فرض تأليفي عدد 2 - الثامنة أساسي

ضع في دائرة الإجابة الصحيحة:

المقترحات	الإجابات
$1-\frac{7}{4}\times(-\frac{4}{7})$ يساوي :	$0$	$1$	$2$
$x$ و $y$ عددان كسريان نسبيان بحيث $\|x-y\|=y-x$ فان :	$x \le y$	$x \ge y$	$x$ و $y$ متقابلان
$a$ و $b$ عددان صحيحان نسبيان مخالفان للصفر بحيث $a\times b\in\mathbb{Z}_{-}^{*}$ إذن $-2\times\frac{a}{b}$ يساوي:	$2\times\frac{a}{b}$	$-2ab$	عدد موجب
مستقيم مدرج بالمعين $(O,I)$ و $A$ نقطة منه حيث $x_{A}=\frac{-4}{3}$. إذا كانت نقطة $B$ من $A$ فاصلتها عدد سالب و $AB=\frac{7}{3}$ فإن :	$x_{B}=-\frac{7}{3}$	$x_{B}=-\frac{5}{3}$	$x_{B}=-\frac{11}{3}$

$1 - \frac{7}{4} \times (-\frac{4}{7}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

بما أن $|x-y| = y-x = -(x-y)$ فإن القيمة داخل المطلق سالبة أو منعدمة، إذن $x-y \le 0$ أي $x \le y$.

بما أن $a \times b$ سالب، فإن $a$ و $b$ مختلفا العلامة، وبالتالي خارج قسمتهما $\frac{a}{b}$ سالب، وبضربه في $-2$ نحصل على عدد موجب.

$AB = |x_B - x_A| = \frac{7}{3}$ وبما أن $B$ على يسار $A$ (فاصلة سالبة وأصغر)، فإن $x_B = x_A - \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{11}{3}$.

(1) أحسب :

$A = -\frac{3}{2}\times|-1-\frac{1}{3}|+3$

$B = \frac{18}{5}\times(-\frac{2}{3})-\frac{18}{5}\times(-\frac{3}{2})$

$C = -\frac{\frac{3}{2}}{5}-\frac{3}{\frac{5}{2}}$

$D = 1-\frac{1-\frac{3}{5}}{2\times\frac{3}{-2}}$

(2) جد العدد الكسري النسبي $x$ في كل حالة :

$0,2x - \frac{1}{2} = 2$

$\frac{1}{4}(4x - 1) = -\frac{1}{2}$

$\frac{3}{4} \times |x - \frac{1}{2}| = 1$

(3) $a$ و $b$ عددان كسريان نسبيان بحيث $b \ne 0$. أحسب $E$ و $F$ إذا علمت أن $a+b = -3$ و $\frac{a}{2} = \frac{-3}{b}$ :

$E = -\frac{15}{4}a \times (-\frac{1}{3}) \times b$

$F = (a-\frac{1}{2})(1-2b)$

$A = -\frac{3}{2} \times |-\frac{4}{3}| + 3 = -\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} + 3 = -2 + 3 = 1$

$B = \frac{18}{5} \times (-\frac{2}{3} + \frac{3}{2}) = \frac{18}{5} \times (\frac{-4+9}{6}) = \frac{18}{5} \times \frac{5}{6} = 3$

$C = -\frac{3}{10} - \frac{6}{5} = -\frac{3}{10} - \frac{12}{10} = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$

$D = 1 - \frac{2/5}{-3} = 1 - (-\frac{2}{15}) = 1 + \frac{2}{15} = \frac{17}{15}$

في (3): $\frac{a}{2} = \frac{-3}{b} \Rightarrow a \times b = -6$.

$E = \frac{15}{12} \times (a \times b) = \frac{5}{4} \times (-6) = -\frac{15}{2} = -7,5$

$F = a - 2ab - \frac{1}{2} + b = (a+b) - 2ab - \frac{1}{2} = -3 - 2(-6) - \frac{1}{2} = -3 + 12 - 0,5 = 8,5$

نعتبر العبارات التالية بحيث $x$ و $y$ عددين كسريين نسبيين :

$A = -\frac{7}{3}(x+\frac{6}{7})-(x-\frac{11}{3})$

(1) اختصر العبارة $A$.

(2) قارن $A$ و $B$ إذا علمت أن $x+y = -\frac{3}{20}$.

(3) أ- بيّن أنّ $A-C = 2(2x-1)(x-1)$ (باعتبار $C$ معطاة في السياق).

ب- جد العدد الكسري $x$ حيث $A=C$.

$A = -\frac{7}{3}x - 2 - x + \frac{11}{3} = (-\frac{7}{3} - \frac{3}{3})x + (-\frac{6}{3} + \frac{11}{3}) = -\frac{10}{3}x + \frac{5}{3}$

$A=C$ تعني $A-C = 0$ أي $2(2x-1)(x-1) = 0$.

إما $2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$

أو $x-1=0 \Rightarrow x=1$

ارسم مثلثا $ABC$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$.

(1) ابن $[Bx)$ منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ الذي يقطع $(AC)$ في $I$ وعين النقطة $J$ من $[AB]$ حيث $BJ=BC$. بيّن أنّ المثلثين $IBJ$ و $IBC$ متقايسان.

(2) لتكن $K$ نقطة تقاطع $(IJ)$ و $(BC)$. استنتج أن المثلث $JBK$ متقايس الضلعين.

(3) عين النقطة $E$ منتصف $[BC]$. المستقيمان $(Bx)$ و $(AE)$ يتقاطعان في $O$. بين أن $O$ مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $ABC$.

1) في المثلثين $IBJ$ و $IBC$ لدينا : $BJ = BC$ (معطى)، $[BI]$ ضلع مشترك، و $\widehat{JBI} = \widehat{CBI}$ (لأن $[BI)$ منصف). إذن يتقايسان حسب الحالة الثانية (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما).

2) من التقايس نستنتج أن $\widehat{BIJ} = \widehat{BIC}$. وفي المثلث $JBK$ نلاحظ تماثل الزوايا حول المنصف مما يجعل الضلعين $BJ$ و $BK$ متقايسين (أو عبر تقايس الزوايا).

3) في المثلث $ABC$ المتقايس الضلعين في $A$، الموسط العمودي للقاعدة $[BC]$ هو أيضاً منصف للزاوية $\widehat{BAC}$. بما أن $O$ هي نقطة تقاطع المنصف $[Bx)$ والمنصف $(AE)$، فهي نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث، إذن هي مركز الدائرة المحاطة به.

ليكن $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$ حيث $AB = 3cm$ و $AD=4cm$ و $CD=6cm$.

(1) عين النقطة $E$ منتصف $[CD]$ و $F$ منتصف $[BC]$. بين أن الرباعي $ABCE$ متوازي أضلاع.

(2) عين النقطة $G$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $F$. بين أن الرباعي $ABGC$ متوازي أضلاع.

(3) استنتج أن $C$ منتصف $[EG]$.

1) بما أن $E$ منتصف $[CD]$ فإن $CE = \frac{6}{2} = 3cm$. لدينا $(AB) // (CE)$ و $AB = CE = 3cm$. رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.

2) في الرباعي $ABGC$ القطران $[AG]$ و $[BC]$ يتقاطعان في منتصفهما $F$ (لأن $F$ منتصف $[BC]$ و $G$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $F$). رباعي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع.

3) من (1) نجد أن $(BC) // (AE)$ و $BC = AE$. ومن (2) نجد أن $(GC) // (AB)$. وبما أن $(AB) // (EC)$ فإن النقاط $E, C, G$ على استقامة واحدة. ومن خصائص متوازي الأضلاع نجد $EC = AB$ و $CG = AB$ إذن $EC = CG$ و $C$ منتصف $[EG]$.