إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 10)

التمرين رقم 1

لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها:

1) لنا $a \in \mathbb{Q}^-$ و $b \in \mathbb{Q}^+$ إذن العبارة $|a - b| - |a|$ تساوي:

☐ $b$
☐ $b - 2a$
☐ $a$

المعطيات:

$a < 0$ (عدد كسري سالب)
$b > 0$ (عدد كسري موجب)

حساب $|a - b|$:
بما أن $a < 0$ و $b > 0$، فإن $a - b < 0$
إذن: $|a - b| = -(a - b) = -a + b = b - a$

حساب $|a|$:
بما أن $a < 0$، فإن $|a| = -a$

حساب العبارة:
$|a - b| - |a| = (b - a) - (-a)$
$= b - a + a$
$= b$

الجواب الصحيح: $b$

2) $\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D} = \{0\}$

☐ $\{0\}$
☐ $0$
☐ $\mathbb{Q}$

التحليل:

$\mathbb{Q}_+$ = مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة (تشمل الصفر)

$\mathbb{D}$ = مجموعة الأعداد العشرية

$\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D}$ = الأعداد التي هي في نفس الوقت كسرية موجبة وعشرية
= $\mathbb{D}_+$ (جميع الأعداد العشرية الموجبة)

الجواب: السؤال يحتوي على خطأ في الصياغة. الجواب الصحيح هو $\mathbb{D}_+$ وليس $\{0\}$

3) $E = \left\{x \in \mathbb{D}, |x| = \dfrac{2}{7}\right\}$

☐ $E = \left\{\dfrac{2}{7}\right\}$
☐ $E = \emptyset$
☐ $E = \left\{\dfrac{2}{7}, -\dfrac{2}{7}\right\}$

التحليل:

نبحث عن الأعداد العشرية $x$ بحيث $|x| = \dfrac{2}{7}$

العدد $\dfrac{2}{7} = 0.285714...$ هو عدد كسري غير عشري
(لأن $7$ لا يقبل القسمة على $2$ أو $5$ فقط)

إذن لا يوجد عدد عشري قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{2}{7}$

الجواب الصحيح: $E = \emptyset$

4) $B = \left\{\dfrac{48}{15}, 0, -\dfrac{22}{11}\right\}$

☐ $B \cap \mathbb{ID} = \left\{-2, \dfrac{16}{5}, 0\right\}$
☐ $B \cap \mathbb{Z} = B$
☐ $B \cap \mathbb{ID}^+ = B$

تبسيط عناصر $B$:

$\dfrac{48}{15} = \dfrac{16}{5} = 3.2$ (عدد عشري)
$0$ (عدد صحيح وعشري)
$-\dfrac{22}{11} = -2$ (عدد صحيح وعشري)

التحقق من الخيارات:

الخيار 1: $B \cap \mathbb{ID} = \left\{-2, \dfrac{16}{5}, 0\right\}$
$\mathbb{ID}$ = مجموعة الأعداد العشرية
جميع عناصر $B$ هي أعداد عشرية
$B \cap \mathbb{ID} = \left\{\dfrac{16}{5}, 0, -2\right\} = \left\{-2, \dfrac{16}{5}, 0\right\}$ ✓

الخيار 2: $B \cap \mathbb{Z} = B$
$\mathbb{Z}$ = مجموعة الأعداد الصحيحة
$B \cap \mathbb{Z} = \{0, -2\} \neq B$ ✗

الخيار 3: $B \cap \mathbb{ID}^+ = B$
$\mathbb{ID}^+$ = مجموعة الأعداد العشرية الموجبة
$B \cap \mathbb{ID}^+ = \left\{\dfrac{16}{5}, 0\right\} \neq B$ ✗

