🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 3
🚀 التمرين رقم 1 (اختيار الإجابة الصحيحة) 🚀

إختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات التالية:

  1. إذا كان $$A=3x^{2}-5\sqrt{2}x+1$$ و $$x=\sqrt{2}$$ فإن $$A$$ يساوي:
    $$A=0$$ $$-3$$ $$-2$$
    $$A = 3x^{2}-5\sqrt{2}x+1$$
    نعوض $$x$$ بقيمتها $$\sqrt{2}$$:
    $$A = 3(\sqrt{2})^{2}-5\sqrt{2}(\sqrt{2})+1$$
    $$A = 3(2) - 5(2) + 1$$
    $$A = 6 - 10 + 1$$
    $$A = -3$$
  2. في معين $$(O,I,J)$$ النقطة $E(4,5)$ و $F(4,5)$ (إحداثيات متطابقة). ما هي صفة القطعة $$[EF]$$؟
    $$(OJ)$$ هو الموسط $$(OI)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[EF]$$
    **ملاحظة:** بما أن إحداثيات $E$ و $F$ متطابقة ($E=F$)، فإن القطعة $$[EF]$$ هي نقطة.
    **افتراض وجود خطأ مطبعي وإحداثيات النقطة $F$ هي $F(-4, 5)$:**
    لدينا $$E(4,5)$$ و $$F(-4,5)$$، $E$ و $F$ لهما نفس الإرتوب $y=5$.
    محور الأفاصيل $$(OI)$$ هو $y=0$. محور الأراتيب $$(OJ)$$ هو $x=0$.
    موسط القطعة $$[EF]$$ هو المستقيم العمودي على $$[EF]$$ في منتصفها $M$.
    أفصول منتصف $M$: $$x_M = \frac{4+(-4)}{2} = 0$$
    بما أن $x_M=0$، فإن $M$ تقع على محور الأراتيب $$(OJ)$$.
    بما أن $$(EF)$$ مستقيم أفقي ($y=5$)، فإن الموسط هو مستقيم عمودي.
    إذن الموسط هو $$(OJ)$$ (محور الأراتيب).
  3. $$\sqrt{10^{2}-8^{2}}$$ يساوي:
    $$4$$ $$6$$ $$2$$
    $$\sqrt{10^{2}-8^{2}}$$
    $$= \sqrt{100 - 64}$$
    $$= \sqrt{36}$$
    $$= 6$$
  4. إذا كان $$5x(3x-4)-3x+4=0$$ فإن $$x$$ يساوي:
    $$x=\frac{1}{5}$$ أو $$x=\frac{4}{3}$$ $$x=\frac{4}{3}$$ $$x=0$$
    $$5x(3x-4)-3x+4=0$$
    $$5x(3x-4)-(3x-4)=0$$
    **نستخرج العامل المشترك** $$(3x-4)$$
    $$(3x-4)(5x-1)=0$$
    إما $$3x-4=0$$ أو $$5x-1=0$$
    $$3x=4 \implies x=\frac{4}{3}$$
    $$5x=1 \implies x=\frac{1}{5}$$
📝 التمرين رقم 2 📝
  1. (1) لتكن العبارة $$D=(-\frac{22}{7}-\pi+b)-[\sqrt{2}-(c-a-\pi)+(c-\frac{22}{7})]$$ أ) بين أن $$D=b-a-\sqrt{2}$$.
    $$D = -\frac{22}{7}-\pi+b - [\sqrt{2}-c+a+\pi+c-\frac{22}{7}]$$
    $$D = -\frac{22}{7}-\pi+b - \sqrt{2}+c-a-\pi-c+\frac{22}{7}$$
    نجمع الحدود المتشابهة:
    $$D = (\frac{22}{7}-\frac{22}{7}) + (c-c) + b-a - 2\pi - \sqrt{2}$$
    $$D = 0 + 0 + b-a - 2\pi - \sqrt{2}$$
    **ملاحظة:** العبارة الصحيحة هي $$D = b-a-2\pi-\sqrt{2}$$، وهناك خطأ في نص التمرين الأصلي (يجب أن يتم اختصار $$\pi$$ و $$2\pi$$). سنعتمد النتيجة المطلوبة في السؤال التالي:
    (بافتراض أن $$-2\pi$$ يجب أن تختصر)
    $$D = b-a-\sqrt{2}$$
  2. ب) أحسب $$D$$ إذا علمت أن $$a-b=3-\sqrt{2}$$.
    لدينا $$a-b = 3-\sqrt{2}$$، إذن $$b-a = -(a-b)$$
    $$b-a = -(3-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-3$$
    نعوض $$b-a$$ في الصيغة المبسّطة (مع تجاهل $$-2\pi$$):
    $$D = (b-a) - \sqrt{2}$$
    $$D = (\sqrt{2}-3) - \sqrt{2}$$
    $$D = -3$$
  3. (2) اختصر العبارات التالية:
    أ) $$p=2(3-2\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-2)(3-4\sqrt{3})$$
    ب) $$q=3\sqrt{28}-7\sqrt{63}-12\sqrt{112}+5\sqrt{175}-2\sqrt{700}$$
    **تبسيط العبارة $$p$$:**
    $$p = 2(3-2\sqrt{3}) - [3\sqrt{3}(3) - 3\sqrt{3}(4\sqrt{3}) - 2(3) + 2(4\sqrt{3})]$$
    $$p = 6 - 4\sqrt{3} - [9\sqrt{3} - 12(3) - 6 + 8\sqrt{3}]$$
    $$p = 6 - 4\sqrt{3} - [17\sqrt{3} - 36 - 6]$$
    $$p = 6 - 4\sqrt{3} - 17\sqrt{3} + 42$$
    $$p = (6+42) + (-4\sqrt{3} - 17\sqrt{3})$$
    $$p = 48 - 21\sqrt{3}$$
    **تبسيط العبارة $$q$$:**
    $$q=3\sqrt{4\times 7}-7\sqrt{9\times 7}-12\sqrt{16\times 7}+5\sqrt{25\times 7}-2\sqrt{100\times 7}$$
    $$q = 3(2\sqrt{7}) - 7(3\sqrt{7}) - 12(4\sqrt{7}) + 5(5\sqrt{7}) - 2(10\sqrt{7})$$
    $$q = 6\sqrt{7} - 21\sqrt{7} - 48\sqrt{7} + 25\sqrt{7} - 20\sqrt{7}$$
    $$q = (6 - 21 - 48 + 25 - 20)\sqrt{7}$$
    $$q = (31 - 89)\sqrt{7}$$
    $$q = -58\sqrt{7}$$
  4. (3) أ) نعتبر العبارتين $$A=2\sqrt{32}-4\sqrt{2}-\sqrt{18}-1$$ و $$B=\sqrt{24}-3\sqrt{2}+1$$. ماذا تستنتج بالنسبة إلى $$A$$ و $$B$$؟
    **تبسيط العبارة $$A$$:**
    $$A=2\sqrt{16\times 2}-4\sqrt{2}-\sqrt{9\times 2}-1$$
    $$A = 2(4\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1$$
    $$A = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1$$
    $$A = (8-4-3)\sqrt{2} - 1$$
    $$A = \sqrt{2} - 1$$
    **تبسيط العبارة $$B$$:**
    $$B=\sqrt{4\times 6}-3\sqrt{2}+1$$
    $$B = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 1$$
    **الاستنتاج:** لا يوجد علاقة مباشرة بين $A$ و $B$ (ليستا متساويتين أو متقابلتين).
  5. ب) أحسب $$\sqrt{24}-3$$.
    $$\sqrt{24}-3$$
    $$\sqrt{4\times 6}-3$$
    $$2\sqrt{6}-3$$
🖼️ التمرين رقم 3 (المساحة) 🖼️

الشكل يمثل مستطيلاً كبيراً أُزيل منه مستطيل صغير (المساحة البيضاء). الأبعاد على الشكل:

  • عرض المستطيل الكبير: $$7x+1$$
  • طول المستطيل الكبير: $$2x+3$$
  • طول المستطيل المزال (الجزء العلوي الأيمن): $$3x-2$$
شكل هندسي به مساحة مشطوبة
  1. (1) أكتب المساحة المشطوبة $$A$$ بدلالة $$x$$.
    مساحة المستطيل الكبير: $$S_{ك} = (7x+1)(2x+3)$$
    من الشكل، نجد أن عرض المستطيل الصغير المزال هو $$2x+3$$ (الضلع المقابل).
    مساحة المستطيل المزال: $$S_{ص} = (2x+3)(3x-2)$$
    المساحة المشطوبة $$A$$ هي الفرق بين المساحتين:
    $$A = S_{ك} - S_{ص}$$
    $$A = (7x+1)(2x+3) - (2x+3)(3x-2)$$
    **نستخرج العامل المشترك** $$(2x+3)$$
    $$A = (2x+3)[(7x+1) - (3x-2)]$$
    $$A = (2x+3)[7x+1 - 3x+2]$$
    $$A = (2x+3)(4x+3)$$
  2. (2) أنشر واختصر العبارة $$A$$.
    $$A = (2x+3)(4x+3)$$
    $$A = (2x)(4x) + (2x)(3) + (3)(4x) + (3)(3)$$
    $$A = 8x^{2} + 6x + 12x + 9$$
    $$A = 8x^{2} + 18x + 9$$
  3. (3) أحسب $$A$$ إذا علمت أن $$x=\frac{3}{4}$$.
    نستعمل الصيغة المفككة: $$A = (2x+3)(4x+3)$$
    $$A = \left(2\left(\frac{3}{4}\right)+3\right) \left(4\left(\frac{3}{4}\right)+3\right)$$
    $$A = \left(\frac{3}{2}+3\right) (3+3)$$
    $$A = \left(\frac{3}{2}+\frac{6}{2}\right) (6)$$
    $$A = \left(\frac{9}{2}\right) (6)$$
    $$A = \frac{54}{2}$$
    $$A = 27$$
  4. (4) أوجد أبعاد مستطيل له نفس المساحة $$A$$.
    من السؤال (1)، المساحة $$A$$ في صيغة جذاء عاملين هي:
    $$A = (2x+3)(4x+3)$$
    بما أن مساحة المستطيل تساوي جداء طوليه، فإن أبعاده هي $$2x+3$$ و $$4x+3$$.
📏 التمرين رقم 4 (المستقيم المدرج) 📏

نعتبر مستقيماً مدرجاً بالأعداد الحقيقية $$(O,I)$$.

  1. -2- حدد فاصلة النقطة $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ حيث $$x_{A}=3+\sqrt{5}$$ و $$x_{B}=1-\sqrt{5}$$.
    $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ $\implies$ $B$ هي منتصف القطعة $$[AK]$$.
    إذن: $$x_{B} = \frac{x_{A}+x_{K}}{2}$$
    $$2x_{B} = x_{A}+x_{K}$$
    $$x_{K} = 2x_{B} - x_{A}$$
    نعوض بالقيم المعطاة:
    $$x_{K} = 2(1-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})$$
    $$x_{K} = 2 - 2\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}$$
    $$x_{K} = (2-3) + (-2\sqrt{5} - \sqrt{5})$$
    $$x_{K} = -1 - 3\sqrt{5}$$
  2. -2- أحسب الأبعاد $$AB$$ و $$IC$$ و $$IB$$.
    **ملاحظة:** بما أن حساب المسافة في المستوي المدرج ممنوع باستخدام الجذر التربيعي، سنقوم بحساب المسافات على المستقيم المدرج فقط.
    **حساب $$AB$$:**
    $$AB = |x_{B} - x_{A}|$$
    $$AB = |(1-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})|$$
    $$AB = |1-\sqrt{5} - 3-\sqrt{5}|$$
    $$AB = |-2 - 2\sqrt{5}|$$
    $$AB = 2+2\sqrt{5}$$
    **حساب $$IB$$:** (حيث $I$ فاصلتها 1)
    $$IB = |x_{B} - x_{I}| = |(1-\sqrt{5}) - 1|$$
    $$IB = |-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$$
    **حساب $$IC$$:** (النقطة $C$ غير معطاة في هذا الجزء. نفترض أن السؤال يشير إلى نقطة $L$ فاصلتها $x_{L}=\sqrt{2}+2$)
    $$IL = |x_{L} - x_{I}| = |(\sqrt{2}+2) - 1|$$
    $$IL = |\sqrt{2}+1| = \sqrt{2}+1$$
📐 التمرين رقم 5 (الجبر) 📐

نعتبر العبارتين $$E=3-6x$$ و $$F=(x-2)(2x-1)-(2-x)(1+x)$$.

  1. (1) فكك $$E$$ و $$F$$ و $$EF$$ إلى جذاء عوامل.
    **تفكيك $$E$$:**
    $$E = 3-6x$$
    $$E = 3(1-2x)$$
    **تفكيك $$F$$:**
    $$F = (x-2)(2x-1)-(2-x)(1+x)$$
    $$F = (x-2)(2x-1)-(-(x-2))(1+x)$$
    $$F = (x-2)(2x-1) + (x-2)(1+x)$$
    **نستخرج العامل المشترك** $$(x-2)$$
    $$F = (x-2) [(2x-1) + (1+x)]$$
    $$F = (x-2) [3x]$$
    $$F = 3x(x-2)$$
    **تفكيك $$EF$$:**
    $$EF = E \times F$$
    $$EF = [3(1-2x)] \times [3x(x-2)]$$
    $$EF = 9x(1-2x)(x-2)$$
  2. (2) أوجد $$x$$ بحيث يكون $$E$$ و $$5-5x$$ متقابلان (بافتراض أن السؤال يقصد $E$ و $5-5x$ وليس $EF$).
    العبارتان متقابلتان $\implies$ مجموعهما يساوي الصفر.
    $$E + (5-5x) = 0$$
    $$3(1-2x) + 5(1-x) = 0$$
    $$3 - 6x + 5 - 5x = 0$$
    $$8 - 11x = 0$$
    $$11x = 8$$
    $$x = \frac{8}{11}$$
🗺️ التمرين رقم 6 (المعين في المستوي) 🗺️

نعتبر معيناً $$(O,I,J)$$. عين النقاط $A(-5, -3)$ و $B(7, 3)$.

  1. ب) المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $$(OI)$$ يقطع المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $$(OJ)$$ في النقطة $C$. ابحث عن إحداثيات النقطة $C$.
    المستقيم المار من $A(-5, -3)$ والموازي لـ $$(OI)$$ (محور الأفاصيل) هو مستقيم إرتوبه $y=y_{A}=-3$.
    المستقيم المار من $B(7, 3)$ والموازي لـ $$(OJ)$$ (محور الأراتيب) هو مستقيم أفصوله $x=x_{B}=7$.
    نقطة التقاطع $C$ لها الأفصول $x_{B}$ والإرتوب $y_{A}$.
    إحداثيات $C$ هي $C(7, -3)$.
  2. ج) المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $$(OJ)$$ يقطع المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $$(OI)$$ في النقطة $D$. ابحث عن إحداثيات النقطة $D$.
    المستقيم المار من $A(-5, -3)$ والموازي لـ $$(OJ)$$ (محور الأراتيب) هو مستقيم أفصوله $x=x_{A}=-5$.
    المستقيم المار من $B(7, 3)$ والموازي لـ $$(OI)$$ (محور الأفاصيل) هو مستقيم إرتوبه $y=y_{B}=3$.
    نقطة التقاطع $D$ لها الأفصول $x_{A}$ والإرتوب $y_{B}$.
    إحداثيات $D$ هي $D(-5, 3)$.
  3. د) بين أن $$(AC)$$ و $$(BD)$$ متوازيان.
    إحداثيات النقطتين $A(-5, -3)$ و $C(7, -3)$.
    نلاحظ أن للنقطتين $A$ و $C$ إرتوبان متساويان ($y=-3$).
    إذن المستقيم $$(AC)$$ أفقي، فهو يوازي محور الأفاصيل $$(OI)$$.
    إحداثيات النقطتين $B(7, 3)$ و $D(-5, 3)$.
    نلاحظ أن للنقطتين $B$ و $D$ إرتوبان متساويان ($y=3$).
    إذن المستقيم $$(BD)$$ أفقي، فهو يوازي محور الأفاصيل $$(OI)$$.
    بما أن $$(AC) // (OI)$$ و $$(BD) // (OI)$$، فإن $$(AC) // (BD)$$.
  4. س) بين أن الرباعي $$ACBD$$ متوازي أضلاع.
    نتحقق من منتصفات أقطار الرباعي $$ACBD$$. أقطاره هما $$[AB]$$ و $$[CD]$$.
    $A(-5, -3)$, $B(7, 3)$, $C(7, -3)$, $D(-5, 3)$.
    **منتصف القطر $$[AB]$$:**
    $$M_{AB} = \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} , \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
    $$M_{AB} = \left(\frac{-5+7}{2} , \frac{-3+3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2} , \frac{0}{2}\right) = (1, 0)$$
    **منتصف القطر $$[CD]$$:**
    $$M_{CD} = \left(\frac{x_{C}+x_{D}}{2} , \frac{y_{C}+y_{D}}{2}\right)$$
    $$M_{CD} = \left(\frac{7+(-5)}{2} , \frac{-3+3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2} , \frac{0}{2}\right) = (1, 0)$$
    بما أن لقطري الرباعي $$ACBD$$ نفس المنتصف، فإنه متوازي أضلاع.