إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 9)

التمرين رقم 1

أكمل بصواب أو خطأ:

1) إذا كان $a$ عدد كسري سالب فإن الجداء $(-a) \times (-5) \times \left(\dfrac{-3}{-2}\right) \times \left(\dfrac{-5}{7}\right)$ هو عدد كسري سالب

التحليل:

لدينا: $a < 0$ (عدد سالب)

$(-a) \times (-5) \times \left(\dfrac{-3}{-2}\right) \times \left(\dfrac{-5}{7}\right)$

نحدد إشارة كل عامل:
• $-a > 0$ (موجب لأن $a$ سالب)
• $-5 < 0$ (سالب)
• $\dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2} > 0$ (موجب)
• $\dfrac{-5}{7} < 0$ (سالب)

إشارة الجداء: $(+) \times (-) \times (+) \times (-) = (+)$

الجواب: خطأ (الجداء موجب وليس سالب)

2) $\dfrac{2a54}{2b56} = \dfrac{3a21}{3b23}$ حيث $a$ و $b$ رقمان

التحليل:

العدد $2a54$ يعني $2000 + 100a + 54 = 2054 + 100a$

العدد $2b56$ يعني $2000 + 100b + 56 = 2056 + 100b$

العدد $3a21$ يعني $3000 + 100a + 21 = 3021 + 100a$

العدد $3b23$ يعني $3000 + 100b + 23 = 3023 + 100b$

نتحقق من التساوي:
$\dfrac{2054 + 100a}{2056 + 100b} = \dfrac{3021 + 100a}{3023 + 100b}$

بالضرب التبادلي:
$(2054 + 100a)(3023 + 100b) = (3021 + 100a)(2056 + 100b)$

هذه المساواة لا تتحقق لكل قيم $a$ و $b$

الجواب: خطأ (في الحالة العامة)

3) إذا كان $a$ و $b$ عددين كسريين حيث $b > a > 1$ فإن الجداء $(a - 1)(a - b)$ هو عدد كسري سالب

التحليل:

المعطيات: $b > a > 1$

• بما أن $a > 1$، فإن $a - 1 > 0$ (موجب)
• بما أن $b > a$، فإن $a - b < 0$ (سالب)

إشارة الجداء: $(+) \times (-) = (-)$

الجواب: صواب (الجداء سالب)

4) نعتبر المثلثين $ABC$ و $EFG$ حيث $BC = FG$ و $\widehat{EGF} = \widehat{BCA}$ و $\widehat{ACB} = \widehat{GFE}$ فإن المثلثين $ABC$ و $EFG$ متقايسان

التحليل:

المعطيات:

$BC = FG$ (ضلع)
$\widehat{EGF} = \widehat{BCA}$ (زاوية)
$\widehat{ACB} = \widehat{GFE}$ (زاوية)

ملاحظة: $\widehat{BCA}$ و $\widehat{ACB}$ هما نفس الزاوية!

إذن: $\widehat{EGF} = \widehat{ACB}$ و $\widehat{ACB} = \widehat{GFE}$
مما يعطي: $\widehat{EGF} = \widehat{GFE}$

في المثلث $ABC$: الضلع $BC$ محصور بين الزاويتين $\widehat{ACB}$ و زاوية أخرى
في المثلث $EFG$: الضلع $FG$ محصور بين الزاويتين $\widehat{GFE}$ و $\widehat{EGF}$

لدينا: $BC = FG$، $\widehat{ACB} = \widehat{GFE}$، $\widehat{EGF} = \widehat{BCA}$

حالة التقايس (ض-ز-ز): ضلع وزاويتان ملاصقتان له

الجواب: صواب (المثلثان متقايسان)

التمرين رقم 2

أربط بسهم كل عبارة من الجدول الأول بالعبارة التي تساويها من الجدول الثاني:

الحسابات:

1) $\dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{15}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{13}{9}$ → لا يوجد في الجدول الثاني

2) $\sqrt{64} = 8$

3) $\dfrac{4}{7} \times \left(\dfrac{-5}{3} - \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{7} \times \left(\dfrac{-7}{3}\right) = -\dfrac{4 \times 7}{7 \times 3} = -\dfrac{4}{3}$

4) $-\dfrac{5}{9} \times \left(\dfrac{-11}{14}\right) \times \dfrac{14}{11} = \dfrac{5 \times 11 \times 14}{9 \times 14 \times 11} = \dfrac{5}{9}$

5) $\sqrt{4100625} = \sqrt{2025^2} = 2025$ → لنتحقق: $2025 = 45 \times 45 = 2025$ ✓
في الواقع: $\sqrt{4100625} = 2025$ لكن لنحسب:
$2025^2 = 4100625$ ✓ → الجواب هو $45$ إذا كان $45^2 = 2025$

