فرض مراقبة في الرياضيات

تمرين عدد 2 (4ن)

احسب واختزل إلى أقصى حد:

$$A = \frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{9}\right) + \frac{5}{6} \times \left|\frac{-6}{5} - \frac{3}{2}\right|$$

$$B = \frac{-\frac{32}{45}}{-\frac{24}{25}}$$

$$C = \frac{-\frac{1}{4} - \frac{2}{3}}{\left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) - 1}$$

المرحلة 1️⃣: حساب التعبير A

$$A = \frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{9}\right) + \frac{5}{6} \times \left|\frac{-6}{5} - \frac{3}{2}\right|$$

الجزء الأول:

$$\frac{3}{5} \times \left(-\frac{5}{9}\right) = \frac{3 \times (-5)}{5 \times 9} = \frac{-15}{45} = -\frac{1}{3}$$

الجزء الثاني - داخل القيمة المطلقة:

$$\frac{-6}{5} - \frac{3}{2} = \frac{-12}{10} - \frac{15}{10} = \frac{-27}{10}$$

$$\left|\frac{-27}{10}\right| = \frac{27}{10}$$

الضرب:

$$\frac{5}{6} \times \frac{27}{10} = \frac{135}{60} = \frac{9}{4}$$

الجمع:

$$A = -\frac{1}{3} + \frac{9}{4} = -\frac{4}{12} + \frac{27}{12} = \frac{23}{12}$$

✅ $ A = \frac{23}{12} $

المرحلة 2️⃣: حساب التعبير B

$$B = \frac{-\frac{32}{45}}{-\frac{24}{25}}$$

تبسيط الإشارات:

$$B = \frac{\frac{32}{45}}{\frac{24}{25}} = \frac{32}{45} \times \frac{25}{24}$$

التبسيط:

$$= \frac{32 \times 25}{45 \times 24}$$

نبسط:

32 = 8×4، 24 = 8×3 → نختصر 8
25 = 5×5، 45 = 9×5 → نختصر 5

$$= \frac{4 \times 5}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$$

✅ $ B = \frac{20}{27} $

المرحلة 3️⃣: حساب التعبير C

$$C = \frac{-\frac{1}{4} - \frac{2}{3}}{\left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) - 1}$$

البسط:

$$-\frac{1}{4} - \frac{2}{3} = -\frac{3}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{11}{12}$$

المقام:

$$\left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

$$\frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6}$$

القسمة:

$$C = \frac{-\frac{11}{12}}{-\frac{5}{6}} = \frac{11}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{66}{60} = \frac{11}{10}$$

✅ $ C = \frac{11}{10} = 1.1 $

النتائج النهائية:

$ A = \frac{23}{12} $
$ B = \frac{20}{27} $
$ C = \frac{11}{10} $

تمرين عدد 3 - الجزء I (6ن)

$ x $ و $ y $ عددان كبيران نسبيان.

أ. لتكن العبارة A التالية:

$$A = -\frac{2}{5}x\left(2 - \frac{5}{2}y\right) - \left(\frac{1}{5}x - \frac{9}{5}\right)(5y - 1)$$

1. بين أن $ A = -\frac{3}{5}x + 6y - \frac{6}{5} $

2. احسب A إذا علمت أن $ xy = 1 $ و أن $ y = -\frac{1}{6} $

3. احسب A إذا علمت أن $ x - 10y = 3 $

المرحلة 1️⃣: تبسيط العبارة A

$$A = -\frac{2}{5}x\left(2 - \frac{5}{2}y\right) - \left(\frac{1}{5}x - \frac{9}{5}\right)(5y - 1)$$

الجزء الأول:

$$-\frac{2}{5}x\left(2 - \frac{5}{2}y\right) = -\frac{2}{5}x \cdot 2 + \frac{2}{5}x \cdot \frac{5}{2}y$$ $$= -\frac{4x}{5} + xy$$

الجزء الثاني:

$$\left(\frac{1}{5}x - \frac{9}{5}\right)(5y - 1)$$ $$= \frac{1}{5}x \cdot 5y - \frac{1}{5}x \cdot 1 - \frac{9}{5} \cdot 5y + \frac{9}{5} \cdot 1$$ $$= xy - \frac{x}{5} - 9y + \frac{9}{5}$$

التعبير الكامل:

$$A = -\frac{4x}{5} + xy - \left(xy - \frac{x}{5} - 9y + \frac{9}{5}\right)$$ $$= -\frac{4x}{5} + xy - xy + \frac{x}{5} + 9y - \frac{9}{5}$$ $$= -\frac{4x}{5} + \frac{x}{5} + 9y - \frac{9}{5}$$ $$= -\frac{3x}{5} + 9y - \frac{9}{5}$$

ملاحظة: النتيجة المطلوبة هي $ A = -\frac{3}{5}x + 6y - \frac{6}{5} $

لكن حسابنا يعطي $ A = -\frac{3}{5}x + 9y - \frac{9}{5} $

قد يكون هناك خطأ في نقل السؤال.

✅ سنستخدم الصيغة المحسوبة: $ A = -\frac{3}{5}x + 9y - \frac{9}{5} $

المرحلة 2️⃣: حساب A مع xy=1 و y=-1/6

المعطيات:

$ xy = 1 $
$ y = -\frac{1}{6} $

إيجاد x:

$$xy = 1 \Rightarrow x \times \left(-\frac{1}{6}\right) = 1$$ $$x = 1 \times (-6) = -6$$

التعويض:

$$A = -\frac{3}{5} \times (-6) + 9 \times \left(-\frac{1}{6}\right) - \frac{9}{5}$$ $$= \frac{18}{5} - \frac{9}{6} - \frac{9}{5}$$ $$= \frac{18}{5} - \frac{3}{2} - \frac{9}{5}$$ $$= \frac{18 - 9}{5} - \frac{3}{2} = \frac{9}{5} - \frac{3}{2}$$ $$= \frac{18}{10} - \frac{15}{10} = \frac{3}{10}$$

✅ $ A = \frac{3}{10} = 0.3 $

المرحلة 3️⃣: حساب A مع x-10y=3

المعطى:

$$x - 10y = 3 \Rightarrow x = 10y + 3$$

التعويض في A:

$$A = -\frac{3}{5}x + 9y - \frac{9}{5}$$ $$= -\frac{3}{5}(10y + 3) + 9y - \frac{9}{5}$$ $$= -6y - \frac{9}{5} + 9y - \frac{9}{5}$$ $$= 3y - \frac{18}{5}$$

ملاحظة: بدون قيمة محددة لـ y، لا يمكن حساب قيمة عددية لـ A.

النتيجة: $ A = 3y - \frac{18}{5} $

✅ عندما $ x - 10y = 3 $: $ A = 3y - \frac{18}{5} $

تمرين عدد 3 - الجزء II

II. لتكن العبارتان E و F حيث:

$$E = (2 - x)\left(y - \frac{9}{2}\right) + 6 - 3x$$

$$F = \left(\frac{3}{2} - y\right)(2x + 1)$$

1. بين أن $ E = (2 - x)\left(y - \frac{3}{2}\right) $

2. استنتج تفكيكا للعبارة E-F

3. قارن E و F إذا علمت أن $ x = -4 $ و $ y > \frac{9}{2} $

المرحلة 1️⃣: تبسيط E وإثبات الصيغة

$$E = (2 - x)\left(y - \frac{9}{2}\right) + 6 - 3x$$

فك القوس الأول:

$$(2 - x)\left(y - \frac{9}{2}\right) = 2y - 9 - xy + \frac{9x}{2}$$

التعبير الكامل:

$$E = 2y - 9 - xy + \frac{9x}{2} + 6 - 3x$$ $$= 2y - xy + \frac{9x}{2} - 3x - 3$$ $$= 2y - xy + \frac{9x - 6x}{2} - 3$$ $$= 2y - xy + \frac{3x}{2} - 3$$

التحليل لإيجاد الصيغة المطلوبة:

نريد كتابتها على شكل $ (2-x)(y-a) $:

$$(2-x)\left(y - \frac{3}{2}\right) = 2y - 3 - xy + \frac{3x}{2}$$

وهذا يساوي بالضبط ما حصلنا عليه!

✅ $ E = (2 - x)\left(y - \frac{3}{2}\right) $ ← ثبت المطلوب

المرحلة 2️⃣: تفكيك E-F

لدينا:

$$E = (2 - x)\left(y - \frac{3}{2}\right)$$ $$F = \left(\frac{3}{2} - y\right)(2x + 1)$$

ملاحظة:

$$\frac{3}{2} - y = -\left(y - \frac{3}{2}\right)$$

إذن:

$$F = -\left(y - \frac{3}{2}\right)(2x + 1)$$

حساب E-F:

$$E - F = (2 - x)\left(y - \frac{3}{2}\right) - \left[-\left(y - \frac{3}{2}\right)(2x + 1)\right]$$ $$= (2 - x)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \left(y - \frac{3}{2}\right)(2x + 1)$$ $$= \left(y - \frac{3}{2}\right)[(2 - x) + (2x + 1)]$$ $$= \left(y - \frac{3}{2}\right)[2 - x + 2x + 1]$$ $$= \left(y - \frac{3}{2}\right)(x + 3)$$

✅ $ E - F = \left(y - \frac{3}{2}\right)(x + 3) $

المرحلة 3️⃣: مقارنة E و F

المعطيات:

$ x = -4 $
$ y > \frac{9}{2} $

التعويض في E-F:

$$E - F = \left(y - \frac{3}{2}\right)(x + 3)$$ $$= \left(y - \frac{3}{2}\right)(-4 + 3)$$ $$= \left(y - \frac{3}{2}\right)(-1)$$ $$= -\left(y - \frac{3}{2}\right)$$

تحليل الإشارة:

بما أن $ y > \frac{9}{2} > \frac{3}{2} $، فإن $ y - \frac{3}{2} > 0 $ (موجب)
إذن $ -\left(y - \frac{3}{2}\right) < 0 $ (سالب)
أي $ E - F < 0 $

✅ النتيجة: E < F

الخلاصة:

عندما $ x = -4 $ و $ y > \frac{9}{2} $، فإن E أصغر من F

تمرين عدد 4 (6ن)

$ x\hat{A}y $ زاوية حيث $ x\hat{A}y = 60° $

عين نقطة B على (Ax) و نقطة C على (Ay) بحيث AB=AC=3cm

1. المستقيم المار من B والعمودي على (Ax) يقطع (Ay) في E و المستقيم المار من C والعمودي على (Ay) يقطع (Ax) في F. (BE) و (CF) يتقاطلان في النقطة I.

أثبت تقايس المثلثين ABE و ACF و استنتج بقية عناصرهما المتظيرة.

2.

أ. أثبت تقايس المثلثين AIC و AIB

ب. استنتج أن (AI) الوسط العمودي لــ[BC]

3.

أ. بين أن AEF متقايس الأضلاع

ب. استنتج أن (BC)//(EF)

المرحلة 1️⃣: إثبات تقايس ABE و ACF

المعطيات:

$ x\hat{A}y = 60° $
AB = AC = 3cm
BE ⊥ (Ax) عند B
CF ⊥ (Ay) عند C

في المثلثين ABE و ACF:

AB = AC = 3cm (معطى)
∠ABE = ∠ACF = 90° (عموديان)
∠BAE = ∠CAF = 60° (نفس الزاوية)

✅ حسب شرط (ضلع-زاوية-زاوية)، المثلثان ABE و ACF متقايسان

العناصر المتناظرة:

AB = AC ✓
BE = CF
AE = AF
∠ABE = ∠ACF = 90° ✓
∠BAE = ∠CAF = 60° ✓
∠AEB = ∠AFC = 30°

المرحلة 2️⃣: تقايس AIC و AIB والوسط العمودي

2.أ - إثبات تقايس AIC و AIB:

من التقايس السابق:

AE = AF
BE = CF

في المثلثين AIC و AIB:

AC = AB (معطى)
AI مشترك
∠CAI = ∠BAI (من خصائص التقايس والتناظر)

بديلاً، يمكن استخدام:

AC = AB
CI = BI (من تقايس المثلثات القائمة)
AI مشترك

✅ المثلثان AIC و AIB متقايسان (ضلع-ضلع-ضلع)

2.ب - (AI) الوسط العمودي لـ[BC]:

من تقايس AIC و AIB:

∠IAC = ∠IAB (AI منصف الزاوية)
IC = IB

بما أن I يبعد نفس المسافة عن B و C، و A كذلك (AB=AC):

✅ (AI) هو الوسط العمودي لـ[BC]

المرحلة 3️⃣: المثلث AEF والتوازي

3.أ - إثبات أن AEF متقايس الأضلاع:

من التقايس الأول:

AE = AF
∠EAF = ∠BAC = 60°

مثلث متقايس الضلعين بزاوية رأس 60° هو مثلث متقايس الأضلاع

✅ المثلث AEF متقايس الأضلاع

إذن: AE = AF = EF و جميع زواياه = 60°

3.ب - إثبات (BC) // (EF):

الطريقة 1 - بالزوايا:

في المثلث ABC:

AB = AC
∠BAC = 60°
إذن ABC متقايس الأضلاع
∠ABC = ∠ACB = 60°

بما أن ABC و AEF كلاهما متقايسا الأضلاع ولهما نفس الزاوية عند A:

الضلع BC يوازي الضلع EF
(لأن الزوايا المتناظرة متساوية)

✅ (BC) // (EF)

خاصية جميلة:

في هذا البناء الهندسي، ABC و AEF مثلثان متقايسا الأضلاع متحدان في الرأس A، والضلعان المتقابلان BC و EF متوازيان!