فرض تأليفي عدد 2 - الثامنة أساسي (مثال رقم 5)

ضع العلامة (X) في الخانة المناسبة:

السؤال	أ	ب	ج
العدد $2^{-4} + 2^{-4}$ يساوي:	$2^{-8}$	$\frac{1}{8}$	$2^{-3}$
$\sqrt{\frac{0.36}{0.01}}$ يساوي:	$0.6$	$6$	$0.06$
$(-20)^{11} \times (-3)^{11}$ يساوي:	$60^{11}$	$(-6)^{11}$	$(-60)^{11}$

1) $2^{-4} + 2^{-4} = 2 \times 2^{-4} = 2^{1-4} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. الإجابة (ب) و (ج) صحيحتان.

2) $\sqrt{\frac{0.36}{0.01}} = \sqrt{36} = 6$. الإجابة (ب).

3) $(-20)^{11} \times (-3)^{11} = [(-20) \times (-3)]^{11} = 60^{11}$. الإجابة (أ).

(1) أحسب العبارات التالية:

$A = (\frac{-3}{2})^{-3} - \sqrt{\frac{8}{162}} + (\frac{-7}{2})^{0}$

$B = \frac{1}{\frac{-7}{2}-1} \times \frac{\frac{7}{2}}{\frac{-1}{9}}$

(2) أكتب في صيغة قوة لعدد كسري نسبي:

$C = \frac{(\frac{-8}{15})^{5}}{(\frac{-16}{75})^{5}}$

$D = (\frac{-5}{3})^{-7} \times (\frac{-27}{125})$

(3) نعتبر العبارة: $E = 2^{2} \times \frac{a^{-8}b^{3}}{a^{-5}b^{6}}$

أ) بين أن $E = \frac{4}{a^{3}b^{3}}$

ب) أحسب $E$ علما أن $a \cdot b = \frac{1}{2}$

1) $A = (\frac{-2}{3})^{3} - \sqrt{\frac{4}{81}} + 1 = -\frac{8}{27} - \frac{2}{9} + 1 = -\frac{8}{27} - \frac{6}{27} + \frac{27}{27} = \frac{13}{27}$.

2) $C = (\frac{-8}{15} \times \frac{-75}{16})^{5} = (\frac{1}{1} \times \frac{5}{2})^{5} = (\frac{5}{2})^{5}$.

3) أ) $E = 4 \cdot a^{-8-(-5)} \cdot b^{3-6} = 4 \cdot a^{-3} \cdot b^{-3} = \frac{4}{a^{3}b^{3}}$.

ب) إذا كان $ab = \frac{1}{2}$ فإن $(ab)^{3} = \frac{1}{8}$. إذن $E = \frac{4}{1/8} = 32$.

1) أ) أنشر واختصر العبارة: $F = x^{2} - (x - 4)(x + 4)$

ب) استنتج حساب القيمة: $198765432^{2} - 198765428 \times 198765436$

2) أوجد العدد الكسري $x$ في الحالة التالية: $(x-1)^2 = 25$

1) أ) $F = x^{2} - (x^{2} - 16) = x^{2} - x^{2} + 16 = 16$.

ب) نلاحظ أن التعبير يطابق $F$ حيث $x = 198765432$. القيمة هي دائماً $16$.

2) $(x-1) = 5$ أو $(x-1) = -5$. إذن $x = 6$ أو $x = -4$.

$OAB$ مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه 4 و $H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(OB)$ و $C$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$.

1) أ) أثبت تقايس المثلثين $OAH$ و $BAH$.

ب) استنتج أن $[AH)$ منصف الزاوية $\widehat{BÂO}$.

2) الموسط العمودي لـ $[BC]$ يقطع $(AB)$ في $E$.

أ) أثبت أن $(AH) \parallel (OE)$.

ب) استنتج أن $\widehat{OAH} = \widehat{AOE}$ وأن $\widehat{BAH} = \widehat{AEO}$.

ج) أثبت أن $CO = AE$.

4) لتكن $K$ منتصف $[OE]$.

أ) أثبت أن المثلثين $OAK$ و $EAK$ متقايسان.

ب) أثبت أن $(AK) \parallel (CB)$.

1) أ) تقايس $OAH$ و $BAH$:
لدينا في المثلثين القائمين في $H$:
- $AH$ ضلع مشترك.
- $AO = AB = 4$ (لأن $OAB$ متقايس الأضلاع).
إذن يتقايس المثلثان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).
ب) استنتاج المنصف:
بما أن المثلثين متقايسان، فإن الزوايا المتناظرة متقايسة.
إذن $\widehat{OAH} = \widehat{BAH}$، مما يعني أن $[AH)$ هو منصف الزاوية $\widehat{BÂO}$.
2) أ) إثبات أن $(AH) \parallel (OE)$:
- بما أن $C$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $O$، فإن $O$ منتصف $[BC]$.
- بما أن الموسط العمودي لـ $[BC]$ يمر بمنتصفها $O$، فإن الموسط العمودي هو المستقيم العمودي على $(BC)$ في $O$. إذن $(OE) \perp (BC)$.
- ولدينا $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OB)$ (أي على $(BC)$)، إذن $(AH) \perp (BC)$.
- بما أن $(AH)$ و $(OE)$ عموديان على نفس المستقيم $(BC)$، فهما متوازيان.
ب) استنتاج تقايس الزوايا:
- $\widehat{OAH} = \widehat{AOE}$ لأنهما زاويتان متبادلتان داخلياً والمستقيمان $(AH) \parallel (OE)$.
- $\widehat{BAH} = \widehat{AEO}$ لأنهما زاويتان متماثلتان والمستقيمان $(AH) \parallel (OE)$.
ج) إثبات $CO = AE$:
بما أن $\widehat{OAH} = \widehat{BAH}$ (من السؤال 1ب) وبتعويضهما من السؤال (2ب)، نجد أن $\widehat{AOE} = \widehat{AEO}$.
إذن المثلث $AOE$ متقايس الضلعين قمته $A$، وبالتالي $AE = AO$.
وبما أن $AO = CO$ (لأن $O$ منتصف $[BC]$ و $OAB$ متقايس الأضلاع أي $OB=4$ و $OC=4$)، فإن $CO = AE$.
4) أ) تقايس $OAK$ و $EAK$:
بما أن المثلث $AOE$ متقايس الضلعين ($AE = AO$) و $K$ منتصف $[OE]$، فإن $AK$ هو الموسط والمستقيم المار بالقمة والمنتصف في مثلث متقايس الضلعين.
- $AK$ ضلع مشترك.
- $OK = EK$ ($K$ منتصف).
- $AO = AE$.
إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (ضلع، ضلع، ضلع).
ب) إثبات أن $(AK) \parallel (CB)$:
بما أن $AOE$ متقايس الضلعين و $K$ منتصف القاعده، فإن $(AK) \perp (OE)$.
ولدينا سابقاً $(CB) \perp (OE)$ (لأن $OE$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$).
بما أن $(AK)$ و $(CB)$ عموديان على نفس المستقيم $(OE)$، فهما متوازيان.