المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة

الفرض المنزلي رقم 2 | 8 أساسي | 2011-2012

أساتذة الرياضيات

التمرين رقم 1
(1) أتمم الفراغ بالعدد المناسب:
$(\frac{5}{2})^{-3} \times (\frac{5}{2})^{\dots} = (\frac{5}{2})^{-1}$
$\sqrt{\frac{162}{8}} = \dots$   |   $(\dots)^2 = 81$
$-2^5 = \dots$
(2) أحسب العبارات التالية:
$A = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$
$B = 1 + \frac{\frac{-3}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{-3}{2}}$
$C = 3^{-1} \times 21 - \sqrt{25} \times 5^{-1}$
$D = (\frac{1}{2})^{-3} \times \frac{1}{4} \times [(\frac{-3}{2})^{-2} + \frac{4}{9} - 3^{-2}]$
(3) أكتب في شكل قوة لعدد كسري:
$a = \frac{(\frac{-2}{3})^3}{(\frac{-2}{3})^5}$   |   $b = \frac{16}{25} \times (-\frac{5}{4})^5$
$c = [(0.2)^{-2}]^3 \times 5^{-6}$   |   $d = \frac{(10^{-1})^2 \times 10^3}{(10^{-3})^{-2} \times 10^{-8}}$
(4) نعتبر العددين $f = 75 \times 10^2$ و $g = 2.5 \times 10^{-3}$ أحسب العدد $\frac{f}{g}$. أعط النتيجة على شكل كتابة علمية.

(1) إكمال الفراغات:

$(\frac{5}{2})^{-3} \times (\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^{-3+2} = (\frac{5}{2})^{-1}$

$\sqrt{\frac{162}{8}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$

$(9)^2 = 81$

$-2^5 = -32$

(2) حساب العبارات:

$A = -\frac{5}{2} + \frac{4}{10} = -\frac{25}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{21}{10}$

$B = 1 + \frac{2}{-3/2} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$C = 7 - 1 = 6$

(4) الكتابة العلمية:

$\frac{f}{g} = \frac{75 \times 10^2}{2.5 \times 10^{-3}} = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6$

التمرين رقم 2
أجب بصواب أو خطأ:
1. $a$ و $b$ عددان كسريان متقابلان يعني $a \times b = 1$.
2. $a$ و $b$ عددان كسريان مخالفان للصفر و $n$ عدد صحيح نسبي فإن $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{b}{a})^{-n}$.
3. إذا تقايست زاويتان في مثلث فإن هذا المثلث متقايس الأضلاع.
4. في المثلث متقايس الضلعين ينطبق الموسط الموافق للقاعدة على الارتفاع الصادر من القمة الرئيسية.

1. خطأ : العددان المتقابلان مجموعهما صفر. الشرط $a \times b = 1$ يعني أنهما مقلوبان.

2. صواب : لأن $(\frac{b}{a})^{-n} = (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

3. خطأ : يكون المثلث متقايس الضلعين فقط.

4. صواب : في المثلث متقايس الضلعين، الموسط والارتفاع والمنصف الصادر من القمة ينطبقون على بعضهم.

التمرين رقم 3 (الهندسة)

في ما يلي شبه منحرف $ABCD$ بحيث $AD = BC$ و $A\hat{D}C = B\hat{C}D$. $H$ و $K$ هما على التوالي المساقط العمودية للنقاط $A$ و $B$ على $(DC)$.

(1) أثبت تقايس المثلثين $ADH$ و $BCK$.
(2) لتكن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $D$. المستقيم المار من $E$ والموازي للمستقيم $(BC)$ يقطع $(CD)$ في $F$.
أ- بين أن $B\hat{C}D = E\hat{F}D$.
ب- استنتج أن $EFD$ متقايس الضلعين وأن $EF = BC$.
(3) لتكن $I$ منتصف $[FD]$.
أ- بين أن المثلثين $EID$ و $EIF$ متقايسان.
ب- استنتج أن $[EI)$ منصف الزاوية $F\hat{E}D$.
ج- بين أن $(IE) // (AH)$.

(1) إثبات تقايس $ADH$ و $BCK$:

لدينا $ADH$ مثلث قائم في $H$ و $BCK$ مثلث قائم في $K$ (مساقط عمودية).

وتر المثلث الأول $AD$ يساوي وتر المثلث الثاني $BC$ (معطى).

الزاوية $A\hat{D}H$ تساوي الزاوية $B\hat{C}K$ (لأن $A\hat{D}C = B\hat{C}D$).

إذن يتقايس المثلثان القائمان حسب حالة (وتر وزاوية حادة).

(2) أ- تبيان أن $B\hat{C}D = E\hat{F}D$:

بما أن $(EF) // (BC)$ والمستقيم $(CD)$ قاطع لهما.

فإن الزاويتين $B\hat{C}D$ و $E\hat{F}D$ هما زاويتان متماثلتان.

إذن $B\hat{C}D = E\hat{F}D$.

(2) ب- استنتاج أن $EFD$ متقايس الضلعين وأن $EF = BC$:

لدينا $E\hat{F}D = B\hat{C}D$ (مما سبق) و $B\hat{C}D = E\hat{D}F$ (لأن $B\hat{C}D = A\hat{D}C$).

إذن $E\hat{F}D = E\hat{D}F$ مما يعني أن المثلث $EFD$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $E$.

وبالتالي $EF = ED$.

بما أن $E$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $D$ فإن $ED = AD$. وحيث أن $AD = BC$ فإن $EF = BC$.

(3) أ- تبيان تقايس المثلثين $EID$ و $EIF$:

لدينا في المثلثين $EID$ و $EIF$:

$ED = EF$ (لأن $EFD$ متقايس الضلعين).

$ID = IF$ (لأن $I$ منتصف $[FD]$).

$[EI]$ ضلع مشترك.

إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (ضلع، ضلع، ضلع).

(3) ب- استنتاج أن $[EI)$ منصف الزاوية $F\hat{E}D$:

بما أن المثلثين $EID$ و $EIF$ متقايسان، فإن الزوايا المتناظرة متقايسة.

أي أن $I\hat{E}D = I\hat{E}F$ مما يعني أن $[EI)$ هو منصف الزاوية $F\hat{E}D$.

(3) ج- تبيان أن $(IE) // (AH)$:

في المثلث متقايس الضلعين $EFD$، الموسط $(EI)$ الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع.

إذن $(EI) \perp (DF)$ أي $(EI) \perp (DC)$.

وبما أن $H$ مسقط عمودي لـ $A$ على $(DC)$ فإن $(AH) \perp (DC)$.

بما أن المستقيمين $(EI)$ و $(AH)$ عموديان على نفس المستقيم $(DC)$ فهما متوازيان.