6) $\dfrac{7}{4} \times \dfrac{1.6}{4.9} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{16}{49} = \dfrac{7 \times 16}{4 \times 49} = \dfrac{112}{196} = \dfrac{4}{7}$

7) $\sqrt{\dfrac{576}{1225}} = \dfrac{\sqrt{576}}{\sqrt{1225}} = \dfrac{24}{35}$

8) قيس طول ضلع مربع مساحته $28.3024 \text{ cm}^2$
المساحة = (الضلع)²
الضلع = $\sqrt{28.3024} = 5.32 \text{ cm}$

الربط النهائي:

$\dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{9}$ → $-\dfrac{1}{18}$ (بعد التحقق من الحساب)
$\sqrt{64}$ → $8$
$\dfrac{4}{7} \times (\dfrac{-5}{3} - \dfrac{2}{3})$ → $-\dfrac{4}{3}$
$-\dfrac{5}{9} \times (\dfrac{-11}{14}) \times \dfrac{14}{11}$ → $\dfrac{5}{9}$
$\sqrt{4100625}$ → $45$ (إذا كان $45^2 = 2025$ والمقصود $\sqrt{2025}$)
$\dfrac{7}{4} \times \dfrac{1.6}{4.9}$ → $\dfrac{4}{7}$
$\sqrt{\dfrac{576}{1225}}$ → $\dfrac{24}{35}$
قيس طول ضلع مربع مساحته $28.3024$ → $5.32$

التمرين رقم 3

أحسب العبارات التالية مع كتابة المراحل اللازمة على ورقة الامتحان:

أ) $A = \dfrac{1 + \dfrac{4}{3}}{1 - \dfrac{1}{4}}$

$A = \dfrac{1 + \dfrac{4}{3}}{1 - \dfrac{1}{4}}$

نحسب البسط: $1 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{7}{3}$

نحسب المقام: $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

$A = \dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{28}{9}$

ب) $B = \dfrac{\dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{8}}{\dfrac{1}{3} - 1}$

$B = \dfrac{\dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{8}}{\dfrac{1}{3} - 1}$

نحسب البسط: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{8} = \dfrac{4}{8} - \dfrac{7}{8} = -\dfrac{3}{8}$

نحسب المقام: $\dfrac{1}{3} - 1 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{3} = -\dfrac{2}{3}$

$B = \dfrac{-\dfrac{3}{8}}{-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{16}$

ج) $C = \dfrac{-1 + \dfrac{7}{8}}{-1 + \dfrac{8}{9}}$

$C = \dfrac{-1 + \dfrac{7}{8}}{-1 + \dfrac{8}{9}}$

نحسب البسط: $-1 + \dfrac{7}{8} = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{7}{8} = -\dfrac{1}{8}$

نحسب المقام: $-1 + \dfrac{8}{9} = -\dfrac{9}{9} + \dfrac{8}{9} = -\dfrac{1}{9}$

$C = \dfrac{-\dfrac{1}{8}}{-\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{9}{1} = \dfrac{9}{8}$

د) $D = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5}}$

$D = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5}}$

نحسب الجزء الأول: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$

نحسب مقام الكسر الثاني: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{10}{15} + \dfrac{9}{15} = \dfrac{19}{15}$

$D = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{19}{15}}$

$D = \dfrac{1}{6} \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{15}{19}$

$D = -\dfrac{1 \times 2 \times 15}{6 \times 3 \times 19} = -\dfrac{30}{342} = -\dfrac{5}{57}$

التمرين رقم 4

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ يقطع $(AC)$ في $M$، منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ يقطع $(AB)$ في $N$

1) قارن المثلثين $BCM$ و $BCN$

المعطيات:

$ABC$ مثلث متقايس الساقين: $AB = AC$
$[BM)$ منصف الزاوية $\widehat{ABC}$
$[CN)$ منصف الزاوية $\widehat{ACB}$

المقارنة:

في المثلث $ABC$ متقايس الساقين:

$AB = AC$ (معطى)
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (زاويتا القاعدة في مثلث متقايس الساقين)

في المثلثين $BCM$ و $BCN$:

• $BC$ مشترك
• $\widehat{MBC} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$ (منصف)
• $\widehat{NCB} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}$ (منصف)
• بما أن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$، فإن $\widehat{MBC} = \widehat{NCB}$

نحتاج لإيجاد عنصر ثالث للمقارنة...

في المثلث $BCM$: $\widehat{BMC} = 180° - \widehat{MBC} - \widehat{MCB}$

في المثلث $BCN$: $\widehat{BNC} = 180° - \widehat{NBC} - \widehat{NCB}$

النتيجة: المثلثان $BCM$ و $BCN$ متقايسان (ز-ض-ز)

2) استنتج أن $AM = AN$

من تقايس المثلثين $BCM$ و $BCN$، ينتج:

$BM = CN$ و $CM = BN$

لدينا أيضاً من المثلث $ABC$ متقايس الساقين:

$AB = AC$
$AB - BN = AC - CM$
$AN = AM$

3) $(BN)$ و $(CM)$ يتقاطعان في $P$، قارن المثلثين $APM$ و $APN$

في المثلثين $APM$ و $APN$:

• $AP$ مشترك
• $AM = AN$ (مُثبت في السؤال 2)
• $\widehat{PAM} = \widehat{PAN}$ (لأن $ABC$ متقايس الساقين قمته $A$)

النتيجة: المثلثان $APM$ و $APN$ متقايسان (ض-ز-ض)

4) استنتج أن $[PA)$ هو منصف الزاوية $\widehat{MPN}$

من تقايس المثلثين $APM$ و $APN$، ينتج:

$\widehat{APM} = \widehat{APN}$

وبما أن $\widehat{APM}$ و $\widehat{APN}$ متجاورتان ومتساويتان، فإن:

$[PA)$ منصف الزاوية $\widehat{MPN}$

التمرين رقم 5

لنعتبر دائرة $(\xi)$ مركزها $O$ وشعاعها $3$ صم وليكن $[AB]$ و $[CD]$ قطرين لها بحيث لا يكون المستقيم $(AB)$ عمودياً على المستقيم $(CD)$

1°) أثبت تقايس المثلثين $ACO$ و $BDO$

المعطيات:

$[AB]$ و $[CD]$ قطران للدائرة $(\xi)$ مركزها $O$
نصف القطر = $3$ صم

في المثلثين $ACO$ و $BDO$:

• $OA = OB = OC = OD = 3$ صم (أنصاف أقطار)
بالتحديد: $OA = OB$ و $OC = OD$

• $\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$ (متقابلتان بالرأس)

النتيجة: المثلثان $ACO$ و $BDO$ متقايسان (ض-ز-ض)

لتكن $I$ نقطة من القطعة $[AO]$، المستقيم المار من $D$ والموازي للمستقيم $(CI)$ يقطع $[OB]$ في نقطة $J$

2° أ*) أثبت تقايس المثلثين $OCI$ و $ODJ$

المعطيات:

$I \in [AO]$
$(DJ) \parallel (CI)$

في المثلثين $OCI$ و $ODJ$:

• $OC = OD = 3$ صم (أنصاف أقطار)
• $\widehat{COI} = \widehat{DOJ}$ (متقابلتان بالرأس)
• $\widehat{OCI} = \widehat{ODJ}$ (متبادلتان داخلياً لأن $(DJ) \parallel (CI)$)

النتيجة: المثلثان $OCI$ و $ODJ$ متقايسان (ز-ض-ز)

2° ب*) استنتج أن $O$ هي منتصف القطعة $[IJ]$

من تقايس المثلثين $OCI$ و $ODJ$، ينتج:

$OI = OJ$

وبما أن النقاط $I$، $O$، $J$ على استقامة واحدة (لأن $I \in [AO]$ و $J \in [OB]$ و $A$، $O$، $B$ على استقامة واحدة)، و $OI = OJ$:

إذن $O$ منتصف $[IJ]$

3°) بين أن $AI = BJ$

لدينا:

$OA = OB = 3$ صم (أنصاف أقطار)
$OI = OJ$ (مُثبت في 2°ب)

$AI = OA - OI$
$BJ = OB - OJ$

بما أن $OA = OB$ و $OI = OJ$:
$AI = BJ$

4°) أثبت تقايس المثلثين $AIC$ و $BDJ$

من السؤال 1°، المثلثان $ACO$ و $BDO$ متقايسان، إذن:

$AC = BD$ و $\widehat{CAO} = \widehat{DBO}$

في المثلثين $AIC$ و $BDJ$:

• $AI = BJ$ (مُثبت في 3°)
• $AC = BD$ (من تقايس $ACO$ و $BDO$)
• $\widehat{CAI} = \widehat{DBJ}$ (لأن $\widehat{CAO} = \widehat{DBO}$)

النتيجة: المثلثان $AIC$ و $BDJ$ متقايسان (ض-ز-ض)

5°) استنتج أن $(AC) \parallel (BD)$

من تقايس المثلثين $AIC$ و $BDJ$، ينتج:

$\widehat{ACI} = \widehat{BDJ}$

هاتان الزاويتان متبادلتان داخلياً بالنسبة للمستقيمين $(AC)$ و $(BD)$ والقاطع $(CD)$

وبما أنهما متساويتان:

إذن $(AC) \parallel (BD)$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات