فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (اختيار الإجابة الصحيحة) 🚀

إختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات التالية

1) إذا كان $$A=3x^{2}-5\sqrt{2}x+1$$ و $$x=\sqrt{2}$$ فإن:
أ) $$-2\sqrt{2}+1$$ ب) $$-3$$ ج) $$A=0$$

2) في معين $$(O,I,J)$$ بحيث $$(OI) \perp (OJ)$$ و $$OI=OJ$$. إذا كان لـ $$E$$ و $$F$$ نفس الفاصلة، فإن:
أ) $$O$$ هي منتصف $$[EF]$$ ب) $$(OI)$$ هو **الموسط** العمودي لـ $$[EF]$$ ج) $$(OJ)$$ هو **الموسط** العمودي لـ $$[EF]$$

3) $$\sqrt{4}+\sqrt{49}$$ يساوي:
أ) $$\sqrt{9^2}$$ ب) $$\sqrt{2}+\sqrt{7}$$ ج) $$\sqrt{53}$$

4) تأمل الشكل المقابل و استنتج أن :
أ) $$\frac{S_{IJ C}}{S_{ABC}}=\frac{3}{16}$$ ب) $$\frac{S_{IJ C}}{S_{ABC}}=\frac{3}{8}$$ ج) $$\frac{S_{IJ C}}{S_{ABC}}=\frac{1}{8}$$

⚠️ **ملاحظة:** لا يمكن حل هذا السؤال دون رؤية الشكل المقابل.

5) $$D$$ و $$\Delta$$ مستقيمان متقاطعان. النقطتان $$H$$ و $$K$$ لهما نفس المسقط على $$D$$ وفقا لمنحى $$\Delta$$ يعني:
أ) $$\Delta \perp (HK)$$ ب) $$(HK) // D$$ ج) $$(HK) // \Delta$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

1) حساب $$A$$ من أجل $$x=\sqrt{2}$$

$$A = 3(\sqrt{2})^2 - 5\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1$$ $$A = 3(2) - 5(2) + 1$$ $$A = 6 - 10 + 1$$ $$A = -3$$

الإجابة الصحيحة: ب) $$-3$$

2) الموسط العمودي في المعين

بما أن $$E$$ و $$F$$ لهما نفس الفاصلة $$x_E = x_F$$، فإن المستقيم $$(EF)$$ مواز لمحور الأراتيب $$(OJ)$$.

الموسط العمودي لقطعة $$[EF]$$ هو مستقيم عمودي على $$(EF)$$، وبالتالي هو مواز لمحور الفواصل $$(OI)$$.

في حالة التناظر بالنسبة لـ $$(OI)$$ ($$x_E=x_F$$ و $$y_E=-y_F$$) يكون $$(OI)$$ هو الموسط العمودي.

الإجابة (الأكثر ترجيحاً): ب) $$(OI)$$ هو **الموسط** العمودي لـ $$[EF]$$

3) حساب $$\sqrt{4}+\sqrt{49}$$

$$\sqrt{4}+\sqrt{49} = 2 + 7 = 9$$ $$\text{وبما أن } \sqrt{9^2} = 9$$

الإجابة الصحيحة: أ) $$\sqrt{9^2}$$

5) تعريف المسقط

بما أن $$H$$ و $$K$$ لهما نفس المسقط $$H'$$ على $$D$$ وفقا لمنحى $$\Delta$$، فإن القطعتين $$[HH']$$ و $$[KH']$$ موازيتان لـ $$\Delta$$.

بما أن $$(HH') // \Delta$$ و $$(KH') // \Delta$$ و النقاط $$H, K, H'$$ على استقامة واحدة (نستنتج أن $$H, K, H'$$ ليسوا على استقامة واحدة)، فإن المستقيم $$(HK)$$ مواز لـ $$\Delta$$.

الإجابة الصحيحة: ج) $$(HK) // \Delta$$

🎪 التمرين رقم 2 (عبارات عددية وحرفية) 🎪

1) أحسب: $$a=5-\left(4-\left(1-\frac{3}{7}\right)+\sqrt{2}\right)$$

2) اختصر الكتابتين $$b$$ و $$c$$ حيث $$x$$ و $$y$$ عددان حقيقيان:

$$b=\left(\frac{1}{2}+\frac{7}{3}\right)-\left[2-(x-1)+\frac{1}{6}\right]$$ $$c=-\sqrt{2}-(1-y)-[-5+\left(\frac{-1}{7}+3\right)]$$

3) ابحث عن $$x$$ و $$y$$ بحيث: $$a=c-b$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) حساب $$a$$

$$a=5-\left(4-\left(\frac{7-3}{7}\right)+\sqrt{2}\right)$$ $$a=5-\left(4-\frac{4}{7}+\sqrt{2}\right)$$ $$a=5-\left(\frac{28-4}{7}+\sqrt{2}\right)$$ $$a=5-\left(\frac{24}{7}+\sqrt{2}\right)$$ $$a=5-\frac{24}{7}-\sqrt{2}$$ $$a=\frac{35-24}{7}-\sqrt{2}$$ $$a=\frac{11}{7}-\sqrt{2}$$

$$a = \frac{11}{7}-\sqrt{2}$$

2) اختصار $$b$$ و $$c$$

اختصار $$b$$:

$$b=\left(\frac{3+14}{6}\right)-\left[2-x+1+\frac{1}{6}\right]$$ $$b=\frac{17}{6}-\left[3+\frac{1}{6}-x\right]$$ $$b=\frac{17}{6}-\left[\frac{18+1}{6}-x\right]$$ $$b=\frac{17}{6}-\frac{19}{6}+x$$ $$b=-\frac{2}{6}+x$$ $$b=x - \frac{1}{3}$$

$$b = x - \frac{1}{3}$$

اختصار $$c$$:

$$c=-\sqrt{2}-1+y-[-5+\frac{-1+21}{7}]$$ $$c=-\sqrt{2}-1+y-[-5+\frac{20}{7}]$$ $$c=-\sqrt{2}-1+y-[\frac{-35+20}{7}]$$ $$c=-\sqrt{2}-1+y+\frac{15}{7}$$ $$c=y+\frac{-7+15}{7}-\sqrt{2}$$ $$c=y+\frac{8}{7}-\sqrt{2}$$

$$c = y+\frac{8}{7}-\sqrt{2}$$

3) البحث عن $$x$$ و $$y$$ حيث $$a=c-b$$

$$a = c - b$$ $$\frac{11}{7}-\sqrt{2} = \left(y+\frac{8}{7}-\sqrt{2}\right) - \left(x - \frac{1}{3}\right)$$ $$\frac{11}{7} = y - x + \frac{8}{7} + \frac{1}{3}$$ $$y - x = \frac{11}{7} - \frac{8}{7} - \frac{1}{3}$$ $$y - x = \frac{3}{7} - \frac{1}{3}$$ $$y - x = \frac{9}{21} - \frac{7}{21}$$ $$y - x = \frac{2}{21}$$

النتيجة: $$y = x + \frac{2}{21}$$

🔬 التمرين رقم 3 (جذور مربعة ونشر وتفكيك) 🔬

1) اختصر العبارتين:

$$E=\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{8})-2(\sqrt{3}+1)-\frac{\sqrt{27}+\sqrt{12}}{\sqrt{25}}$$ $$F=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}-\sqrt{32}\cdot\sqrt{8}+\sqrt{3}$$

2) أحسب: $$E \times F$$

3) أحسب العبارات التالية:
أ) $$\frac{1}{E}-\frac{1}{F}$$
ب) $$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2}$$
ج) $$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12})$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) اختصار $$E$$ و $$F$$

اختصار $$E$$:

$$E=\sqrt{12}+\sqrt{16}-2\sqrt{3}-2-\frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{5}$$ $$E=2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}-2-\frac{5\sqrt{3}}{5}$$ $$E=(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) + (4-2) - \sqrt{3}$$ $$E=2 - \sqrt{3}$$

$$E = 2-\sqrt{3}$$

اختصار $$F$$:

$$F=2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}-4\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ $$F=6(\sqrt{3})^2 - 8(\sqrt{2})^2 + \sqrt{3}$$ $$F=18 - 16 + \sqrt{3}$$ $$F=2+\sqrt{3}$$

$$F = 2+\sqrt{3}$$

2) حساب $$E \times F$$

$$E \times F = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$$ $$E \times F = 2^2 - (\sqrt{3})^2$$ $$E \times F = 4 - 3 = 1$$

$$E \times F = 1$$

3) حساب العبارات التالية

أ) $$\frac{1}{E}-\frac{1}{F}$$

$$\frac{1}{E}-\frac{1}{F} = \frac{F-E}{E \times F} = \frac{(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}{1}$$ $$\frac{1}{E}-\frac{1}{F} = 2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

$$\frac{1}{E}-\frac{1}{F} = 2\sqrt{3}$$

ب) $$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2}$$

$$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2} = (E \times F)^2 (E+F)$$ $$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2} = (1)^2 ((2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3}))$$ $$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2} = 1 \cdot (4) = 4$$

$$E^{3}F^{2}+F^{3}E^{2} = 4$$

ج) $$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12})$$

$$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12}) = (E-2\sqrt{3})(F+2\sqrt{3})$$ $$E-2\sqrt{3} = (2-\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 2-3\sqrt{3}$$ $$F+2\sqrt{3} = (2+\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 2+3\sqrt{3}$$ $$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12}) = (2-3\sqrt{3})(2+3\sqrt{3})$$ $$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12}) = 2^2 - (3\sqrt{3})^2$$ $$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12}) = 4 - 27 = -23$$

$$(E-2\sqrt{3})(F+\sqrt{12}) = -23$$

📏 التمرين رقم 4 (نشر وتفكيك) 📏

1) أ- لتكن العبارة $$E=9+3x-2x^{2}$$

ب- بين أن $$(2x+3)(x-4)-(2x-7)(2x+3)=E$$

ج- أحسب $$E$$ إذا علمت أن $$x=\sqrt{2}-3$$

2) أ- أكتب العبارة $$E$$ في صيغة جذاء

ب- أوجد $$x$$ بحيث يكون $$E$$ هي مقابل $$4x+6$$

ج- إبحث عن الأعداد الحقيقية $$x$$ بحيث $$E=0$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

1) ب- تبيان أن $$(2x+3)(x-4)-(2x-7)(2x+3)=E$$

$$\text{ننشر:} (2x^2 - 8x + 3x - 12) - (4x^2 + 6x - 14x - 21)$$ $$= (2x^2 - 5x - 12) - (4x^2 - 8x - 21)$$ $$= 2x^2 - 5x - 12 - 4x^2 + 8x + 21$$ $$= -2x^2 + 3x + 9$$ $$= 9 + 3x - 2x^2 = E$$

1) ج- حساب $$E$$ من أجل $$x=\sqrt{2}-3$$

$$E = 9+3(\sqrt{2}-3)-2(\sqrt{2}-3)^{2}$$ $$E = 9+3\sqrt{2}-9-2(2 - 6\sqrt{2} + 9)$$ $$E = 3\sqrt{2}-2(11 - 6\sqrt{2})$$ $$E = 3\sqrt{2}-22 + 12\sqrt{2}$$ $$E = 15\sqrt{2} - 22$$

$$E = 15\sqrt{2} - 22$$

2) أ- كتابة $$E$$ في صيغة جذاء (تفكيك)

$$E = (2x+3)(x-4)-(2x-7)(2x+3)$$ $$E = (2x+3) [ (x-4) - (2x-7) ]$$ $$E = (2x+3) [ x-4 - 2x+7 ]$$ $$E = (2x+3) (3-x)$$

$$E = (2x+3)(3-x)$$

2) ب- إيجاد $$x$$ حيث $$E = -(4x+6)$$

$$E = -4x-6 = -2(2x+3)$$ $$(2x+3)(3-x) = -2(2x+3)$$ $$(2x+3)(3-x) + 2(2x+3) = 0$$ $$(2x+3) [ (3-x) + 2 ] = 0$$ $$(2x+3) (5-x) = 0$$ $$2x+3=0 \implies x = -\frac{3}{2}$$ $$5-x=0 \implies x = 5$$

النتيجة: $$x = -\frac{3}{2}$$ أو $$x = 5$$

2) ج- إيجاد $$x$$ حيث $$E=0$$

$$(2x+3)(3-x) = 0$$ $$2x+3=0 \implies x = -\frac{3}{2}$$ $$3-x=0 \implies x = 3$$

النتيجة: $$x = -\frac{3}{2}$$ أو $$x = 3$$

🗺️ التمرين رقم 5 (مسألة تركيبة) 🗺️

أرادت مجموعة من أعوان جمعية خيرية توزيع بعض الهدايا على الفقراء في عدة مدن هي باجة وجندوبة والقيروان وقابس . حدد عدد الإختيارات الممكنة للسفر لهذه المجموعة إذا علمت أن الإنطلاق يكون من مدينة باجة وأنه لا يمكن المرور من مدينة مرتين .

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

المدن هي: باجة، جندوبة، القيروان، قابس (4 مدن).

الانطلاق ثابت من باجة. عدد الإختيارات الممكنة هو عدد التبديلات للمدن المتبقية (3 مدن: جندوبة، القيروان، قابس).

$$\text{عدد الإختيارات} = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

النتيجة: 6 اختيارات ممكنة

🔺 التمرين رقم 6 (مبرهنة طاليس) 🔺

ليكن $$ABC$$ مثلثا و $$M$$ نقطة من $$[AB]$$ تختلف عن $$A$$ و $$B$$.

1) ارسم المستقيم المار من $$M$$ و الموازي لـ $$(BC)$$ حيث يقطع $$(AC)$$ في $$N$$.

2) أرسم المستقيم المار من $$C$$ و الموازي لـ $$(BN)$$ حيث يقطع $$(AB)$$ في $$P$$. بين أن: $$\frac{AB}{AP}=\frac{AN}{AC}$$

3) استنتج $$AB^{2}=AM\cdot AP$$

4) أحسب $$AN$$ و $$AP$$ إذا علمت أن $$AM=\sqrt{2}$$ و $$AC=3\sqrt{2}$$.

5) ابن على نصف المستقيم $$[AC)$$ نقطة $$Q$$ حيث يكون : $$AC^{2}=AN\cdot AQ$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 6

2) تبيان أن $$\frac{AB}{AP}=\frac{AN}{AC}$$

نطبق مبرهنة طاليس في المثلث $$APC$$ والمستقيم $$(BN)$$:

الخطوة 1: الشروط

$$B$$ تنتمي إلى $$(AP)$$
$$N$$ تنتمي إلى $$(AC)$$
$$(BN) // (PC)$$ (معطى)

الخطوة 2: العلاقة (مبرهنة طاليس)

$$\frac{AB}{AP} = \frac{AN}{AC} = \frac{BN}{PC}$$

الخطوة 3: الاستنتاج $$\frac{AB}{AP} = \frac{AN}{AC}$$

3) استنتاج $$AB^{2}=AM\cdot AP$$

نطبق مبرهنة طاليس في المثلث $$ABC$$ والمستقيم $$(MN)$$:

الخطوة 1: الشروط

$$M$$ تنتمي إلى $$(AB)$$ (شرط الاصطفاف بصيغة 9 أساسي)
$$N$$ تنتمي إلى $$(AC)$$
$$(MN) // (BC)$$ (معطى)

الخطوة 2: العلاقة (مبرهنة طاليس)

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

الخطوة 3: الاستنتاج المطلوب

بمقارنة نتائج الخطوة 2 من السؤال 2 والخطوة 2 من السؤال 3:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \quad \text{و} \quad \frac{AB}{AP} = \frac{AN}{AC}$$ $$\implies \frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AP}$$ $$\implies AB^{2} = AM \cdot AP$$

$$AB^{2}=AM\cdot AP$$

4) حساب $$AN$$ و $$AP$$

⚠️ **ملاحظة:** قيمة $$AB$$ غير معطاة في نص التمرين، لذا سنعبر عن النتائج بدلالة $$AB$$.

حساب $$AN$$: من العلاقة $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

$$AN = \frac{AM \cdot AC}{AB}$$ $$AN = \frac{\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{AB} = \frac{6}{AB}$$

$$AN = \frac{6}{AB}$$

حساب $$AP$$: من العلاقة $$AB^{2} = AM \cdot AP$$

$$AP = \frac{AB^{2}}{AM}$$ $$AP = \frac{AB^{2}}{\sqrt{2}} = \frac{AB^{2}\sqrt{2}}{2}$$

$$AP = \frac{AB^{2}\sqrt{2}}{2}$$

📐 التمرين رقم 7 (معين من المستوي) 📐

$$(O,I,J)$$ معين من المستوي بحيث $$(OI) \perp (OJ)$$ و $$OI=OJ=1 \text{cm}$$.

1) أ- ارسم النقاط $$A(3,0)$$ و $$B(0,3)$$ و النقطة $$N$$ بحيث $$ABON$$ متوازي الأضلاع.

ب- ما هو زوج إحداثيات النقطة $$N$$؟

ج- استنتج أن $$A$$ و $$M$$ و $$N$$ على استقامة واحدة.

2) أ- بين أن $$(AM) // (OJ)$$ و أن $$(BM) // (OI)$$

ب- بين أن الرباعي $$AMBO$$ مستطيل، سم مركزه $$O$$.

3) أ- المستقيم المار من $$A$$ و الموازى للمستقيم $$(OI)$$ يقطع $$(ON)$$ في النقطة $$L$$. بين أن الرباعي $$ALOK$$ معين.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 7

1) ب- زوج إحداثيات النقطة $$N$$

بما أن $$ABON$$ متوازي الأضلاع، فإن مركز $$[AO]$$ هو نفسه مركز $$[BN]$$ (خاصية الأقطار). $$O(0,0)$$ و $$A(3,0)$$ و $$B(0,3)$$.

$$x_N = x_B + x_O - x_A = 0 + 0 - 3 = -3$$ $$y_N = y_B + y_O - y_A = 3 + 0 - 0 = 3$$

إحداثيات $$N$$ هي $$(-3, 3)$$

2) أ- تبيان $$(AM) // (OJ)$$ و أن $$(BM) // (OI)$$

⚠️ **افتراض:** النقطة $$M$$ غير معرفة. بما أن $$(AM) // (OJ)$$ و $$(BM) // (OI)$$، نستنتج أن $$x_M=x_A=3$$ و $$y_M=y_B=3$$. إذن $$M(3, 3)$$.

$$(AM) // (OJ)$$: لدينا $$A(3, 0)$$ و $$M(3, 3)$$، $$x_A = x_M = 3$$. إذن $$(AM)$$ مواز لمحور الأراتيب $$(OJ)$$.
$$(BM) // (OI)$$: لدينا $$B(0, 3)$$ و $$M(3, 3)$$، $$y_B = y_M = 3$$. إذن $$(BM)$$ مواز لمحور الفواصل $$(OI)$$.

2) ب- تبيان أن الرباعي $$AMBO$$ مستطيل

بما أن $$(AM) // (OJ)$$ و $$(OB)$$ على $$(OJ)$$، فإن $$(AM) // (OB)$$.
بما أن $$(BM) // (OI)$$ و $$(OA)$$ على $$(OI)$$، فإن $$(BM) // (OA)$$.
إذن، $$AMBO$$ متوازي أضلاع.
بما أن $$(OI) \perp (OJ)$$، فإن الزاوية $$\widehat{AOB}$$ قائمة.

متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة هو **مستطيل**.

مركزه هو منتصف القطر $$[OM]$$ (أو $$[AB]$$): $$C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$$.

⚠️ **تصحيح النص:** مركز المستطيل هو $$C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$$ وليس $$O(0,0)$$.