إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 12)

التمرين رقم 1

لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها:

1) في مأوى للسيارات خمس السيارات بيضاء وثلثها سوداء، العدد الكسري الذي يمثل بقية السيارات هو:

☐ $\dfrac{5}{8}$
☐ $\dfrac{2}{15}$
☐ $\dfrac{2}{20}$

الحل:

نسبة السيارات البيضاء = $\dfrac{1}{5}$ (خُمس السيارات)
نسبة السيارات السوداء = $\dfrac{1}{3}$ (ثلث السيارات)

نسبة البقية = $1 - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}$

= $\dfrac{15}{15} - \dfrac{3}{15} - \dfrac{5}{15}$

= $\dfrac{15 - 3 - 5}{15}$

= $\dfrac{7}{15}$

ملاحظة: لا توجد $\dfrac{7}{15}$ في الخيارات المقترحة. الجواب الأقرب هو $\dfrac{2}{15}$ لكنه غير صحيح.

الجواب الصحيح يجب أن يكون: $\dfrac{7}{15}$

2) $\mathbb{D}_+ \cap \mathbb{Q}^* = $

☐ $\emptyset$
☐ $\mathbb{Q}^*$
☐ $\mathbb{Q}$

التحليل:

$\mathbb{D}_+$ = مجموعة الأعداد العشرية الموجبة (تشمل الصفر)
$\mathbb{Q}^*$ = مجموعة الأعداد الكسرية الغير منعدمة

$\mathbb{D}_+ \cap \mathbb{Q}^*$ = الأعداد التي هي عشرية موجبة وكسرية غير منعدمة
= $\mathbb{D}_+^*$ (الأعداد العشرية الموجبة الغير منعدمة)

ملاحظة: لا توجد هذه الإجابة في الخيارات المقترحة

الجواب الصحيح: $\mathbb{D}_+^*$

3) $E = \left\{x \in \mathbb{Z}_+, |x| = \dfrac{2}{7}\right\}$

☐ $E = \left\{\dfrac{2}{7}\right\}$
☐ $E = \emptyset$
☐ $E = \left\{\dfrac{2}{7}, -\dfrac{2}{7}\right\}$

التحليل:

$\mathbb{Z}_+$ = مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (تشمل الصفر)
= $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

نبحث عن $x \in \mathbb{Z}_+$ بحيث $|x| = \dfrac{2}{7}$

العدد $\dfrac{2}{7}$ ليس عدداً صحيحاً
إذن لا يوجد عدد صحيح موجب قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{2}{7}$

الجواب الصحيح: $E = \emptyset$

4) $F = \left\{\dfrac{24}{12}, 0, -\dfrac{21}{7}\right\}$

☐ $F \cap \mathbb{ID} = \left\{-\dfrac{21}{7}, 0\right\}$
☐ $F \cap \mathbb{Z} = F$
☐ $F \cap \mathbb{ID}^+ = F$

تبسيط عناصر $F$:

$\dfrac{24}{12} = 2$ (عدد صحيح، عشري)
$0$ (عدد صحيح، عشري)
$-\dfrac{21}{7} = -3$ (عدد صحيح، عشري)

التحقق من الخيارات:

الخيار 1: $F \cap \mathbb{ID} = \{-\dfrac{21}{7}, 0\}$
جميع عناصر $F$ هي أعداد عشرية
$F \cap \mathbb{ID} = \{2, 0, -3\} \neq \{-3, 0\}$ ✗

الخيار 2: $F \cap \mathbb{Z} = F$
جميع عناصر $F$ هي أعداد صحيحة
$F \cap \mathbb{Z} = \{2, 0, -3\} = F$ ✓

الخيار 3: $F \cap \mathbb{ID}^+ = F$
$\mathbb{ID}^+$ = الأعداد العشرية الموجبة
$F \cap \mathbb{ID}^+ = \{2, 0\} \neq F$ ✗

الجواب الصحيح: $F \cap \mathbb{Z} = F$

التمرين رقم 2

لتكن المجموعة: $A = \left\{\dfrac{-6}{5}, -\dfrac{21}{35}, \dfrac{4}{3}, -\dfrac{5}{2}, 0, 2.5, -1.25, 1, \dfrac{3}{4}\right\}$

1) حدد المجموعات التالية:

تبسيط عناصر $A$:

$\dfrac{-6}{5} = -1.2$ (كسري، عشري، سالب)
$-\dfrac{21}{35} = -\dfrac{3}{5} = -0.6$ (كسري، عشري، سالب)
$\dfrac{4}{3} = 1.\overline{3}$ (كسري غير عشري، موجب)
$-\dfrac{5}{2} = -2.5$ (كسري، عشري، سالب)
$0$ (صحيح، عشري)
$2.5$ (كسري، عشري، موجب)
$-1.25$ (كسري، عشري، سالب)
$1$ (صحيح، عشري، موجب)
$\dfrac{3}{4} = 0.75$ (كسري، عشري، موجب)

$A \cap \mathbb{Q}$ = جميع عناصر $A$ (كلها كسرية)

$A \cap \mathbb{Z}$ = $\{0, 1\}$

$A \cap \mathbb{D}$ = $\left\{\dfrac{-6}{5}, -\dfrac{3}{5}, -\dfrac{5}{2}, 0, 2.5, -1.25, 1, \dfrac{3}{4}\right\}$
(جميع العناصر ماعدا $\dfrac{4}{3}$)

$A \cap \mathbb{Q}_+^*$ = $\left\{\dfrac{4}{3}, 2.5, 1, \dfrac{3}{4}\right\}$

2) مثل على مستقيم مدرج حسب المعلمين $(O, I)$ النقاط $M$ و $N$ و $P$ و $Q$ التي فاصلاتها على التوالي: $\dfrac{-5}{2}$، $\dfrac{3}{4}$، $2.5$، $1.25$

أ) عين النقاط على المستقيم المدرج

على المستقيم المدرج:

$M$ عند الفاصلة $\dfrac{-5}{2} = -2.5$ (يسار الأصل ب 2.5 وحدة)

$N$ عند الفاصلة $\dfrac{3}{4} = 0.75$ (يمين الأصل ب 0.75 وحدة)

$P$ عند الفاصلة $2.5$ (يمين الأصل ب 2.5 وحدة)

$Q$ عند الفاصلة $1.25$ (يمين الأصل ب 1.25 وحدة)

ب) احسب $OM$ و $ON$

$OM = |x_M - x_O| = \left|-\dfrac{5}{2} - 0\right| = \left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2} = 2.5$

$ON = |x_N - x_O| = \left|\dfrac{3}{4} - 0\right| = \dfrac{3}{4} = 0.75$

ج) عين على $[IO)$ النقطة $S$ بحيث $OS = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4}$. علل جوابك

$OS = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} = -\dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4}$

بما أن $OS = \dfrac{3}{4} > 0$ والنقطة $S$ على نصف المستقيم $[IO)$
(أي من $I$ باتجاه $O$ وما بعده)

التعليل: النقطة $S$ تقع عند الفاصلة $\dfrac{3}{4}$ على نصف المستقيم $[IO)$

د) عين على $[OI)$ النقطة $T$ بحيث $NT + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{4}$. علل جوابك

$NT + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{4}$

$NT = \dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{4} - \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{4}$

لدينا: $x_N = \dfrac{3}{4}$

إذا كانت $T$ على $[OI)$ (من $O$ باتجاه $I$ وما بعده):
$NT = |x_T - x_N| = \dfrac{9}{4}$

$x_T = x_N + \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$

التعليل: النقطة $T$ تقع عند الفاصلة $3$ على نصف المستقيم $[OI)$

التمرين رقم 3

1) احسب بأيسر طريقة:

أ) $A = \dfrac{18}{12} + \left(-\dfrac{21}{14}\right)$

نبسط الكسور:
$\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{21}{14} = \dfrac{3}{2}$

$A = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0$

ب) $B = -3 + \dfrac{6}{5} + \dfrac{14}{5}$

$B = -3 + \dfrac{6}{5} + \dfrac{14}{5}$

$= -3 + \dfrac{6 + 14}{5}$

$= -3 + \dfrac{20}{5}$

$= -3 + 4$

$= 1$

ج) $C = \dfrac{-3}{-7} + \dfrac{-3}{7} + \dfrac{3}{-7}$

$C = \dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{7}$

$= \dfrac{3 - 3 - 3}{7}$

$= \dfrac{-3}{7}$

$= -\dfrac{3}{7}$

د) $D = \left(-\dfrac{3}{5}\right) + 0.75 + \dfrac{12}{5} + (-4.2) + \left(-\dfrac{3}{4}\right)$

نجمع حسب المقامات:

الأخماس: $-\dfrac{3}{5} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{9}{5} = 1.8$

الأرباع: $0.75 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4} = 0$

$D = 1.8 + 0 - 4.2$

$= 1.8 - 4.2$

$= -2.4$

ه) $E = \dfrac{7}{3} + \left(-\dfrac{4}{5}\right) + \left(-\dfrac{14}{6}\right) + \left(-\dfrac{7}{5}\right) + \dfrac{-20}{-25} + \dfrac{4}{10}$

نبسط:
$\dfrac{-14}{6} = -\dfrac{7}{3}$
$\dfrac{-20}{-25} = \dfrac{4}{5}$
$\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

$E = \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{3} - \dfrac{7}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}$

الأثلاث: $\dfrac{7}{3} - \dfrac{7}{3} = 0$

الأخماس: $-\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{-4 - 7 + 4 + 2}{5} = \dfrac{-5}{5} = -1$

$E = 0 - 1 = -1$

التمرين رقم 4

ليكن $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين بحيث $AB = AC$.

1) ابن $[Bx)$ منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ حيث يقطع $[AC]$ في $I$ ثم ابن $[Cy)$ منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ حيث يقطع $[AB]$ في $J$. $[Bx)$ و $[Cy)$ يتقاطعان في $K$

الإنشاء:

نرسم المثلث $ABC$ متقايس الساقين بحيث $AB = AC$
نرسم منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ ونسميه $[Bx)$، يقطع $[AC]$ في $I$
نرسم منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ ونسميه $[Cy)$، يقطع $[AB]$ في $J$
نقطة التقاطع بين $[Bx)$ و $[Cy)$ هي $K$

2) بين تقايس المثلثين $AIB$ و $AJC$

في المثلثين $AIB$ و $AJC$:

• $AB = AC$ (معطى)
• $\widehat{BAC}$ مشترك
• $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (زاويتا القاعدة في مثلث متقايس الساقين)

النتيجة: المثلثان $AIB$ و $AJC$ متقايسان (ض-ز-ز)

3) استنتج أن $BI = CJ$

من تقايس المثلثين $AIB$ و $AJC$، ينتج:

$BI = CJ$ ✓

4) بين أن المثلثين $IBC$ و $JBC$ متقايسان

في المثلثين $IBC$ و $JBC$:

• $BC$ مشترك
• $BI = CJ$ (مُثبت في السؤال 3)
• $\widehat{IBC} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$ (منصف)
• $\widehat{JCB} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ (منصف)
• بما أن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$، فإن $\widehat{IBC} = \widehat{JCB}$

النتيجة: المثلثان $IBC$ و $JBC$ متقايسان (ض-ز-ض)

5) استنتج أن $IC = JB$ و $\widehat{BIC} = \widehat{CJB}$

من تقايس المثلثين $IBC$ و $JBC$، ينتج:

$IC = JB$ ✓
$\widehat{BIC} = \widehat{CJB}$ ✓

6) بين تقايس المثلثين $IKC$ و $KJB$

في المثلثين $IKC$ و $KJB$:

• $IC = JB$ (مُثبت في السؤال 5)
• $\widehat{ICK} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ (منصف)
• $\widehat{JBK} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$ (منصف)
• بما أن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$، فإن $\widehat{ICK} = \widehat{JBK}$
• $\widehat{BIC} = \widehat{CJB}$ (مُثبت في السؤال 5)

النتيجة: المثلثان $IKC$ و $KJB$ متقايسان (ز-ض-ز)

7) قارن البعدين $BK$ و $KC$ ثم استنتج أن $(AK)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$

مقارنة $BK$ و $KC$:

من تقايس المثلثين $IKC$ و $KJB$، ينتج:

$KC = KB$ ✓

الاستنتاج:

لدينا:

$AB = AC$ (معطى)
$KB = KC$ (مُثبت)

النقطة $A$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$
النقطة $K$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$

إذن النقطتان $A$ و $K$ تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة $[BC]$

إذن: $(AK)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات