إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 11)

التمرين رقم 1 (6 نقاط)

1) حدد المجموعات التالية:

أ) $\left\{-1; 0; \dfrac{-15}{4}; \dfrac{-3}{2}\right\} \cap \mathbb{Q}^- = ......$

التحليل:

$\mathbb{Q}^-$ = مجموعة الأعداد الكسرية السالبة (لا تشمل الصفر)

من العناصر المعطاة:
• $-1 \in \mathbb{Q}^-$ ✓
• $0 \notin \mathbb{Q}^-$ (الصفر ليس سالباً)
• $\dfrac{-15}{4} \in \mathbb{Q}^-$ ✓
• $\dfrac{-3}{2} \in \mathbb{Q}^-$ ✓

الجواب: $\left\{-1, \dfrac{-15}{4}, \dfrac{-3}{2}\right\}$ أو $\left\{-1, -\dfrac{15}{4}, -\dfrac{3}{2}\right\}$

ب) $\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{ID} = ......$

التحليل:

$\mathbb{Q}_+$ = مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة (تشمل الصفر)
$\mathbb{ID}$ = مجموعة الأعداد العشرية

$\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{ID}$ = الأعداد التي هي كسرية موجبة وعشرية في نفس الوقت
= $\mathbb{ID}_+$ (مجموعة الأعداد العشرية الموجبة)

الجواب: $\mathbb{ID}_+$

ج) $\mathbb{ID}_+ \cup \mathbb{Q} = ......$

التحليل:

$\mathbb{ID}_+$ = مجموعة الأعداد العشرية الموجبة
$\mathbb{Q}$ = مجموعة الأعداد الكسرية

بما أن $\mathbb{ID}_+ \subset \mathbb{Q}$ (كل عدد عشري هو عدد كسري):
$\mathbb{ID}_+ \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$

الجواب: $\mathbb{Q}$

د) $\mathbb{ID}^* \cap \mathbb{Z} = ......$

التحليل:

$\mathbb{ID}^*$ = مجموعة الأعداد العشرية الغير منعدمة
$\mathbb{Z}$ = مجموعة الأعداد الصحيحة

$\mathbb{ID}^* \cap \mathbb{Z}$ = الأعداد التي هي عشرية غير منعدمة وصحيحة
= $\mathbb{Z}^*$ (مجموعة الأعداد الصحيحة الغير منعدمة)

الجواب: $\mathbb{Z}^*$

2) أكمل الفراغ بـ: $\in$، $\subset$، $\not\subset$، $\notin$

أ) $\dfrac{-7}{-2}$ ...... $\mathbb{Z}_+$

$\dfrac{-7}{-2} = \dfrac{7}{2} = 3.5$

$3.5$ ليس عدداً صحيحاً موجباً
$3.5 \notin \mathbb{Z}_+$

الجواب: $\dfrac{-7}{-2} \notin \mathbb{Z}_+$

ب) $\mathbb{Q}^*$ ...... $\mathbb{ID}$

التحليل:

$\mathbb{Q}^*$ = مجموعة الأعداد الكسرية الغير منعدمة
$\mathbb{ID}$ = مجموعة الأعداد العشرية

ليس كل عدد كسري هو عدد عشري
مثال: $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}^*$ لكن $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{ID}$

إذن $\mathbb{Q}^* \not\subset \mathbb{ID}$

الجواب: $\mathbb{Q}^* \not\subset \mathbb{ID}$

ج) $\mathbb{Z}$ ...... $\mathbb{Q}^-$

التحليل:

$\mathbb{Z}$ = مجموعة الأعداد الصحيحة (تشمل الموجبة والسالبة والصفر)
$\mathbb{Q}^-$ = مجموعة الأعداد الكسرية السالبة فقط

$\mathbb{Z}$ تحتوي على أعداد موجبة وصفر
$\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Q}^-$

الجواب: $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Q}^-$

د) $\mathbb{N}$ ...... $\mathbb{Q}^*$

التحليل:

$\mathbb{N}$ = مجموعة الأعداد الطبيعية (تشمل الصفر)
$\mathbb{Q}^*$ = مجموعة الأعداد الكسرية الغير منعدمة

$0 \in \mathbb{N}$ لكن $0 \notin \mathbb{Q}^*$
إذن $\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}^*$

الجواب: $\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}^*$

3) من بين الأعداد الكسرية التالية حدد التي هي أعداد عشرية واكتبها على صيغة $\dfrac{a}{10^n}$ حيث $a$ عدد صحيح نسبي و $n$ عدد صحيح طبيعي:

أ) $-\dfrac{13}{20}$

$-\dfrac{13}{20} = -\dfrac{13}{20} \times \dfrac{5}{5} = -\dfrac{65}{100} = -\dfrac{65}{10^2}$

$a = -65$ و $n = 2$

الجواب: عدد عشري: $-\dfrac{13}{20} = -\dfrac{65}{10^2}$

ب) $\dfrac{12}{75}$

نبسط الكسر: $\dfrac{12}{75} = \dfrac{4}{25}$

$\dfrac{4}{25} = \dfrac{4}{25} \times \dfrac{4}{4} = \dfrac{16}{100} = \dfrac{16}{10^2}$

$a = 16$ و $n = 2$

الجواب: عدد عشري: $\dfrac{12}{75} = \dfrac{16}{10^2}$

ج) $-\dfrac{183}{45}$

نحلل المقام: $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$

المقام يحتوي على العامل $3$ الذي لا يساوي $2$ أو $5$
إذن الكسر $-\dfrac{183}{45}$ ليس عدداً عشرياً

الجواب: ليس عدداً عشرياً

د) $-\dfrac{105}{-168}$

$-\dfrac{105}{-168} = \dfrac{105}{168}$

نبسط: $\dfrac{105}{168} = \dfrac{105 \div 21}{168 \div 21} = \dfrac{5}{8}$

$\dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{125}{125} = \dfrac{625}{1000} = \dfrac{625}{10^3}$

$a = 625$ و $n = 3$

الجواب: عدد عشري: $-\dfrac{105}{-168} = \dfrac{625}{10^3}$

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

نعتبر المجموعة: $A = \left\{\dfrac{13}{6}, \dfrac{-4}{3}, -12, -\dfrac{9}{5}, 0, \sqrt{64}, \dfrac{-15}{8}, \dfrac{+4}{3}\right\}$

1) حدد المجموعات التالية:

أ) $A \cap \mathbb{ID}^-$

أولاً: نبسط عناصر $A$:

$\dfrac{13}{6} = 2.1\overline{6}$ (كسري غير عشري)
$\dfrac{-4}{3} = -1.\overline{3}$ (كسري غير عشري)
$-12$ (صحيح، عشري، سالب) ✓
$-\dfrac{9}{5} = -1.8$ (كسري، عشري، سالب) ✓
$0$ (ليس سالباً)
$\sqrt{64} = 8$ (ليس سالباً)
$\dfrac{-15}{8} = -1.875$ (كسري، عشري، سالب) ✓
$\dfrac{+4}{3} = 1.\overline{3}$ (كسري غير عشري)

الجواب: $A \cap \mathbb{ID}^- = \left\{-12, -\dfrac{9}{5}, \dfrac{-15}{8}\right\}$

ب) $A \cap \mathbb{Q}_+^*$

$\mathbb{Q}_+^*$ = مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة الغير منعدمة

من عناصر $A$:
$\dfrac{13}{6} > 0$ ✓
$\sqrt{64} = 8 > 0$ ✓
$\dfrac{+4}{3} > 0$ ✓

الجواب: $A \cap \mathbb{Q}_+^* = \left\{\dfrac{13}{6}, 8, \dfrac{4}{3}\right\}$

ج) $A \cap \mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}$ = مجموعة الأعداد الصحيحة

من عناصر $A$:
$-12 \in \mathbb{Z}$ ✓
$0 \in \mathbb{Z}$ ✓
$\sqrt{64} = 8 \in \mathbb{Z}$ ✓

الجواب: $A \cap \mathbb{Z} = \{-12, 0, 8\}$

د) $A \cap \mathbb{N}^*$

$\mathbb{N}^*$ = مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منعدمة (الأعداد الصحيحة الموجبة الغير منعدمة)

من عناصر $A$:
$\sqrt{64} = 8 \in \mathbb{N}^*$ ✓

الجواب: $A \cap \mathbb{N}^* = \{8\}$

2) أوجد المجموعات التالية:

أ) $M = \{x \in A; |x| = 1.8\}$

نبحث عن عناصر $A$ التي قيمتها المطلقة تساوي $1.8$:

$|x| = 1.8$ معناه $x = 1.8$ أو $x = -1.8$

من عناصر $A$:
$-\dfrac{9}{5} = -1.8$ ✓
$|-\dfrac{9}{5}| = |-1.8| = 1.8$ ✓

الجواب: $M = \left\{-\dfrac{9}{5}\right\}$

ب) $N = \left\{x \in A; |x| = \dfrac{12}{21}\right\}$

نبسط: $\dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$

نبحث عن $x \in A$ بحيث $|x| = \dfrac{4}{7}$

$\dfrac{4}{7} = 0.571...$

نفحص عناصر $A$:
لا يوجد عنصر في $A$ قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{4}{7}$

الجواب: $N = \emptyset$

ج) $P = \{x \in \mathbb{Q}; |x| = x\}$

التحليل:

$|x| = x$ يتحقق عندما يكون $x \geq 0$

إذن: $P = \mathbb{Q}_+$ (مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة أو المنعدمة)

الجواب: $P = \mathbb{Q}_+$

د) $R = \{x \in A; |x| = -x\}$

التحليل:

$|x| = -x$ يتحقق عندما يكون $x \leq 0$

من عناصر $A$ التي تحقق هذا الشرط:
$\dfrac{-4}{3}$ ✓
$-12$ ✓
$-\dfrac{9}{5}$ ✓
$0$ ✓
$\dfrac{-15}{8}$ ✓

الجواب: $R = \left\{\dfrac{-4}{3}, -12, -\dfrac{9}{5}, 0, \dfrac{-15}{8}\right\}$

3) نعتبر المستقيم المدرج التالي:

أ) عين النقطتين $B\left(-\dfrac{4}{3}\right)$ و $C\left(\dfrac{13}{6}\right)$

على المستقيم المدرج:

$B$ عند الفاصلة $-\dfrac{4}{3} = -1.\overline{3}$ (يسار الصفر)

$C$ عند الفاصلة $\dfrac{13}{6} = 2.1\overline{6}$ (يمين الصفر)

ملاحظة: يجب رسم المستقيم المدرج ووضع النقطتين في موقعهما الصحيح

ب) ابن النقطتين $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$ و $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$

الإنشاء:

النقطة $E$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $O$:

$O$ منتصف $[BE]$
إذا كان $x_B = -\dfrac{4}{3}$، فإن $x_E = \dfrac{4}{3}$
(لأن $O$ في الأصل، $x_O = 0$)

النقطة $F$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $I$:

$I$ منتصف $[CF]$
إذا كان $x_I = 1$ (حسب الرسم) و $x_C = \dfrac{13}{6}$:
$x_I = \dfrac{x_C + x_F}{2}$
$1 = \dfrac{\dfrac{13}{6} + x_F}{2}$
$2 = \dfrac{13}{6} + x_F$
$x_F = 2 - \dfrac{13}{6} = \dfrac{12 - 13}{6} = -\dfrac{1}{6}$

ت) حدد فاصلتي $E$ و $F$

الجواب:

$x_E = \dfrac{4}{3}$

$x_F = -\dfrac{1}{6}$

التمرين رقم 3

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $E$ نقطة من $[AC]$ و $F$ النقطة من $[AB]$ بحيث $AE = AF$

1) قارن المثلثين $AEB$ و $AFC$

في المثلثين $AEB$ و $AFC$:

• $AB = AC$ (معطى: المثلث $ABC$ متقايس الساقين)
• $AE = AF$ (معطى)
• $\widehat{BAC}$ مشترك

النتيجة: المثلثان $AEB$ و $AFC$ متقايسان (ض-ز-ض)

2) استنتج أن $BF = CE$ و $\widehat{MFB} = \widehat{MEC}$

إثبات $BF = CE$:

لدينا:
$AB = AC$ (معطى)
$AF = AE$ (معطى)

$AB - AF = AC - AE$
$BF = CE$ ✓

بخصوص $\widehat{MFB} = \widehat{MEC}$:

من تقايس المثلثين $AEB$ و $AFC$:

$\widehat{AEB} = \widehat{AFC}$

في النقطة $F$: $\widehat{AFC} + \widehat{MFB} = 180°$ (زاويتان على استقامة واحدة)
في النقطة $E$: $\widehat{AEB} + \widehat{MEC} = 180°$ (زاويتان على استقامة واحدة)

بما أن $\widehat{AEB} = \widehat{AFC}$:
$\widehat{MFB} = \widehat{MEC}$ ✓

3) المستقيمان $(BE)$ و $(CF)$ يتقاطعان في $M$. قارن المثلثين $BFM$ و $CEM$

في المثلثين $BFM$ و $CEM$:

• $BF = CE$ (مُثبت في السؤال 2)
• $\widehat{MFB} = \widehat{MEC}$ (مُثبت في السؤال 2)
• $\widehat{FMB} = \widehat{EMC}$ (متقابلتان بالرأس)

النتيجة: المثلثان $BFM$ و $CEM$ متقايسان (ز-ض-ز)

من تقايسهما ينتج: $FM = EM$ و $BM = CM$

4) استنتج أن $(AM) \perp (BC)$

البرهان:

لدينا من السؤال 3:

$BM = CM$ (من تقايس $BFM$ و $CEM$)

وأيضاً:

$AB = AC$ (معطى)

في المثلث $ABC$:

النقطة $A$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$ (لأن $AB = AC$)
النقطة $M$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$ (لأن $BM = CM$)

إذن النقطتان $A$ و $M$ تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة $[BC]$
أي أن المستقيم $(AM)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$

إذن: $(AM) \perp (BC)$

5) بين أن $[AM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{EAF}$

البرهان:

من السؤال 3، لدينا: $FM = EM$

في المثلثين $AFM$ و $AEM$:

• $AF = AE$ (معطى)
• $FM = EM$ (مُثبت في السؤال 3)
• $AM$ مشترك

إذن المثلثان $AFM$ و $AEM$ متقايسان (ض-ض-ض)

من تقايسهما ينتج:

$\widehat{FAM} = \widehat{EAM}$

إذن: $[AM)$ منصف الزاوية $\widehat{EAF}$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات