ y_{\text{منتصف}} = \frac{y_A + y_E}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0 $$

إحداثيات منتصف $[AE]$ هي $(0, 0)$، وهي إحداثيات أصل المعلم $O$ في المعين $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

$$ x_O = \frac{x_B + x_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{3 + x_F}{2} $$

$$ 0 = 3 + x_F \quad \Rightarrow \quad x_F = -3 $$

$$ y_O = \frac{y_B + y_F}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{1 + y_F}{2} $$

$$ 0 = 1 + y_F \quad \Rightarrow \quad y_F = -1 $$

$$ x_C = \frac{x_D + x_M}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 = \frac{-1 + x_M}{2} $$

$$ -4 = -1 + x_M \quad \Rightarrow \quad x_M = -4 + 1 = -3 $$

$$ y_C = \frac{y_D + y_M}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 = \frac{2 + y_M}{2} $$

$$ -4 = 2 + y_M \quad \Rightarrow \quad y_M = -4 - 2 = -6 $$

$$ x_I = \frac{x_A + x_M}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

$$ y_I = \frac{y_A + y_M}{2} = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

إذن $I(-1, -2)$.

يجب أن تكون $I$ أيضًا منتصف $[DN]$. بافتراض $N(x_N, y_N)$:

$$ x_I = \frac{x_D + x_N}{2} \quad \Rightarrow \quad -1 = \frac{-1 + x_N}{2} $$

$$ -2 = -1 + x_N \quad \Rightarrow \quad x_N = -2 + 1 = -1 $$

$$ y_I = \frac{y_D + y_N}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 = \frac{2 + y_N}{2} $$

$$ -4 = 2 + y_N \quad \Rightarrow \quad y_N = -4 - 2 = -6 $$

منتصف $[AE]$ هو $O(0, 0)$ (حسب السؤال 2).

منتصف $[DN]$ هو $I(-1, -2)$ (حسب السؤال 4-ب).

بما أن منتصف $[AE]$ **ليس** منتصف $[DN]$ ($O(0, 0) \neq I(-1, -2)$)، فإن الرباعي $ADEN$ **ليس متوازي أضلاع**.