📝 فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
📚 الثامنة أساسي - إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة (4 نقاط)
1. إذا كان $x$ و $y$ عددين كسريين نسبيين حيث $|x|=|y|$ و $x < y$ و $-\frac{1}{2} < x < 0 < \frac{7}{3} < y$ فإن:
أ) $x = \frac{14}{3}$
ب) $x = -\frac{14}{3}$
ج) لا توجد إجابة كافية للتحديد

الشرح: بما أن $|x|=|y|$ و $x < y$، فهذا يعني أن $x$ و $y$ متقابلان، أي $x = -y$.

بما أن $x < 0$ و $y > 0$، فهذا يتوافق مع المعطيات. الإجابة تعتمد على القيم المتاحة في الخيارات.

2. إذا كان $\frac{2}{a} \times (-\frac{7}{3}) = 1$ فإن $a$ يساوي:
أ) $\frac{14}{3}$
ب) $-\frac{14}{3}$ ✨
ج) $-\frac{7}{6}$

الحل: نعلم أن جذاء عدد ومقلوبه يساوي 1.

$\frac{2}{a} \times (-\frac{7}{3}) = 1 \implies \frac{-14}{3a} = 1 \implies 3a = -14 \implies a = -\frac{14}{3}$
3. في مأوى للسيارات، $\frac{2}{5}$ السيارات بيضاء و "ثلاثة أنصاف ثلثها" سوداء. العدد الكسري الذي يمثل بقية السيارات هو:
أ) $\frac{1}{10}$ ✨
ب) $\frac{13}{20}$
ج) $\frac{6}{9}$

الحل:

  • السيارات السوداء = $\frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$
  • مجموع السيارات البيضاء والسوداء = $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}$
  • بقية السيارات = $1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$
🎪 التمرين رقم 2 (الأعداد الكسرية)
1. أحسب ما يلي في أبسط صورة:
$A = (-\frac{8}{3}) \times \frac{15}{4} \times (-\frac{21}{5}) \times (\frac{1}{-7})$

الحل: نحدد الإشارة أولاً (3 عوامل سالبة، فالنتيجة سالبة):

$A = - (\frac{8 \times 15 \times 21 \times 1}{3 \times 4 \times 5 \times 7})$
$A = - (\frac{8}{4} \times \frac{15}{3 \times 5} \times \frac{21}{7})$
$A = - (2 \times 1 \times 3) = -6$
2. إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، بين أن $\frac{2a-c+3}{2b-d+3} = \frac{a}{b}$

الحل: نستخدم خاصية التناسب:

بما أن $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$، فإن $a=bk$ و $c=dk$.

$\frac{2(bk) - (dk) + 3}{2b - d + 3}$ (هنا نلاحظ أن 3 لا تتبع التناسب إلا إذا كانت مضروبة في $k$ أو تعامل كحالة خاصة)

حسب نص التمرين الأصلي، هذه الخاصية تطبق على الأجزاء المتناسبة.

📐 التمرين رقم 3 (العبارات الجبرية)
1. فكك إلى جذاء عوامل العبارة: $N = \frac{7}{3}x(3x - \frac{1}{5}) - 2(\frac{1}{5} - 3x)$

الحل: نلاحظ أن $(\frac{1}{5} - 3x) = -(3x - \frac{1}{5})$

$N = \frac{7}{3}x(3x - \frac{1}{5}) + 2(3x - \frac{1}{5})$
$N = (3x - \frac{1}{5})(\frac{7}{3}x + 2)$
2. أنشر واختصر العبارة: $P = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3}) - \frac{3}{5}(2x - \frac{5}{3})$
$P = (-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \times \frac{1}{3}) - (\frac{3}{5} \times 2x - \frac{3}{5} \times \frac{5}{3})$
$P = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{6}{5}x + 1$
$P = (-\frac{15}{10} - \frac{12}{10})x + \frac{3}{2} = -\frac{27}{10}x + \frac{3}{2}$
🎯 التمرين رقم 4 (هندسة)
المعطيات: $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $AB=3$cm و $\widehat{ABC}=60^\circ$. $I$ منتصف $[BC]$.
1. احسب قيس الزاوية $\widehat{ACB}$.

الحل: في المثلث $ABC$ القائم في $A$:

$\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
2. منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ يقطع $(AC)$ في $D$. بين أن المثلث $BCD$ متقايس الضلعين.

البرهان:

  • بما أن $[BD)$ منصف $\widehat{ABC}$، فإن $\widehat{DBC} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
  • لدينا من السؤال السابق $\widehat{DCB} = 30^\circ$.
  • بما أن $\widehat{DBC} = \widehat{DCB}$، فإن المثلث $BCD$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $D$.
3. بين أن $(ID) \perp (BC)$.

البرهان:

  • في المثلث $BCD$ المتقايس الضلعين في $D$.
  • بما أن $I$ هو منتصف القاعدة $[BC]$، فإن المستقيم $(ID)$ هو **الموسط** العمودي للقطعة $[BC]$.
  • بالتالي $(ID) \perp (BC)$.