الجواب الصحيح: $B \cap \mathbb{ID} = \left\{-2, \dfrac{16}{5}, 0\right\}$

التمرين رقم 2

لتكن المجموعة: $A = \left\{-\dfrac{7}{4}, -\dfrac{33}{55}, \dfrac{4}{-3}, -\dfrac{5}{-7}, 0, 2.05, 1, \dfrac{3}{2}\right\}$

1) حدد المجموعات التالية: $A \cap \mathbb{Q}^*$، $A \cap \mathbb{Z}$، $A \cap \mathbb{D}$، $A \cap \mathbb{Q}^+$

أولاً: نبسط عناصر المجموعة $A$:

$-\dfrac{7}{4} = -1.75$ (كسري، عشري، سالب)
$-\dfrac{33}{55} = -\dfrac{3}{5} = -0.6$ (كسري، عشري، سالب)
$\dfrac{4}{-3} = -\dfrac{4}{3} = -1.\overline{3}$ (كسري غير عشري، سالب)
$-\dfrac{5}{-7} = \dfrac{5}{7} = 0.\overline{714285}$ (كسري غير عشري، موجب)
$0$ (صحيح، عشري)
$2.05 = \dfrac{205}{100} = \dfrac{41}{20}$ (كسري، عشري، موجب)
$1$ (صحيح، عشري، موجب)
$\dfrac{3}{2} = 1.5$ (كسري، عشري، موجب)

الحلول:

1) $A \cap \mathbb{Q}^*$ = الأعداد الكسرية الغير منعدمة من $A$
$= \left\{-\dfrac{7}{4}, -\dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{7}, 2.05, 1, \dfrac{3}{2}\right\}$
(جميع عناصر $A$ ماعدا $0$)

2) $A \cap \mathbb{Z}$ = الأعداد الصحيحة من $A$
$= \{0, 1\}$

3) $A \cap \mathbb{D}$ = الأعداد العشرية من $A$
$= \left\{-\dfrac{7}{4}, -\dfrac{3}{5}, 0, 2.05, 1, \dfrac{3}{2}\right\}$
$= \{-1.75, -0.6, 0, 2.05, 1, 1.5\}$

4) $A \cap \mathbb{Q}^+$ = الأعداد الكسرية الموجبة من $A$
$= \left\{\dfrac{5}{7}, 0, 2.05, 1, \dfrac{3}{2}\right\}$

التمرين رقم 3

1) نعتبر العبارتين:

$E = -\left(x - \dfrac{2}{5} + y\right) - \left(\dfrac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - \left(y + \dfrac{1}{5}\right)\right]$

$F = -\left[\dfrac{1}{4} + (y - x)\right] - \left(\dfrac{1}{2} + x\right)$

أ) بين أن $E = y - x - \dfrac{7}{5}$ و أن $F = -y - \dfrac{3}{4}$

حساب $E$:

$E = -\left(x - \dfrac{2}{5} + y\right) - \left(\dfrac{3}{2} - y\right) - \left[0.5 - \left(y + \dfrac{1}{5}\right)\right]$

$= -x + \dfrac{2}{5} - y - \dfrac{3}{2} + y - \left[0.5 - y - \dfrac{1}{5}\right]$

$= -x + \dfrac{2}{5} - y - \dfrac{3}{2} + y - 0.5 + y + \dfrac{1}{5}$

$= -x + y + \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}$

$= -x + y + \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{2}$

$= -x + y + \dfrac{3}{5} - 2$

$= y - x + \dfrac{3}{5} - \dfrac{10}{5}$

$= y - x - \dfrac{7}{5}$ ✓

حساب $F$:

