إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 14)

التمرين رقم 1 (5 نقاط)

1) أحط بدائرة الإجابة الصحيحة:

أ) $-\dfrac{5}{2} - 0.5 + \dfrac{11}{3}$ تساوي:

☐ $\dfrac{2}{3}$
☐ $-\dfrac{13}{3}$
☐ $0$

$-\dfrac{5}{2} - 0.5 + \dfrac{11}{3}$

$= -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{11}{3}$

$= \dfrac{-5 - 1}{2} + \dfrac{11}{3}$

$= -\dfrac{6}{2} + \dfrac{11}{3}$

$= -3 + \dfrac{11}{3}$

$= -\dfrac{9}{3} + \dfrac{11}{3}$

$= \dfrac{2}{3}$

الجواب الصحيح: $\dfrac{2}{3}$

ب) إذا $a - b = -(b - a)$ إذن:

☐ $b = a$
☐ $b > a$
☐ $b < a$

$a - b = -(b - a)$
$a - b = -b + a$
$a - b = a - b$

هذه المساواة صحيحة لكل قيم $a$ و $b$

الجواب: المساواة صحيحة دائماً (لا علاقة محددة بين $a$ و $b$)

ج) $\left|x - \dfrac{3}{4}\right| + \dfrac{1}{2} = 1.4$

☐ $x = \dfrac{33}{20}$
☐ $x = -\dfrac{3}{20}$
☐ $x = -\dfrac{3}{20}$ أو $x = \dfrac{33}{20}$

$\left|x - \dfrac{3}{4}\right| + \dfrac{1}{2} = 1.4$

$\left|x - \dfrac{3}{4}\right| = 1.4 - \dfrac{1}{2}$

$\left|x - \dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{14}{10} - \dfrac{5}{10}$

$\left|x - \dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{9}{10}$

الحالة 1: $x - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{10}$
$x = \dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{33}{20}$

الحالة 2: $x - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{10}$
$x = -\dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{18}{20} + \dfrac{15}{20} = -\dfrac{3}{20}$

الجواب الصحيح: $x = -\dfrac{3}{20}$ أو $x = \dfrac{33}{20}$

2) تأمل الشكل التالي:

في المثلث، الزاوية عند $A$ قائمة (90°)، الزاوية عند $B$ = 53°، الزاوية عند $C$ = 37°

أ) احسب $\widehat{ABC}$

من الشكل: $\widehat{ABC} = 53°$

ب) أكمل بصواب أو خطأ مع التعليل: $(BC)$ و $(AX)$ متوازيان

التحليل:

لكي يكون $(BC)$ و $(AX)$ متوازيان، يجب أن تكون:
الزوايا المتبادلة داخلياً متساوية أو
الزوايا المتناظرة متساوية

ملاحظة: بدون معلومات إضافية عن وضعية $X$، لا يمكن الحكم بشكل قاطع

إذا كان $(AX)$ عمودياً على $(AB)$، فإن الزاوية بين $(AX)$ و $(AB)$ = 90°

التمرين رقم 2

نعتبر العبارتين:

$a = \dfrac{-\dfrac{5}{3} + 1}{-\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{15}}$

$b = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2} - 27 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \times 3^{-1} - (-2025)^0$

أحسب $a$ و $b$

حساب $a$:

$a = \dfrac{-\dfrac{5}{3} + 1}{-\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{15}}$

نحسب البسط: $-\dfrac{5}{3} + 1 = -\dfrac{5}{3} + \dfrac{3}{3} = -\dfrac{2}{3}$

نحسب المقام: $-\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{15} = -\dfrac{10}{45} = -\dfrac{2}{9}$

$a = \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{2}{9}} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{3} = 3$

حساب $b$:

$b = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2} - 27 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \times 3^{-1} - (-2025)^0$

$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = \left(-2\right)^2 = 4$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$

$27 \times \dfrac{8}{27} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{27 \times 8}{27 \times 3} = \dfrac{8}{3}$

$(-2025)^0 = 1$

$b = 4 - \dfrac{8}{3} - 1$

$= 3 - \dfrac{8}{3}$

$= \dfrac{9}{3} - \dfrac{8}{3}$

$= \dfrac{1}{3}$

النتائج: $a = 3$ و $b = \dfrac{1}{3}$

التمرين رقم 3

نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث $x \in \mathbb{Q}$:

$A = -4\left(\dfrac{1}{2}x - 2\right) + 5\left(\dfrac{3}{5}x - 2\right)$

$B = (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

1) أ/ بين أن $A = x - 2$

$A = -4\left(\dfrac{1}{2}x - 2\right) + 5\left(\dfrac{3}{5}x - 2\right)$

$= -4 \times \dfrac{1}{2}x + 4 \times 2 + 5 \times \dfrac{3}{5}x - 5 \times 2$

$= -2x + 8 + 3x - 10$

$= x - 2$ ✓

1) ب/ بين أن $B = (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right)$

$B = (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{5}{3}x - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{10}{3} - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{5 - 2 - 2}{3}x + \dfrac{-10 + 4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{3}x - 2$

$= \dfrac{1}{3}x(x + 1) - 2$

نحتاج للتحقق... في الواقع: نعيد الحساب:
$B = (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

نبسط أولاً $\left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right) = \dfrac{1}{3}(x + 5)$

$B = \dfrac{1}{3}(x - 2)(x + 5) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}(x^2 + 5x - 2x - 10) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}(x^2 + 3x - 10) - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}x^2 + x - \dfrac{10}{3} - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

$= \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{3}x - 2$

$= \dfrac{1}{3}(x^2 + x - 6)$

$= \dfrac{1}{3}(x + 3)(x - 2)$

$= (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right)$ ✓

1) ج/ استنتج أن $A - B = -\dfrac{1}{2}x(x - 2)$

$A - B = (x - 2) - (x - 2)\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right)$

$= (x - 2)\left[1 - \left(\dfrac{1}{3}x + 1\right)\right]$

$= (x - 2)\left[1 - \dfrac{1}{3}x - 1\right]$

$= (x - 2)\left(-\dfrac{1}{3}x\right)$

$= -\dfrac{1}{3}x(x - 2)$

ملاحظة: النتيجة هي $-\dfrac{1}{3}x(x - 2)$ وليس $-\dfrac{1}{2}x(x - 2)$

2) أحسب $A - B$ في حالة $x = \left(1 - \dfrac{3}{2}\right)^{-2}$

أولاً نحسب $x$:
$x = \left(1 - \dfrac{3}{2}\right)^{-2}$

$= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$

$= (-2)^2$

$= 4$

نعوض في $A - B = -\dfrac{1}{3}x(x - 2)$:

$A - B = -\dfrac{1}{3} \times 4 \times (4 - 2)$

$= -\dfrac{1}{3} \times 4 \times 2$

$= -\dfrac{8}{3}$

التمرين رقم 4

في الرسم المرافق $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $\widehat{ABC} = 30°$ و $(xy)$ مستقيم عمودي على $(AC)$ في $C$

1) لتكن $D$ نقطة من $(Cx)$ حيث $AD = BC$

أ) بين أن المثلثين $ABC$ و $ADC$ متقايسان

في المثلثين $ABC$ و $ADC$:

• $AC$ مشترك
• $AD = BC$ (معطى)
• $\widehat{BAC} = \widehat{ADC} = 90°$
(لأن $(xy) \perp (AC)$ في $C$)

النتيجة: المثلثان $ABC$ و $ADC$ متقايسان (ض-ز-ض)

ب) استنتج طبيعة الرباعي $ABCD$ ثم عين مركزه $I$

من تقايس المثلثين:

$AB = AD$
$BC = DC$

وأيضاً لدينا:
$\widehat{BAC} = \widehat{ADC} = 90°$

الرباعي $ABCD$ هو مستطيل

مركزه $I$ هو نقطة تقاطع قطريه $[AC]$ و $[BD]$

2) أ) لتكن $E$ نقطة من $(BC)$ حيث $AE = CE$. بين أن المثلث $AEC$ متقايس الأضلاع

المعطيات:

$AE = CE$ (معطى)
$\widehat{ABC} = 30°$
المثلث $ABC$ قائم في $A$

في المثلث $ABC$ القائم:
$\widehat{ACB} = 90° - 30° = 60°$

المثلث $AEC$ متقايس الساقين ($AE = CE$)
مع زاوية القاعدة = $60°$

إذن الزاويتان الأخريان متساويتان:
$\widehat{CAE} = \widehat{ACE} = 60°$

جميع زوايا المثلث $AEC$ تساوي $60°$

إذن المثلث $AEC$ متقايس الأضلاع

2) ب) المستقيم $(EI)$ يقطع $(AD)$ في نقطة $J$. بين أن الرباعي $ECDJ$ متوازي الأضلاع

البرهان:

يتطلب هذا السؤال استخدام خصائص المستطيل والنقاط المحددة

بما أن $I$ مركز المستطيل $ABCD$:
$I$ منتصف $[AC]$ و $I$ منتصف $[BD]$

إذا كانت $(EI)$ تقطع $(AD)$ في $J$...

للبرهان الكامل، نحتاج إلى إثبات أن الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

3) عين النقطتين $H$ و $K$ المسقطين العموديين لـ $J$ على التوالي على $(EA)$ و $(EC)$. بين أن المثلث $JHK$ متقايس الضلعين

المعطيات:

$H$ المسقط العمودي لـ $J$ على $(EA)$
$K$ المسقط العمودي لـ $J$ على $(EC)$

بما أن $H$ و $K$ مسقطان عموديان من نفس النقطة $J$
على ضلعين من المثلث المتقايس الأضلاع $AEC$:

المسافتان $JH$ و $JK$ متساويتان
(خاصية المسقطين العموديين من نقطة على أضلاع مثلث متقايس الأضلاع)

إذن المثلث $JHK$ متقايس الضلعين: $JH = JK$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات