🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 4
🚀 التمرين رقم 1 (اختيار الإجابة الصحيحة) 🚀

أعط الإجابة الصحيحة الموافقة لكل سؤال:

  1. $$\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$ يساوي:
    $$1+\sqrt{5}$$ $$5+\sqrt{5}$$ $$1+\sqrt{5}$$
    $$\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$
    $$= \frac{5\sqrt{5}}{5} + 1$$
    $$= \sqrt{5} + 1$$
  2. اذا كان $$(O,I,J)$$ معيّنا من المستوى والنقطتين $M(x,y)$ و $N(-x,-y)$ حيث $$x\in\mathbb{R}_{-}^{*}$$ و $$y\in\mathbb{R}^{*}$$ فإن:
    $$(MN)\perp(\ )$$ (احتمال وجود خطأ في النص) $$(MN)//(OJ)$$ $$(MN)//(OI)$$
    إحداثيات $M(x,y)$ و $N(-x,-y)$ تعني أن النقطة $O(0,0)$ هي منتصف القطعة $$[MN]$$ ($M$ و $N$ متناظرتان بالنسبة إلى $O$).
    بما أن $$x \neq 0$$ و $$y \neq 0$$، فإن المستقيم $$(MN)$$ هو مستقيم يمر من $O$ ولا يوازي محوري الأفاصيل $$(OI)$$ أو الأراتيب $$(OJ)$$.
    **ملاحظة:** بناءً على الخيارات المتاحة، السؤال غير صحيح بالمعطيات الحالية. إذا افترضنا وجود خطأ طباعي وأن النقطتين هما $M(x,y)$ و $N(x',y)$ حيث لهما نفس الإرتوب، فإن $$(MN)//(OI)$$. سنختار هذا الخيار بافتراض الخطأ.
  3. $a$ و $b$ عددان حقيقيان حيث $$ab=\sqrt{2}$$ فإن مقلوب $a$ هو:
    $$\frac{\sqrt{2}}{2}b$$ $$\frac{b}{2}$$ $$\sqrt{2}b$$
    مقلوب $$a$$ هو $$\frac{1}{a}$$
    من المعطى: $$a = \frac{\sqrt{2}}{b}$$، إذن $$\frac{1}{a} = \frac{b}{\sqrt{2}}$$
    $$ \frac{1}{a} = \frac{b}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$
    $$ \frac{1}{a} = \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}b $$
  4. $$\frac{\sqrt{2y^{2}}}{y}$$ حيث $y$ عدد حقيقي سالب قطعا، إذن يساوي:
    $$y\sqrt{2}$$ $$-\sqrt{2}$$ $$\sqrt{2}$$
    $$\frac{\sqrt{2y^{2}}}{y} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{y^{2}}}{y}$$
    بما أن $$\sqrt{y^{2}}=|y|$$ و $$y$$ عدد حقيقي سالب قطعا ($$y<0$$)، فإن $$\sqrt{y^{2}}=-y$$
    $$\frac{\sqrt{2}(-y)}{y} = -\sqrt{2}$$
📝 التمرين رقم 2 📝

لتكن العبارتين التاليتين: $$E=|3-\pi|-|-1-\pi|+2x$$ و $$F=(\sqrt{2}-3)(2x+1)+(3-\sqrt{2})(x+3)$$

  1. (1) بين أن $$E=2x-4$$ و $$F=(\sqrt{2}-3)(x-2)$$
    **تبسيط $$E$$:**
    لدينا $$\pi \approx 3.14$$، إذن $$3-\pi < 0$$ و $$-1-\pi < 0$$
    $$E = |3-\pi|-|-1-\pi|+2x$$
    $$E = -(3-\pi) - (-(-1-\pi)) + 2x$$
    $$E = -3+\pi - (1+\pi) + 2x$$
    $$E = -3+\pi - 1 - \pi + 2x$$
    $$E = 2x - 4$$
    **تبسيط $$F$$:**
    $$F = (\sqrt{2}-3)(2x+1) + (3-\sqrt{2})(x+3)$$
    نعلم أن $$3-\sqrt{2} = -(\sqrt{2}-3)$$
    $$F = (\sqrt{2}-3)(2x+1) - (\sqrt{2}-3)(x+3)$$
    $$F = (\sqrt{2}-3) [(2x+1) - (x+3)]$$
    $$F = (\sqrt{2}-3) [2x+1 - x-3]$$
    $$F = (\sqrt{2}-3) (x-2)$$
  2. (2) أحسب $$E$$ إذا علمت أن $$x=\sqrt{2}$$
    $$E = 2x-4$$
    نعوض $$x$$ بقيمتها $$\sqrt{2}$$:
    $$E = 2\sqrt{2} - 4$$
  3. (3) أوجد العدد الحقيقي $$x$$ في كل حالة من الحالات التالية إن أمكن ذلك:
    أ) $$|E|=\pi-4$$
    $$|E| = |2x-4|$$
    $$-4$$$$\pi-4 \approx 3.14 - 4 = -0.86$$
    بما أن $$\pi-4$$ عدد سالب و $$|E|$$ عدد موجب أو منعدم، فإن المعادلة $$|E|=\pi-4$$ مستحيلة.
    مجموعة الحلول هي $$S=\emptyset$$
  4. ب) $$E=F$$
    $$2x-4 = (\sqrt{2}-3)(x-2)$$
    $$2(x-2) = (\sqrt{2}-3)(x-2)$$
    $$2(x-2) - (\sqrt{2}-3)(x-2) = 0$$
    **نستخرج العامل المشترك** $$(x-2)$$
    $$(x-2) [2 - (\sqrt{2}-3)] = 0$$
    $$(x-2) [2 - \sqrt{2}+3] = 0$$
    $$(x-2) [5 - \sqrt{2}] = 0$$
    بما أن $$5 - \sqrt{2} \ne 0$$، فإن:
    $$x-2 = 0 \implies x=2$$
  5. (4) اختصر العبارة $$b=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^{2}}+\frac{1}{5}\sqrt{98}-2\sqrt{\frac{2}{25}}$$ ثم بين أن $$b=3+2\sqrt{2}$$ (الرجاء الانتباه لوجود خطأ في نتيجة $$b$$).
    $$b = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^{2}}+\frac{1}{5}\sqrt{98}-2\sqrt{\frac{2}{25}}$$
    $$b = \frac{1}{2}|-3| + \frac{1}{5}\sqrt{49\times 2} - 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}$$
    $$b = \frac{1}{2}(3) + \frac{1}{5}(7\sqrt{2}) - 2\frac{\sqrt{2}}{5}$$
    $$b = \frac{3}{2} + \frac{7\sqrt{2}}{5} - \frac{2\sqrt{2}}{5}$$
    $$b = \frac{3}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{5}$$
    $$b = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} $$
    **ملاحظة:** النتيجة المحصلة هي $$b=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$$، وهي لا تساوي النتيجة المطلوبة في نص التمرين ($$3+2\sqrt{2}$$). سنستعمل النتيجة المطلوبة في السؤال التالي.
📝 التمرين رقم 3 📝

ليكن $$a=(2-\sqrt{2})^{2}$$

  1. (1) أ- بين أن $$a=6-4\sqrt{2}$$
    $$a=(2-\sqrt{2})^{2}$$
    $$a=2^2 - 2(2)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$$
    $$a=4 - 4\sqrt{2} + 2$$
    $$a=6 - 4\sqrt{2}$$
  2. ب- استنتج أن $$a$$ مقلوب $$b$$. (نعتبر $$b=3+2\sqrt{2}$$ كما طلب في التمرين السابق)
    مقلوب $$b$$ هو $$\frac{1}{b}$$
    $$\frac{1}{b} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$
    $$\frac{1}{b} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} \times \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$$
    $$\frac{1}{b} = \frac{3-2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9 - 8}$$
    $$\frac{1}{b} = 3-2\sqrt{2}$$
    بما أن $$a=6-4\sqrt{2} = 2(3-2\sqrt{2})$$
    إذن $$a = 2 \times \frac{1}{b}$$
    **الاستنتاج:** $$a$$ ليس مقلوب $$b$$، بل هو ضعف مقلوب $$b$$ (يوجد خطأ في نص السؤال).
  3. (2) اختصر $$c=\frac{8-\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$$ واستنتج أن $$c$$ مقابل $$a$$.
    $$c = \frac{8-\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$$
    $$c = \frac{8\sqrt{2}}{2} - \sqrt{\frac{72}{2}}$$
    $$c = 4\sqrt{2} - \sqrt{36}$$
    $$c = 4\sqrt{2} - 6$$
    بما أن $$a=6-4\sqrt{2}$$، فإن
    $$c = -(6 - 4\sqrt{2}) = -a$$
    **الاستنتاج:** $$c$$ هو مقابل $$a$$ ($$c=-a$$).
  4. (3) ليكن $$MNP$$ مثلث قائم في $$P$$ بحيث $$MP=3-2\sqrt{2}$$ و $$NP=6-4\sqrt{2}$$، بين أن $$S_{MNP}=\frac{3}{2b}+\sqrt{2}$$ (الرجاء الانتباه لوجود خطأ في المساواة المطلوبة).
    مساحة مثلث قائم في $$P$$ هي $$S_{MNP} = \frac{1}{2} \times MP \times NP$$
    لدينا $$NP = 6-4\sqrt{2} = 2(3-2\sqrt{2})$$
    $$S_{MNP} = \frac{1}{2} \times (3-2\sqrt{2}) \times 2(3-2\sqrt{2})$$
    $$S_{MNP} = (3-2\sqrt{2})^2$$
    $$S_{MNP} = 3^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2$$
    $$S_{MNP} = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$$
    **ملاحظة:** المساحة الحقيقية هي $$17-12\sqrt{2}$$، وهي لا تساوي العبارة المطلوبة $$\frac{3}{2b}+\sqrt{2}$$ ($$4.5-2\sqrt{2}$$). يوجد خطأ في نص المساواة المطلوب إثباتها.
🗺️ التمرين رقم 4 (المعين في المستوي) 🗺️

نعتبر معيناً $$(O,I,J)$$ حيث $$OI=OJ$$ وعين النقاط $A(3,0)$ و $B(2,2)$ و $C(0,2)$.

  1. ب- عين النقطة $$D$$ حيث يكون الرباعي $$ABCD$$ متوازي أضلاع. حدد إحداثيات النقطة $$D$$ معللاً جوابك.
    ليكون $$ABCD$$ متوازي أضلاع يجب أن تكون منتصفات أقطاره $$[AC]$$ و $$[BD]$$ متطابقة.
    منتصف $$[AC]$$ هو $$M_{AC} = \left(\frac{3}{2} , 1\right)$$ (من السؤال السابق).
    نفرض $$D(x,y)$$. منتصف $$[BD]$$ هو $$M_{BD} = \left(\frac{2+x}{2} , \frac{2+y}{2}\right)$$.
    بمساواة الإحداثيات:
    الأفصول: $$\frac{2+x}{2} = \frac{3}{2} \implies 2+x = 3 \implies x=1$$
    الإرتوب: $$\frac{2+y}{2} = 1 \implies 2+y = 2 \implies y=0$$
    إحداثيات النقطة $$D$$ هي $$D(1, 0)$$.
  2. ج- حدد مسقط النقطة $$B$$ على $$(OI)$$ وفقاً لمنحى $$(CD)$$ معللاً جوابك.
    مسقط النقطة $$B(2,2)$$ على $$(OI)$$ (محور الأفاصيل، أي $$y=0$$) وفقاً لمنحى $$(CD)$$ هو النقطة $$P$$ على $$(OI)$$ (أي $$P(x_P, 0)$$) بحيث يكون المستقيم $$(BP)$$ موازياً للمستقيم $$(CD)$$.
    $C(0,2)$، $D(1,0)$، $B(2,2)$، $P(x_P, 0)$.
    للمستقيمين $$(CD)$$ و $$(BP)$$ نفس "ميلان" (نفس العلاقة بين فرق الإحداثيات).
    العلاقة بين الإحداثيات لـ $$\vec{CD}$$ هي $$(x_D-x_C, y_D-y_C) = (1, -2)$$
    العلاقة بين الإحداثيات لـ $$\vec{BP}$$ هي $$(x_P-x_B, y_P-y_B) = (x_P-2, 0-2)$$
    بما أن $$(BP) // (CD)$$، يجب أن يكون $$(x_P-2, -2)$$ متناسباً مع $$(1, -2)$$، أي متساوياً.
    $$-2 = -2 \implies$$ الشرط محقق.
    $$x_P-2 = 1 \implies x_P = 3$$
    إحداثيات المسقط $$P$$ هي $P(3, 0)$، وهي النقطة $$A$$.
  3. د- حدد مجموعة النقاط $$M(x,y)$$ حيث $$y=2$$ و $$x\le2$$
    $$y=2$$ تعني أن النقاط تنتمي إلى المستقيم الأفقي الذي يمر من $$C$$ و $$B$$.
    $$x\le2$$ تعني أن أفاصيل هذه النقاط أصغر من أو تساوي 2.
    إذن مجموعة النقاط $$M$$ هي نصف المستقيم الذي أصله $$B(2,2)$$ ويمر من $$C(0,2)$$ (أي نصف المستقيم $$[BC$$ على استقامته في اتجاه $$C$$).