لنحسب الفرق $a - b$:
$a - b = (x + 3) - (y + 5)$
$a - b = x + 3 - y - 5$
$a - b = (x - y) - 2$
بما أن $x \le y$ فإن $x - y \le 0$
وبطرح 2 من عدد سالب أو منعدم، نتحصل على عدد سالب قطعاً:
إذن $a - b < 0$ مما يعني أن $a < b$
تمرين رقم 4 (6ن) - الهندسة
1) أ/ بين أن المثلثين $ABO$ و $ACO$ متقايسان
بما أن $O$ نقطة من منصف الزاوية $\widehat{xAy}$، فإنها تبعد نفس البعد عن ضلعيها.
وبما أن $B$ و $C$ هما المسقطان العموديان لـ $O$ على ضلعي الزاوية، فإن $OB = OC$.
نعتبر المثلثين القائمين $ABO$ و $ACO$:
* $[AO]$ وتر مشترك.
* $\widehat{OAB} = \widehat{OAC} = 30^\circ$ (لأن $[Az)$ منصف الزاوية $\widehat{xAy} = 60^\circ$).
إذن يتقايس المثلثان ABO و ACO حسب حالة تقايس مثلثين قائمين (وتر وزاوية حادة).
ب/ استنتج أن $(OA)$ الموسط العمودي لـ $[BC]$
من تقايس المثلثين ABO و ACO ينتج أن $AB = AC$ و $OB = OC$.
* $AB = AC$ يعني أن $A$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[BC]$.
* $OB = OC$ يعني أن $O$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[BC]$.
بما أن $A$ و $O$ نقطتان مختلفتان، فإن المستقيم $(OA)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$.
2) أ/ اثبت تقايس المثلثين $OBE$ و $OCF$
نعتبر المثلثين $OBE$ و $OCF$:
* $OB = OC$ (ثبت سابقا).
* $\widehat{OBE} = \widehat{OCF} = 90^\circ$ (حسب المعطيات).
* $\widehat{BOE} = \widehat{COF}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
إذن يتقايس المثلثان $OBE$ و $OCF$ حسب حالة (ضلع وزاويتان مجاورتان له).
ومن هذا التقايس نستنتج أن $BE = CF$.
3) أ/ بين أن $AEF$ مثلث متقايس الأضلاع
من تقايس المثلثين $OBE$ و $OCF$ ينتج أن $OE = OF$.
لدينا $AE = AB + BE$ و $AF = AC + CF$.
وبما أن $AB = AC$ و $BE = CF$ فإن $AE = AF$.
المثلث $AEF$ متقايس الضلعين في $A$ وزاويته الرأسية $\widehat{EAF} = 60^\circ$.
كل مثلث متقايس الضلعين به زاوية قيسها $60^\circ$ هو مثلث متقايس الأضلاع.