$F = -\left[\dfrac{1}{4} + (y - x)\right] - \left(\dfrac{1}{2} + x\right)$

$= -\dfrac{1}{4} - y + x - \dfrac{1}{2} - x$

$= -y - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}$

$= -y - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4}$

$= -y - \dfrac{3}{4}$ ✓

ب) احسب $E$ إذا علمت أن $x - y = -\dfrac{3}{4}$

لدينا: $E = y - x - \dfrac{7}{5}$

بما أن $x - y = -\dfrac{3}{4}$، فإن:
$y - x = \dfrac{3}{4}$

نعوض في $E$:
$E = \dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{5}$

$= \dfrac{15}{20} - \dfrac{28}{20}$

$= -\dfrac{13}{20}$

ج) أوجد العدد $x$ إذا علمت أن $E$ و $F$ متقابلان

$E$ و $F$ متقابلان معناه: $E + F = 0$

$\left(y - x - \dfrac{7}{5}\right) + \left(-y - \dfrac{3}{4}\right) = 0$

$y - x - \dfrac{7}{5} - y - \dfrac{3}{4} = 0$

$-x - \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{4} = 0$

$-x = \dfrac{7}{5} + \dfrac{3}{4}$

$-x = \dfrac{28}{20} + \dfrac{15}{20}$

$-x = \dfrac{43}{20}$

$x = -\dfrac{43}{20}$

د) أوجد $y$ إذا علمت أن $|F| = \dfrac{1}{2}$

لدينا: $F = -y - \dfrac{3}{4}$

$|F| = \dfrac{1}{2}$

$\left|-y - \dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{1}{2}$

الحالة 1: $-y - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$
$-y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}$
$y = -\dfrac{5}{4}$

الحالة 2: $-y - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2}$
$-y = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
$y = -\dfrac{1}{4}$

الحلان: $y = -\dfrac{5}{4}$ أو $y = -\dfrac{1}{4}$

ذ) أوجد العدد $x$ في كل حالة من الحالات التالية:

(1) $\dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{7}{2} - x\right) = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{2} - \left(\dfrac{7}{2} - x\right) = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{2} - \dfrac{7}{2} + x = \dfrac{3}{4}$

$-\dfrac{4}{2} + x = \dfrac{3}{4}$

$-2 + x = \dfrac{3}{4}$

$x = \dfrac{3}{4} + 2$

$x = \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{4}$

$x = \dfrac{11}{4}$

(2) $\dfrac{7}{2} + |x| = -\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{2} + |x| = -\dfrac{3}{4}$

$|x| = -\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{2}$

$|x| = -\dfrac{3}{4} - \dfrac{14}{4}$

$|x| = -\dfrac{17}{4}$

النتيجة: المعادلة مستحيلة لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة

الحل: $\emptyset$ (لا يوجد حل)

التمرين رقم 4

$ABC$ مثلث بحيث $AB = AC$. لتكن $M$ نقطة من $]AB[$ و $N$ النقطة من $]AC[$ بحيث $AN = AM$

1) أ) قارن المثلثين $ABN$ و $ACM$

في المثلثين $ABN$ و $ACM$:

• $AB = AC$ (معطى: المثلث $ABC$ متقايس الساقين)
• $AM = AN$ (معطى)
• $\widehat{BAC}$ مشترك

النتيجة: المثلثان $ABN$ و $ACM$ متقايسان (ض-ز-ض)

1) ب) استنتج أن $\widehat{ANB} = \widehat{AMC}$

من تقايس المثلثين $ABN$ و $ACM$، ينتج:

$\widehat{ANB} = \widehat{AMC}$

2) لتكن $I$ نقطة تقاطع المستقيمين $(BN)$ و $(CM)$. بين أن $MB = CN$ و $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$

إثبات $MB = CN$:

من تقايس المثلثين $ABN$ و $ACM$:
$BN = CM$

لدينا أيضاً:
$AB = AC$ (معطى)
$AM = AN$ (معطى)

$AB - AM = AC - AN$
$MB = NC$ ✓

إثبات $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$:

في المثلث $ABN$: $\widehat{ANB}$ هي زاوية المثلث
في المثلث $ACM$: $\widehat{AMC}$ هي زاوية المثلث

لدينا: $\widehat{ANB} = \widehat{AMC}$ (من 1ب)

$\widehat{INC}$ و $\widehat{ANB}$ متكاملتان (زاويتان على استقامة واحدة)
$\widehat{IMB}$ و $\widehat{AMC}$ متكاملتان (زاويتان على استقامة واحدة)

بما أن $\widehat{ANB} = \widehat{AMC}$، فإن:
$180° - \widehat{ANB} = 180° - \widehat{AMC}$
$\widehat{INC} = \widehat{IMB}$ ✓

3) قارن المثلثين $IBM$ و $ICN$. استنتج أن $IM = IN$

في المثلثين $IBM$ و $ICN$:

• $MB = NC$ (مُثبت في السؤال 2)
• $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$ (مُثبت في السؤال 2)
• $\widehat{MIB} = \widehat{NIC}$ (متقابلتان بالرأس)

النتيجة: المثلثان $IBM$ و $ICN$ متقايسان (ز-ض-ز)

من تقايسهما ينتج: $IM = IN$

4) استنتج أن $(AI)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$

البرهان:

لدينا:

$AB = AC$ (معطى)
$AM = AN$ (معطى)
$IM = IN$ (مُثبت في السؤال 3)

في المثلث $ABC$:

النقطة $A$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[BC]$
(لأن $AB = AC$، أي $A$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$)

في المثلث $IBC$:

من السؤال 3: $IM = IN$
من السؤال 2: $MB = NC$

في المثلثين $IBM$ و $ICN$: متقايسان
إذن $IB = IC$

النقطة $I$ تبعد بنفس المسافة عن $B$ و $C$
إذن $I$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[BC]$

بما أن النقطتين $A$ و $I$ تنتميان إلى الموسط العمودي لـ $[BC]$:

إذن $(AI)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$

التمرين رقم 5

$ACED$ مستطيل بحيث $AC = 8$ cm و $CE = 6$ cm و $B$ نقطة من $[AC]$ و $F$ نقطة من $[AD]$ بحيث $CB = AF = 3$ cm. لنفرض أن $\widehat{BEC} = 30°$

1) بين أن المثلثين $BCE$ و $ABF$ متقايسان

في المستطيل $ACED$:

• جميع الزوايا قائمة
• $AC = ED = 8$ cm (أضلاع متقابلة)
• $CE = AD = 6$ cm (أضلاع متقابلة)

حساب $AB$:

$AB = AC - CB = 8 - 3 = 5$ cm

في المثلثين $BCE$ و $ABF$:

• $BC = AF = 3$ cm (معطى)
• $CE = AD = 6$ cm، ولدينا $F \in [AD]$ بحيث $AF = 3$ cm
• $\widehat{BCE} = 90°$ (زاوية المستطيل)
• $\widehat{BAF} = 90°$ (زاوية المستطيل)

نحتاج للتحقق من باقي الأضلاع...

ملاحظة: يجب التحقق من جميع العناصر للتأكد من التقايس

2) استنتج حساباً لـ $\widehat{AFB}$

من تقايس المثلثين $BCE$ و $ABF$ (إذا تم إثباته):

$\widehat{AFB} = \widehat{BEC} = 30°$

3) المثلث $BFE$ قائم ومتقايس الضلعين

إثبات أن المثلث $BFE$ قائم:

يحتاج إلى معطيات إضافية أو استخدام خصائص المستطيل والزوايا

إثبات أن المثلث متقايس الضلعين:

إذا كان المثلث قائماً ومتقايس الضلعين، فإن زاويتيه الحادتين تساويان $45°$

4) لتكن $K$ نقطة من $[OF]$ حيث $BK = BC$. أثبت تقايس المثلثين $CKE$ و $AIB$

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في الصياغة:

$[OF]$ غير محدد في المعطيات (ربما المقصود نقطة أخرى)
النقطة $I$ غير محددة أيضاً

يُرجى مراجعة نص التمرين للتأكد من المعطيات الصحيحة

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات