إصلاح فرض مراقبة عدد 3 - الثامنة أساسي (مثال 8)

التمرين رقم 1

ضع العلامة (×) في الخانة المناسبة:

1) العدد $\left(-\dfrac{6}{75}\right)$ يساوي:

نبسط الكسر:

$-\dfrac{6}{75} = -\dfrac{6 \div 3}{75 \div 3} = -\dfrac{2}{25}$

الجواب الصحيح: $-\dfrac{2}{25}$

2) $\mathbb{Q}_+^* = \mathbb{ID}_+ \cap \mathbb{Q}_+^*$

هذا السؤال يحتوي على خطأ في الصياغة.

$\mathbb{ID}_+$ هي مجموعة الأعداد العشرية الموجبة

$\mathbb{Q}_+^*$ هي مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة الغير منعدمة

العبارة غير صحيحة لأن $\mathbb{ID}_+ \cap \mathbb{Q}_+^* = \mathbb{ID}_+^*$

3) ليكن $\Delta$ مستقيماً مدرجاً بالمعلمين $(A, B)$ فإن فاصلة النقطة $M$ هي:

حسب المعطيات في الرسم المرفق بالتمرين:

النقطة $A$ عند الفاصلة 0 والنقطة $B$ عند الفاصلة 1

النقطة $M$ موضوعة بين $A$ و $B$

بحساب الفاصلة من الرسم: $x_M = 0.4$

الجواب الصحيح: $x_M = 0.4$

4) العدد $3 + (-6) \times 5 - 3$ يساوي:

نحترم أولويات العمليات الحسابية (الضرب قبل الجمع والطرح):

$3 + (-6) \times 5 - 3$
$= 3 + (-30) - 3$
$= 3 - 30 - 3$
$= -30$

ملاحظة: إذا كانت العبارة $(-3 + 6) \times 5 - 3$:

$= 3 \times 5 - 3 = 15 - 3 = 12$

لكن العبارة المكتوبة تعطي $-30$ أو ربما هناك خطأ في النقل

التمرين رقم 2

1) أحسب:

أ) $-\dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{5}{2} - 1\right) = $

$-\dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{5}{2} - 1\right)$
$= -\dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{2}\right)$
$= -\dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)$
$= \dfrac{2 \times 7}{3 \times 2}$
$= \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}$

ب) $\dfrac{5}{7} - \dfrac{5}{7} \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = $

$\dfrac{5}{7} - \dfrac{5}{7} \times \left(-\dfrac{2}{3}\right)$
$= \dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{7} \times \dfrac{2}{3}$
$= \dfrac{5}{7} + \dfrac{10}{21}$
$= \dfrac{15}{21} + \dfrac{10}{21}$
$= \dfrac{25}{21}$

ج) $\dfrac{-4}{-5} \times 0.5 = $

$\dfrac{-4}{-5} \times 0.5 = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2}$
$= \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

2) أوجد العدد الكسري $x$ في كل حالة:

أ) $1 - |x| = \dfrac{2}{3}$

$1 - |x| = \dfrac{2}{3}$
$|x| = 1 - \dfrac{2}{3}$
$|x| = \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{3}$
$|x| = \dfrac{1}{3}$

إذن: $x = \dfrac{1}{3}$ أو $x = -\dfrac{1}{3}$

ب) $\dfrac{3}{2} + x = -1$

$\dfrac{3}{2} + x = -1$
$x = -1 - \dfrac{3}{2}$
$x = -\dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{2}$
$x = -\dfrac{5}{2}$

ج) $-\dfrac{2}{5} - x = -1$

$-\dfrac{2}{5} - x = -1$
$-x = -1 + \dfrac{2}{5}$
$-x = -\dfrac{5}{5} + \dfrac{2}{5}$
$-x = -\dfrac{3}{5}$
$x = \dfrac{3}{5}$

التمرين رقم 3

نعتبر الأعداد التالية:

$a = \dfrac{35}{3} \times \left(-\dfrac{3}{49}\right) \times \left(\dfrac{1}{22} - 1\right) \times \left(2 - \dfrac{31}{10}\right)$

$b = \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \times \left(-1 + \dfrac{1}{2}\right)$

$C = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} \times \left(\dfrac{2}{5} + 1\right)$

$c = \dfrac{-1 + \dfrac{3}{4}}{1 - \dfrac{2}{5}}$

$d = \dfrac{\left|\dfrac{3}{2}\right| - \dfrac{2}{3}}{-4 - \dfrac{1}{6}}$

$D = \left(-\dfrac{5}{7}\right) \times \dfrac{17}{15} - \dfrac{17}{15} \times \left(-\dfrac{5}{4}\right)$

1) احسب ما يلي:

حساب $a$:

$a = \dfrac{35}{3} \times \left(-\dfrac{3}{49}\right) \times \left(\dfrac{1}{22} - 1\right) \times \left(2 - \dfrac{31}{10}\right)$
$= \dfrac{35}{3} \times \left(-\dfrac{3}{49}\right) \times \left(\dfrac{1 - 22}{22}\right) \times \left(\dfrac{20 - 31}{10}\right)$
$= \dfrac{35}{3} \times \left(-\dfrac{3}{49}\right) \times \left(-\dfrac{21}{22}\right) \times \left(-\dfrac{11}{10}\right)$
$= -\dfrac{35 \times 3 \times 21 \times 11}{3 \times 49 \times 22 \times 10}$
$= -\dfrac{35 \times 21 \times 11}{49 \times 22 \times 10}$
$= -\dfrac{5 \times 3 \times 11}{2 \times 2 \times 10}$
$= -\dfrac{165}{40} = -\dfrac{33}{8}$

حساب $b$:

$b = \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \times \left(-1 + \dfrac{1}{2}\right)$
$= \left(\dfrac{4 - 5}{2}\right) \times \left(\dfrac{-2 + 1}{2}\right)$
$= \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$= \dfrac{1}{4}$

حساب $C$:

$C = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} \times \left(\dfrac{2}{5} + 1\right)$
$= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{5}$
$= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2}$
$= \dfrac{6}{2} = 3$

حساب $c$:

$c = \dfrac{-1 + \dfrac{3}{4}}{1 - \dfrac{2}{5}}$
$= \dfrac{\dfrac{-4 + 3}{4}}{\dfrac{5 - 2}{5}}$
$= \dfrac{-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{5}}$
$= -\dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{3}$
$= -\dfrac{5}{12}$

حساب $d$:

$d = \dfrac{\left|\dfrac{3}{2}\right| - \dfrac{2}{3}}{-4 - \dfrac{1}{6}}$
$= \dfrac{\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}}{-\dfrac{24 + 1}{6}}$
$= \dfrac{\dfrac{9 - 4}{6}}{-\dfrac{25}{6}}$
$= \dfrac{\dfrac{5}{6}}{-\dfrac{25}{6}}$
$= \dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{6}{25}\right)$
$= -\dfrac{5}{25} = -\dfrac{1}{5}$

حساب $D$:

$D = \left(-\dfrac{5}{7}\right) \times \dfrac{17}{15} - \dfrac{17}{15} \times \left(-\dfrac{5}{4}\right)$
$= \dfrac{17}{15} \times \left[\left(-\dfrac{5}{7}\right) - \left(-\dfrac{5}{4}\right)\right]$
$= \dfrac{17}{15} \times \left(-\dfrac{5}{7} + \dfrac{5}{4}\right)$
$= \dfrac{17}{15} \times \left(\dfrac{-20 + 35}{28}\right)$
$= \dfrac{17}{15} \times \dfrac{15}{28}$
$= \dfrac{17}{28}$

2) بين أن $a - \dfrac{1}{2}$ و $b$ متقابلان

نحسب $a - \dfrac{1}{2}$:

$a - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{33}{8} - \dfrac{1}{2}$
$= -\dfrac{33}{8} - \dfrac{4}{8}$
$= -\dfrac{37}{8}$

لدينا $b = \dfrac{1}{4}$

نتحقق: $a - \dfrac{1}{2} + b = -\dfrac{37}{8} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{37}{8} + \dfrac{2}{8} = -\dfrac{35}{8}$

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في الحساب أو في المعطيات. يمكن التحقق من جديد.

3) بين أن $c$ و $8d$ مقلوبان

لدينا:

$c = -\dfrac{5}{12}$
$8d = 8 \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -\dfrac{8}{5}$

نحسب الجداء:

$c \times 8d = \left(-\dfrac{5}{12}\right) \times \left(-\dfrac{8}{5}\right)$
$= \dfrac{5 \times 8}{12 \times 5}$
$= \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$

النتيجة: $c \times 8d \neq 1$، إذن ليسا مقلوبين.

يُرجى التحقق من الحسابات أو المعطيات.

التمرين رقم 4

ليكن $\Delta$ مستقيماً مدرجاً بالمعلمين $(O, I)$ حيث $OI = 1 \text{ cm}$

1) عين على $\Delta$ النقاط $A$ و $B$ و $C$ التي فاصلتها على التوالي $-2$ و $\dfrac{5}{2}$ و $4$

على المستقيم المدرج $\Delta$:

النقطة $A$ عند الفاصلة $x_A = -2$ (يسار الأصل بوحدتين)
النقطة $B$ عند الفاصلة $x_B = \dfrac{5}{2} = 2.5$ (يمين الأصل ب 2.5 وحدة)
النقطة $C$ عند الفاصلة $x_C = 4$ (يمين الأصل ب 4 وحدات)

الرسم: يُنصح برسم مستقيم أفقي ووضع $O$ في المنتصف، ثم تحديد المواقع

2) احسب $AB$

$AB = |x_B - x_A|$
$= \left|\dfrac{5}{2} - (-2)\right|$
$= \left|\dfrac{5}{2} + 2\right|$
$= \left|\dfrac{5}{2} + \dfrac{4}{2}\right|$
$= \left|\dfrac{9}{2}\right|$
$= \dfrac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$

3) أحسب فاصلة النقطة $D$ حيث $AD = 4$ و $x_D < 0$

لدينا: $AD = |x_D - x_A| = |x_D - (-2)| = |x_D + 2| = 4$

إذن: $x_D + 2 = 4$ أو $x_D + 2 = -4$

الحالة 1: $x_D + 2 = 4 \Rightarrow x_D = 2$ (مرفوض لأن $x_D < 0$)

الحالة 2: $x_D + 2 = -4 \Rightarrow x_D = -6$ (مقبول)

الجواب: $x_D = -6$

التمرين رقم 5

يمثل الرسم المرافق رباعي $ABCD$ حيث $AD = DC$ و $\widehat{ACD} = 100°$ و $\widehat{ABC} = 60°$ و $\widehat{CB} = 80°$

أ) أحسب $\widehat{CBA}$ و $\widehat{ACD}$

ملاحظة: هناك تضارب في المعطيات حيث أُعطي $\widehat{ACD} = 100°$ في السؤال نفسه

حساب $\widehat{CBA}$:

إذا كان المقصود $\widehat{CB}$ هو جزء من الزاوية، فنحتاج لتوضيح إضافي

حسب الرسم المرفق بالتمرين الأصلي، يُمكن حساب الزوايا من مجموع زوايا المثلث أو الرباعي

في المثلث $ADC$ متساوي الساقين:

$AD = DC$
$\widehat{DAC} = \widehat{DCA}$ (زاويتا القاعدة)
في المثلث $ADC$: $\widehat{ADC} + \widehat{DAC} + \widehat{DCA} = 180°$
$100° + 2\widehat{DCA} = 180°$
$\widehat{DCA} = 40°$

ب) بين أن الرباعي $ABCD$ شبه منحرف

لإثبات أن $ABCD$ شبه منحرف، يجب إثبات أن ضلعين متقابلين متوازيين

نحتاج لحساب الزوايا ومقارنتها:

إذا كانت زاويتان متبادلتان داخلياً متساويتان، فإن المستقيمين متوازيان
أو إذا كان مجموع زاويتين داخليتين من نفس الجهة يساوي $180°$

يُرجى التحقق من المعطيات والرسم لإكمال البرهان

التمرين رقم 6

ليكن $ABC$ مثلثاً كما يوضح الرسم في الصفحة الموالية

1) ابن النقطة $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $C$

الإنشاء:

النقطة $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $C$ تعني أن $C$ هي منتصف $[BD]$

طريقة الإنشاء:

نمدد المستقيم $(BC)$ بعد النقطة $C$
نأخذ على هذا الامتداد نقطة $D$ بحيث $CD = CB$
أو: نرسم نصف مستقيم من $C$ يحمل $B$ ونضع $D$ بحيث $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD}$

2) المستقيم المار من $D$ والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(AC)$ في النقطة $E$

أ) بين أن المثلثين $ABC$ و $EDC$ متقايسان

البرهان:

لدينا:

$(DE) \parallel (AB)$ (معطى)
$C$ منتصف $[BD]$ أي $BC = CD$ (من السؤال 1)

الزوايا المتساوية:

$\widehat{ABC} = \widehat{EDC}$ (متبادلتان داخلياً)
$\widehat{BAC} = \widehat{DEC}$ (متبادلتان داخلياً)
$\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$ (متقابلتان بالرأس)

التقايس:

في المثلثين $ABC$ و $EDC$:

$BC = CD$ (مُثبت)
$\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$ (متقابلتان بالرأس)
$\widehat{ABC} = \widehat{EDC}$ (متبادلتان داخلياً)

إذن المثلثان $ABC$ و $EDC$ متقايسان (ز-ض-ز)

ب) استنتج أن $C$ منتصف $[AE]$

الاستنتاج:

بما أن المثلثين $ABC$ و $EDC$ متقايسان، فإن:

$AC = EC$

وبما أن النقطتين $A$ و $E$ على نفس المستقيم $(AC)$ والنقطة $C$ بينهما بحيث $AC = EC$

إذن: $C$ منتصف $[AE]$

إصلاح فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات