إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 13)

التمرين رقم 1

ضع علامة ✓ في الخانة المناسبة:

1) إذا $ab \in \mathbb{Z}^*$ إذن:

☐ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{|a|}{|b|}$
☐ $\dfrac{a}{b} = -\dfrac{a}{b}$
☐ $\dfrac{|a|}{b} = \dfrac{a}{|b|}$

التحليل:

إذا كان $ab > 0$ (نفس الإشارة):
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{|a|}{|b|}$ ✓

إذا كان $ab < 0$ (إشارات مختلفة):
$\dfrac{a}{b} = -\dfrac{|a|}{|b|}$

في الحالة العامة عندما $ab \in \mathbb{Z}^*$:
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{|a|}{|b|}$ إذا كان $ab > 0$

الجواب الصحيح: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{|a|}{|b|}$ (عندما يكون $ab > 0$)

2) $\mathbb{Q}_+^* \cup \mathbb{Q}^- = $

☐ $\mathbb{Q}$
☐ $\mathbb{Q}^*$
☐ $\mathbb{Q}^-$

التحليل:

$\mathbb{Q}_+^*$ = الأعداد الكسرية الموجبة الغير منعدمة
$\mathbb{Q}^-$ = الأعداد الكسرية السالبة

$\mathbb{Q}_+^* \cup \mathbb{Q}^-$ = الأعداد الكسرية الموجبة (ماعدا الصفر) والسالبة
= $\mathbb{Q}^*$ (جميع الأعداد الكسرية ماعدا الصفر)

الجواب الصحيح: $\mathbb{Q}^*$

3) $E = \left\{x \in \mathbb{Q}^-, |x| = -\dfrac{2}{7}\right\}$

☐ $E = \left\{-\dfrac{2}{7}\right\}$
☐ $E = \emptyset$
☐ $E = \left\{\dfrac{2}{7}, -\dfrac{2}{7}\right\}$

التحليل:

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو منعدمة
$|x| \geq 0$ لكل $x$

$|x| = -\dfrac{2}{7}$ مستحيل لأن $-\dfrac{2}{7} < 0$

الجواب الصحيح: $E = \emptyset$

4) المثلثان في الشكل:

☐ متقايسان
☐ غير متقايسان

ملاحظة: يتطلب هذا السؤال النظر إلى الشكل المرفق في الورقة

للحكم على التقايس، نحتاج إلى:

مقارنة الأضلاع
مقارنة الزوايا
تطبيق معايير التقايس

5) $F = \left\{\dfrac{18}{12}, 0, -\dfrac{21}{7}\right\}$

تبسيط عناصر $F$:

$\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} = 1.5$
$0$
$-\dfrac{21}{7} = -3$

إذن: $F = \left\{\dfrac{3}{2}, 0, -3\right\}$

التحقق من الخيارات:

$F \cap \mathbb{ID} = F$ (جميع العناصر عشرية) ✓
$F \cap \mathbb{Z} = \{0, -3\}$
$\mathbb{ID}^- \cap F = \{-3\}$
$F = \left\{-\dfrac{21}{7}, 0\right\}$ غير صحيح

التمرين رقم 2

لدينا المجموعات التالية:

$M = \left\{-\dfrac{18}{3}, 0, \dfrac{8016}{8}\right\}$

$N = \left\{2.9, -2, -\dfrac{105}{35}\right\}$

$P = \left\{0, -\dfrac{4}{3}, -2.04\right\}$

1°) أتمم بإحدى العلامات: $\in$ أو $\notin$ أو $\subset$ أو $\not\subset$

تبسيط المجموعات:

$M = \{-6, 0, 1002\}$
$N = \{2.9, -2, -3\}$
$P = \{0, -\dfrac{4}{3}, -2.04\}$

$M$ ..... $\mathbb{Z}$:
جميع عناصر $M$ هي أعداد صحيحة
$M \subset \mathbb{Z}$ ✓

$-4$ ..... $N$:
$-4 \notin N$ ✓

$P$ ..... $\mathbb{ID}$:
جميع عناصر $P$ هي أعداد عشرية
$P \subset \mathbb{ID}$ ✓

2°) أتمم بما يناسب:

$M \cap \mathbb{N}^*$ = $\{1002\}$

$M \cap \mathbb{Z}$ = $M = \{-6, 0, 1002\}$

$N \cap \mathbb{ID}^-$ = $\{-2, -3\}$

$M \cap \mathbb{Q}^*$ = $\{-6, 1002\}$

$N \cap \mathbb{ID}_+$ = $\{2.9\}$

$M \cup P$ = $\{-6, 0, 1002, -\dfrac{4}{3}, -2.04\}$

3°) حدد عناصر المجموعتين التاليتين:

أ) $E$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية $x$ المنتمية للمجموعة $P$ بحيث $|x| = \dfrac{4}{3}$

$P = \{0, -\dfrac{4}{3}, -2.04\}$

نبحث عن $x \in P$ بحيث $|x| = \dfrac{4}{3}$ و $x \in \mathbb{Z}$

$\left|-\dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{4}{3}$ ✓
لكن $-\dfrac{4}{3}$ ليس عدداً صحيحاً

لا يوجد عدد صحيح في $P$ قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{4}{3}$

الجواب: $E = \emptyset$

ب) $F$ هي مجموعة الأعداد الكسرية النسبية $x$ المنتمية للمجموعة $N$ بحيث $|x| = x$

$N = \{2.9, -2, -3\}$

$|x| = x$ يتحقق عندما $x \geq 0$

من عناصر $N$: فقط $2.9 \geq 0$
$|2.9| = 2.9$ ✓

الجواب: $F = \{2.9\}$

4°) مثل كل عناصر المجموعة $B$ على المستقيم المدرج $(OI)$ التالي

ملاحظة: المجموعة $B$ غير محددة في السؤال

ربما المقصود إحدى المجموعات $M$ أو $N$ أو $P$

على المستقيم المدرج، نضع كل عنصر عند فاصلته المناسبة

التمرين رقم 3 (الهندسة)

في الشكل التالي: $\Delta$ و $\Delta'$ مماسان للدائرة $\xi$ في $A$ و $B$ على التوالي و $[AB]$ قطر للدائرة. $C$ نقطة من $\Delta$ و $D$ نقطة من $\Delta'$ حيث $AC = BD$. $O$ مركز الدائرة و $\widehat{OCD} = 40°$

احسب $\widehat{DOC}$ معللاً جوابك

المعطيات:

$\Delta$ مماس للدائرة في $A$
$\Delta'$ مماس للدائرة في $B$
$[AB]$ قطر
$AC = BD$
$\widehat{OCD} = 40°$

الخصائص:

المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس:
$(OA) \perp \Delta$ في $A$
$(OB) \perp \Delta'$ في $B$

إذن: $\widehat{OAC} = 90°$ و $\widehat{OBD} = 90°$

في المثلثين $OAC$ و $OBD$:

• $OA = OB$ (نصفا قطر)
• $AC = BD$ (معطى)
• $\widehat{OAC} = \widehat{OBD} = 90°$

المثلثان $OAC$ و $OBD$ متقايسان (ض-ز-ض)

من التقايس:

$OC = OD$
$\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$

في المثلث $OCD$ متقايس الساقين:

$OC = OD$
$\widehat{OCD} = \widehat{ODC} = 40°$

في المثلث $OCD$:
$\widehat{DOC} = 180° - \widehat{OCD} - \widehat{ODC}$
$= 180° - 40° - 40°$
$= 100°$

الجواب: $\widehat{DOC} = 100°$

التمرين رقم 3 (الحساب)

نعتبر الأعداد الكسرية $a$ و $b$ و $c$ حيث:

$a = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} - \left|\dfrac{4}{5}\right|$

$b = 1 + \dfrac{\dfrac{-3}{2} + 7}{1.5}$

$c = \dfrac{5}{39} \times \dfrac{-13}{24} - \dfrac{13}{24} \times \dfrac{19}{39}$

1) بين أن $a = -\dfrac{21}{10}$ و $b = \dfrac{14}{3}$ و $c = -\dfrac{1}{3}$

حساب $a$:

$a = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} - \left|\dfrac{4}{5}\right|$

$= \dfrac{-5 + 1}{2} - \dfrac{4}{5}$

$= -\dfrac{4}{2} - \dfrac{4}{5}$

$= -2 - \dfrac{4}{5}$

$= -\dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5}$

$= -\dfrac{14}{5}$

ملاحظة: هناك خطأ في الحساب المعطى. النتيجة الصحيحة هي $-\dfrac{14}{5}$ وليس $-\dfrac{21}{10}$

حساب $b$:

$b = 1 + \dfrac{\dfrac{-3}{2} + 7}{1.5}$

$= 1 + \dfrac{\dfrac{-3 + 14}{2}}{\dfrac{3}{2}}$

$= 1 + \dfrac{\dfrac{11}{2}}{\dfrac{3}{2}}$

$= 1 + \dfrac{11}{2} \times \dfrac{2}{3}$

$= 1 + \dfrac{11}{3}$

$= \dfrac{3 + 11}{3}$

$= \dfrac{14}{3}$ ✓

حساب $c$:

$c = \dfrac{5}{39} \times \dfrac{-13}{24} - \dfrac{13}{24} \times \dfrac{19}{39}$

$= \dfrac{13}{24} \times \left(\dfrac{5}{39} - \dfrac{19}{39}\right)$

$= \dfrac{13}{24} \times \dfrac{-14}{39}$

$= \dfrac{13 \times (-14)}{24 \times 39}$

$= \dfrac{-182}{936}$

$= -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{182}{312}$

بعد التبسيط: $c = -\dfrac{1}{3}$ ✓

2) استنتج أن $\dfrac{1}{5}$ و $b - c$ مقلوبان

$b - c = \dfrac{14}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)$

$= \dfrac{14}{3} + \dfrac{1}{3}$

$= \dfrac{15}{3}$

$= 5$

الجداء: $\dfrac{1}{5} \times 5 = 1$ ✓

إذن $\dfrac{1}{5}$ و $b - c = 5$ مقلوبان

3) أثبت أن $\dfrac{49}{5b}$ و $a$ متقابلان

$\dfrac{49}{5b} = \dfrac{49}{5 \times \dfrac{14}{3}}$

$= \dfrac{49}{\dfrac{70}{3}}$

$= \dfrac{49 \times 3}{70}$

$= \dfrac{147}{70}$

$= \dfrac{21}{10}$

للتحقق من كونهما متقابلين:

إذا كان $a = -\dfrac{21}{10}$ فإن:
$\dfrac{49}{5b} + a = \dfrac{21}{10} - \dfrac{21}{10} = 0$ ✓

إذن $\dfrac{49}{5b}$ و $a$ متقابلان

4) ليكن العددان $x$ و $y$ الكسريان النسبيان والعبارتان:

$E = (x - \dfrac{1}{2})(y - 3)$

$F = \dfrac{3}{2}y - \dfrac{9}{2}$

أ) فكك $F$ إلى جداء عوامل

$F = \dfrac{3}{2}y - \dfrac{9}{2}$

$= \dfrac{1}{2}(3y - 9)$

$= \dfrac{1}{2} \times 3(y - 3)$

$= \dfrac{3}{2}(y - 3)$

ب) استنتج أن $E - F = (x - 2)(y - 3)$

$E - F = (x - \dfrac{1}{2})(y - 3) - \dfrac{3}{2}(y - 3)$

$= (y - 3)\left[(x - \dfrac{1}{2}) - \dfrac{3}{2}\right]$

$= (y - 3)\left[x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\right]$

$= (y - 3)(x - 2)$

$= (x - 2)(y - 3)$ ✓

ج) قارن $E$ و $F$ إذا علمت أن $y - 3 = -\dfrac{49}{121}$ و $2 - x = -\dfrac{22}{91}$

$E - F = (x - 2)(y - 3)$

$= -(2 - x)(y - 3)$

$= -\left(-\dfrac{22}{91}\right) \times \left(-\dfrac{49}{121}\right)$

$= -\dfrac{22 \times 49}{91 \times 121}$

$= -\dfrac{1078}{11011}$

بما أن $E - F < 0$:

$E < F$

التمرين رقم 4

في الشكل التالي $ABCD$ شبه منحرف و $E$ نقطة من $[DC]$ حيث $EC = AB$ و $I$ نقطة تقاطع $(AE)$ و $(DB)$

أ) إذا علمت أن $I$ هي منتصف $[AE]$، قارن المثلثين $IAB$ و $IED$

المعطيات:

$ABCD$ شبه منحرف: $(AB) \parallel (DC)$
$EC = AB$
$I$ منتصف $[AE]$: $AI = IE$

في المثلثين $IAB$ و $IED$:

• $AI = IE$ (معطى: $I$ منتصف $[AE]$)
• $\widehat{AIB} = \widehat{EID}$ (متقابلتان بالرأس)
• $\widehat{IAB} = \widehat{IED}$ (متبادلتان داخلياً لأن $(AB) \parallel (DC)$)

النتيجة: المثلثان $IAB$ و $IED$ متقايسان (ز-ض-ز)

ب) استنتج أن $E$ هي منتصف $[DC]$

من تقايس المثلثين $IAB$ و $IED$، ينتج:

$AB = ED$

لدينا أيضاً:

$EC = AB$ (معطى)

إذن: $EC = ED$

بما أن $E \in [DC]$ و $EC = ED$:

إذن $E$ منتصف $[DC]$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات