فرض تأليفي عدد 2 - الثامنة أساسي (مثال رقم 3)

احسب العبارات التالية:

$f = -(2-10) - |3 - \frac{1}{2}| + 1$

$d = (-\frac{3}{5} - 3) - |-\frac{1}{2} + 3|$

$f = -(-8) - |2,5| + 1 = 8 - 2,5 + 1 = 6,5$

$d = (-0,6 - 3) - |2,5| = -3,6 - 2,5 = -6,1$

لتكن العبارة: $I = -[-\frac{3}{4} - (a + \frac{1}{3})] - (b - 1)$

(1) اختصر $I$.

(2) احسب $I$ إذا علمت أن $b - a = \frac{1}{2}$.

(3) أوجد $a - b$ إذا علمت أن $I = -1$.

1) $I = \frac{3}{4} + a + \frac{1}{3} - b + 1 = a - b + \frac{9+4+12}{12} = a - b + \frac{25}{12}$

2) بما أن $b-a = \frac{1}{2}$ فإن $a-b = -\frac{1}{2}$

$I = -\frac{1}{2} + \frac{25}{12} = -\frac{6}{12} + \frac{25}{12} = \frac{19}{12}$

3) $a - b + \frac{25}{12} = -1 \Rightarrow a - b = -1 - \frac{25}{12} = -\frac{37}{12}$

نعتبر العبارة: $E = [-(x - \frac{1}{2} - y) - (y - \frac{3}{5})] - [0,1 - (x - y) + (x + \frac{3}{4})]$

(1) بين أن $E = \frac{1}{4} - x - y$.

(2) احسب $E$ إذا علمت أن $x$ و $y$ متقابلان.

(3) أوجد $x + y$ إذا علمت أن $E = \frac{3}{7}$.

1) $E = [-x + \frac{1}{2} + y - y + \frac{3}{5}] - [0,1 - x + y + x + \frac{3}{4}]$

$E = [-x + 1,1] - [0,1 + y + 0,75] = -x + 1,1 - 0,85 - y = 0,25 - x - y = \frac{1}{4} - x - y$

2) $x$ و $y$ متقابلان يعني $x+y=0$، إذن $E = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

3) $\frac{1}{4} - (x+y) = \frac{3}{7} \Rightarrow x+y = \frac{1}{4} - \frac{3}{7} = \frac{7-12}{28} = -\frac{5}{28}$

أ) قارن $a + \frac{3}{2}$ و $-b + \frac{5}{4}$ إذا علمت أن $a + b = -1$.

ب) قارن $-b - \frac{1}{5}$ و $-a + 1$ إذا علمت أن $a - b = -\frac{1}{2}$.

ج) قارن $\frac{5}{4} - (x + \frac{1}{3})$ و $\frac{1}{2} - y$ علما أن $x - \frac{3}{5} = y$.

أ) الفرق: $(a + \frac{3}{2}) - (-b + \frac{5}{4}) = a + b + \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = -1 + 1,5 - 1,25 = -0,75 < 0$. إذن $a + \frac{3}{2} < -b + \frac{5}{4}$.

ب) الفرق: $(-b - \frac{1}{5}) - (-a + 1) = a - b - 0,2 - 1 = -0,5 - 1,2 = -1,7 < 0$. إذن $-b - \frac{1}{5} < -a + 1$.

ج) بما أن $x - y = \frac{3}{5}$، لنحسب الفرق: $[\frac{5}{4} - x - \frac{1}{3}] - [\frac{1}{2} - y] = \frac{5}{4} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - (x - y) = \frac{15-4-6}{12} - \frac{3}{5} = \frac{5}{12} - \frac{3}{5} = \frac{25-36}{60} = -\frac{11}{60} < 0$. إذن القيمة الأولى أصغر.

نعتبر: $E = -(a - 5 + b) - 6 + b$ و $F = \frac{1}{2} - [\frac{3}{4} - (1 - b)]$

(1) بين أن $E = -a - 1$ و $F = -b + \frac{3}{4}$.

(2) استنتج أن $E - F = b - a - \frac{7}{4}$.

(3) أوجد $a$ إذا علمت أن $E - F = -1$.

(4) قارن $E$ و $F$ إذا علمت أن $a - b = 1$.

1) $E = -a + 5 - b - 6 + b = -a - 1$.

$F = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 1 - b = 1,5 - 0,75 - b = 0,75 - b = \frac{3}{4} - b$.

2) $E - F = (-a - 1) - (\frac{3}{4} - b) = -a - 1 - \frac{3}{4} + b = b - a - \frac{7}{4}$.

4) إذا كان $a - b = 1$ فإن $b - a = -1$. إذن $E - F = -1 - 1,75 = -2,75 < 0 \Rightarrow E < F$.

ليكن $(O, I, J)$ معيناً متعامداً في المستوي و $ABC$ مثلث متقايس الضلعين في $A$ قادم من الرسم.

(1) حدد إحداثيات $A$ و $B$ و $C$.

(2) ابن $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(OJ)$ والنقطة $E$ تقاطع $(AB)$ و $(OJ)$. بين أن $EBD$ متقايس الضلعين.

(3) بين أن $(AC) // (ED)$.

(4) لتكن $F$ هي نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OJ)$. بين أن المثلث $AEF$ متقايس الضلعين.

1) من الرسم: $A(-1, 4)$ ، $B(-4, -1)$ ، $C(2, -1)$.

2) بما أن $D$ هي مناظرة $B$ بالنسبة لمحور التراتيب $(OJ)$ و $E$ نقطة من هذا المحور، فإن $EB = ED$ حسب خاصية التناظر المحوري الذي يحفظ المسافات. إذن المثلث $EBD$ متقايس الضلعين قمته $E$.

3) نلاحظ أن $A$ و $B$ و $C$ تحقق شروط استقامة وتوازي معينة عبر خصائص التناظر (يتم إثبات أن الميل أو منحى المستقيمين متساويين عبر التناظر دون استخدام معادلات).