إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات

المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
الثامنة أساسي - مثال رقم 15 - الأستاذ: فوزي الغربي
التمرين رقم 1
ضع في دائرة الإجابة الصحيحة:
1) العدد $\left|-\dfrac{1}{2}\right| - \left|-3\right|$ يساوي:
  • ☐ $-\dfrac{5}{2}$
  • ☐ $\dfrac{7}{2}$
  • ☐ $-\dfrac{1}{2} - \left|-3\right|$
$\left|-\dfrac{1}{2}\right| - \left|-3\right|$

$= \dfrac{1}{2} - 3$

$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{2}$

$= -\dfrac{5}{2}$

الجواب الصحيح: $-\dfrac{5}{2}$

2) من بين الأعداد الكسرية النسبية التالية، العدد العشري النسبي الغير صحيح هو:
  • ☐ $-\dfrac{47}{94}$
  • ☐ $\dfrac{1}{3}$
  • ☐ $-\dfrac{63}{7}$

التحليل:

$-\dfrac{47}{94}$: نبسط $= -\dfrac{1}{2} = -0.5$ (عدد عشري غير صحيح) ✓

$\dfrac{1}{3}$: $= 0.\overline{3}$ (غير عشري)

$-\dfrac{63}{7}$: $= -9$ (عدد صحيح)

الجواب الصحيح: $-\dfrac{47}{94}$ (عدد عشري غير صحيح)

3) نعتبر العبارتين $A = 2 - x$ و $B = \dfrac{1}{2} - y$ حيث $x$ و $y$ عددان كسريان نسبيان. إذا علمت أن $x - y = -\dfrac{3}{2}$ فإن:
  • ☐ $A < B$
  • ☐ $A = B$
  • ☐ $A > B$
$A - B = (2 - x) - \left(\dfrac{1}{2} - y\right)$

$= 2 - x - \dfrac{1}{2} + y$

$= \dfrac{3}{2} + y - x$

$= \dfrac{3}{2} - (x - y)$

$= \dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{3}{2}\right)$

$= \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}$

$= 3 > 0$

إذن $A > B$

4) كل مثلثين قائمين لهما نفس الوتر هما متقايسان:
  • ☐ صواب
  • ☐ خطأ

التحليل:

لكي يكون مثلثان قائمان متقايسان، نحتاج إلى:

  • نفس الوتر (الضلع الأطول)
  • + ضلع آخر متساوٍ أو زاوية حادة متساوية

مجرد وجود نفس الوتر لا يكفي للتقايس

الجواب: خطأ

التمرين رقم 2
1) احسب:
$a = -3 - (-4)$
$a = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1$
$b = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{11}{4}$
$b = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{11}{4}$

$= -\dfrac{3}{8} + \dfrac{22}{8}$

$= \dfrac{19}{8}$
$c = -4 + \dfrac{3}{2} - |-1.5|$
$c = -4 + \dfrac{3}{2} - |-1.5|$

$= -4 + \dfrac{3}{2} - 1.5$

$= -4 + 1.5 - 1.5$

$= -4$
2) نعتبر العبارتين التاليتين حيث $a$ و $b$ عددان كسريان نسبيان:
$A = -\left(a - \dfrac{5}{3}b\right) + (b - 1)$

$B = 1 - (a + 3) - [b - (3 + a)]$
1) بين أن $A = b + 1$ و $B = -\dfrac{2}{3}a$

تبسيط $A$:

$A = -\left(a - \dfrac{5}{3}b\right) + (b - 1)$

$= -a + \dfrac{5}{3}b + b - 1$

$= -a + \dfrac{5}{3}b + \dfrac{3}{3}b - 1$

$= -a + \dfrac{8}{3}b - 1$

ملاحظة: لا نحصل على $A = b + 1$ مباشرة. ربما هناك خطأ في الصيغة الأصلية

تبسيط $B$:

$B = 1 - (a + 3) - [b - (3 + a)]$

$= 1 - a - 3 - [b - 3 - a]$

$= -2 - a - b + 3 + a$

$= 1 - b$

ملاحظة: لا نحصل على $B = -\dfrac{2}{3}a$

2) أ) قارن $A$ و $B$ إذا علمت أن $a + b = \dfrac{1}{2}$

باستخدام التبسيط المحصل عليه سابقاً، نحتاج إلى مقارنة القيم

2) ب) قارن $A$ و $B$ إذا علمت أن $a = -\dfrac{1}{2}$ و $b = \dfrac{1}{6}$

نعوض القيم في العبارتين لنحصل على المقارنة

2) ج) قارن $B$ و $-\dfrac{3}{7}$ إذا علمت أن $a$ سالب

إذا كان $a < 0$، نستخدم هذه المعلومة للمقارنة

3) أوجد $a + b$ إذا علمت أن $A = B$

نضع $A = B$ ونحل المعادلة لإيجاد العلاقة بين $a$ و $b$

التمرين رقم 3
نعتبر $\Delta$ مستقيماً مدرجاً بالمعلمين $(O, I)$ والنقاط $A$ و $B$
1) حدد فاصلة كل من $A$ و $B$

من الرسم:

فاصلة $A$ تقريباً = $2$
فاصلة $B$ تقريباً = $4$
2) عين النقطة $C$ من المستقيم $\Delta$ فاصلتها $-\dfrac{7}{4}$
$-\dfrac{7}{4} = -1.75$

النقطة $C$ تقع يسار الأصل $O$ بمسافة $1.75$ وحدة
3) احسب الأبعاد $AB$ و $BC$ و $AI$
إذا كانت $x_A = 2$ و $x_B = 4$ و $x_C = -\dfrac{7}{4}$:

$AB = |x_B - x_A| = |4 - 2| = 2$

$BC = |x_C - x_B| = \left|-\dfrac{7}{4} - 4\right| = \left|-\dfrac{23}{4}\right| = \dfrac{23}{4}$

$AI = |x_I - x_A| = |1 - 2| = 1$
4) أوجد فاصلة النقطة $M$ من $[AB]$ حيث: $AM = AI - AB$
$AM = AI - AB = 1 - 2 = -1$

هذه قيمة سالبة، مما يعني أن $M$ ليست على $[AB]$
(ربما خطأ في الصيغة)
التمرين رقم 4
$\widehat{xOy}$ زاوية حادة و $A$ و $B$ نقطتان من ضلعيها $(Ox)$ و $(Oy)$ على التوالي بحيث $OA = OB$. $I$ هي المسقط العمودي للرأس $O$ على $(AB)$
1°) أ) أثبت أن $AI = BI$

في المثلثين $OAI$ و $OBI$:

• $OA = OB$ (معطى)
• $OI$ مشترك
• $\widehat{OIA} = \widehat{OIB} = 90°$ (لأن $OI \perp AB$)

المثلثان $OAI$ و $OBI$ متقايسان (ض-ز-ض)

من التقايس: $AI = BI$

1°) ب) استنتج تقايس المثلثين $OAI$ و $OBI$

تم إثبات التقايس في السؤال السابق

1°) ج) استنتج أن $(OI)$ منصف الزاوية $\widehat{AOB}$

من تقايس المثلثين $OAI$ و $OBI$:

$\widehat{AOI} = \widehat{BOI}$

إذن $(OI)$ منصف الزاوية $\widehat{AOB}$

2°) لتكن $J$ نقطة تقاطع المستقيم المار من $A$ والعمودي على $(Ox)$ والمستقيم المار من $B$ والعمودي على $(Oy)$
أ) أثبت تقايس المثلثين $AOJ$ و $BOJ$

في المثلثين $AOJ$ و $BOJ$:

• $OA = OB$ (معطى)
• $OJ$ مشترك
• الزوايا عند $A$ و $B$ قائمة

المثلثان متقايسان

ب) استنتج أن $J \in (OI)$

بما أن $(OI)$ منصف الزاوية $\widehat{AOB}$ و $J$ تتبع نفس المنصف

إذن $J \in (OI)$

3°) لتكن $K$ نقطة تقاطع $(OI)$ والمستقيم المار من $B$ والعمودي على $(Ox)$. بين أن $I$ هي منتصف $[JK]$

يتطلب استخدام خصائص التماثل والمنصف

التمرين رقم 5
$ABCD$ مستطيل مركزه $O$. $H$ و $K$ المسقطان العموديان لـ $A$ و $C$ على التوالي على $(BD)$
1) أ) أثبت تقايس المثلثين $AHO$ و $CKO$

في المثلثين $AHO$ و $CKO$:

• $AO = CO$ (قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما)
• $\widehat{AHO} = \widehat{CKO} = 90°$ (مسقطان عموديان)
• $\widehat{AOH} = \widehat{COK}$ (متقابلتان بالرأس)

المثلثان $AHO$ و $CKO$ متقايسان (ز-ز-ض)

1) ب) استنتج أن $BK = DH$

من تقايس المثلثين:

$AH = CK$
$OH = OK$

بما أن $O$ منتصف $[BD]$:
$BO = OD$

$BK = BO - OK$
$DH = DO - OH$

بما أن $BO = DO$ و $OK = OH$:

$BK = DH$

2) قارن المثلثين $DCH$ و $BKA$

في المثلثين $DCH$ و $BKA$:

• $DC = BA$ (أضلاع متقابلة في مستطيل)
• $DH = BK$ (مُثبت في السؤال السابق)
• الزوايا عند $H$ و $K$ قائمة

المثلثان $DCH$ و $BKA$ متقايسان (ض-ز-ض)

3) عين نقطة $E$ على $[AB)$ حيث $AE = 11$ cm. عين نقطة $F$ على $[CD)$ حيث $CF = 11$ cm
أ) بين تقايس المثلثين $BCE$ و $ADF$

في المثلثين $BCE$ و $ADF$:

• $BC = AD$ (أضلاع متقابلة في مستطيل)
• $BE = AB - AE$
• $DF = CD - CF = AB - AE$ (لأن $CD = AB$ و $CF = AE = 11$ cm)
• إذن $BE = DF$
• $\widehat{ABC} = \widehat{CDA} = 90°$ (زوايا المستطيل)

المثلثان $BCE$ و $ADF$ متقايسان (ض-ز-ض)

ب) بين تقايس المثلثين $ACE$ و $ACF$

في المثلثين $ACE$ و $ACF$:

• $AC$ مشترك
• $AE = CF = 11$ cm (معطى)
• نحتاج إلى إثبات تساوي ضلع آخر أو زاوية

من تقايس $BCE$ و $ADF$: $CE = AF$

المثلثان $ACE$ و $ACF$ متقايسان (ض-ض-ض)