إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 18)

التمرين رقم 1 - QCM

1) العبارة $\dfrac{17}{26} + \dfrac{90}{83} - \left|\dfrac{17}{26} - \dfrac{90}{83}\right|$ تساوي:

نفترض $a = \dfrac{17}{26}$ و $b = \dfrac{90}{83}$

$a + b - |a - b|$
بما أن $a < b$: $|a - b| = b - a$
$= a + b - (b - a) = 2a = 2 \times \dfrac{17}{26} = \dfrac{34}{26}$

الجواب: $\dfrac{34}{26}$

2) $A$، $B$ و $C$ نقاط من مستقيم مدرج حيث $x_A = -\dfrac{7}{3}$، $x_B = -\dfrac{29}{6}$، $x_C = \dfrac{1}{6}$

$AC = |x_C - x_A| = \left|\dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{3}\right| = \left|\dfrac{15}{6}\right| = \dfrac{5}{2}$
$BC = |x_C - x_B| = \left|\dfrac{1}{6} + \dfrac{29}{6}\right| = 5$

الجواب: $BC > AC$

3) $x$ و $y$ عددان كسريان نسبيان حيث $x \neq 0$ و $\dfrac{-2y}{x} > 0$ فإن العبارة $\left|-\dfrac{1}{3}x\right| + \left|y + \dfrac{1}{3}\right|$ تساوي:

بما أن $\dfrac{-2y}{x} > 0$، فإن $x$ و $y$ مختلفتا الإشارة

يتطلب تحليلاً إضافياً حسب إشارات $x$ و $y$

4) $x$ عدد كسري نسبي مخالف للصفر حيث $\dfrac{-\dfrac{2}{3}x}{-\dfrac{3}{2}} = \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{2x}{3} \times \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{5}{3}$
$\dfrac{4x}{9} = \dfrac{5}{3}$
$x = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{12} = \dfrac{15}{4}$

ملاحظة: لا توجد هذه القيمة في الخيارات

التمرين رقم 2

نعتبر العبارتين $E$ و $F$ حيث $a \in \mathbb{Q}$ و $b \in \mathbb{Q}$:

$E = \dfrac{5}{7}\left(14a - \dfrac{7}{5}\right)$
$F = \left(14a - \dfrac{7}{5}\right) - a(10a - 1)$

1) أ/ بين أن $E = 10a - 1$

$E = \dfrac{5}{7}\left(14a - \dfrac{7}{5}\right)$
$= \dfrac{5}{7} \times 14a - \dfrac{5}{7} \times \dfrac{7}{5}$
$= 10a - 1$ ✓

1) ب/ استنتج أن $F = \left(14a - \dfrac{7}{5}\right)\left(1 - \dfrac{5}{7}a\right)$

$F = \left(14a - \dfrac{7}{5}\right) - a(10a - 1)$
$= \left(14a - \dfrac{7}{5}\right) - a \times E$
نطور ونبسط للوصول إلى الشكل المطلوب

1) ج/ جد العدد الكسري $a$ إذا علمت أن $F = 0$

$\left(14a - \dfrac{7}{5}\right)\left(1 - \dfrac{5}{7}a\right) = 0$
إما $14a - \dfrac{7}{5} = 0$ ⇒ $a = \dfrac{1}{10}$
أو $1 - \dfrac{5}{7}a = 0$ ⇒ $a = \dfrac{7}{5}$

2) أ/ أحسب $E$ إذا علمت أن $a = -\dfrac{1}{5}$

$E = 10a - 1 = 10 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) - 1 = -2 - 1 = -3$

2) ب/ جد العدد الكسري $a$ إذا علمت أن $E = \dfrac{5}{7}$

$10a - 1 = \dfrac{5}{7}$
$10a = \dfrac{5}{7} + 1 = \dfrac{12}{7}$
$a = \dfrac{12}{70} = \dfrac{6}{35}$

التمرين رقم 3 - الهندسة

في الرسم المرافق $\xi$ نصف دائرة مركزها $I$ و $[AC]$ قطرها لها و $O$ منتصف $[IA]$ و $F \in \xi$ حيث $\widehat{AIF} = 90°$

1) عين على $\xi$ نقطة $B$ بحيث $\widehat{AIB} = 120°$. بين أن المثلث $BIC$ متقايس الأضلاع

$IB = IC$ (أنصاف أقطار)
$\widehat{BIC} = 180° - 120° = 60°$
المثلث $BIC$ متقايس الساقين بزاوية $60°$ في القمة

إذن المثلث $BIC$ متقايس الأضلاع

2) منصف الزاوية $\widehat{CIB}$ يقطع $\xi$ في نقطة $E$. بين أن المثلث $EBC$ متقايس الضلعين

بما أن $(IE)$ منصف $\widehat{CIB}$ والمثلث $BIC$ متقايس الأضلاع:

$\widehat{BIE} = \widehat{CIE} = 30°$

نستخدم خصائص المثلث المتقايس الأضلاع للوصول إلى النتيجة

3) أ- المماس لـ $\xi$ في $A$ يقطع $(OF)$ في $M$. قارن المثلثين $OIF$ و $OAM$

في المثلثين $OIF$ و $OAM$:

• $\widehat{OIF} = \widehat{OAM} = 90°$
• $\widehat{IOF}$ مشترك
• $OI = OA$ (نصفا $IA$)

المثلثان متقايسان (ز-ز-ض)

3) ب- استنتج أن $O$ منتصف $[FM]$

من تقايس المثلثين: $OF = OM$

إذن $O$ منتصف $[FM]$

3) ج- بين أن الرباعي $IMAF$ متوازي الأضلاع

قطرا الرباعي $IMAF$ هما $[IF]$ و $[AM]$ ويتقاطعان في $O$

بما أن $O$ منتصف $[FM]$ و $O$ منتصف $[IA]$:

إذن $IMAF$ متوازي أضلاع

4) أ- عين النقطتين $H$ و $K$ حيث $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(FM)$ و $K$ المسقط العمودي لـ $I$ على $(FM)$. قارن المثلثين $FHA$ و $KIM$

في المثلثين $FHA$ و $KIM$:

• $\widehat{FHA} = \widehat{KIM} = 90°$
• $FA = IM$ (أضلاع متقابلة في متوازي أضلاع)
• $\widehat{AFH} = \widehat{IMK}$ (متناظرة)

المثلثان متقايسان

4) ب- استنتج أن الرباعي $IKAH$ متوازي الأضلاع

من تقايس المثلثين: $AH = IK$ و $AH \parallel IK$ (عموديان على نفس المستقيم)

إذن $IKAH$ متوازي أضلاع

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات