📐 تمارين الرياضيات

نموذج عدد 2 - الصف الأول الإعدادي

تمرين عدد 1 (4ن)

أجب بـ "صواب" أو "خطأ"، أسفل كل مقترح:

المثلثان ABC و EFG متقايسان

المثلثان MNP و IJK متقايسان

المرحلة 1️⃣: فهم المعطيات

لدينا مثلثان متقايسان في كل حالة:

  • المثلثان ABC و EFG حيث الزاوية في J تساوي 45° والزاوية في N تساوي 45°
  • المثلثان MNP و IJK
تذكير: مثلثان متقايسان إذا كانت أضلاعهما المتقابلة متساوية وزواياهما المتقابلة متساوية.

المرحلة 2️⃣: التحليل

من الرسم نلاحظ:

  • في المثلثين ABC و EFG: توجد زاوية 45° في كل منهما
  • في المثلثين MNP و IJK: توجد زاوية 45° في كل منهما
  • لكن هذا لا يكفي لإثبات التقايس، نحتاج إلى معلومات عن الأضلاع أو زوايا أخرى

شرط التقايس: يجب أن تتساوى الأضلاع الثلاثة أو ضلعان والزاوية المحصورة أو زاويتان وضلع

المرحلة 3️⃣: الإجابة النهائية

النتيجة:

  • ✅ صواب - المثلثان ABC و EFG متقايسان (حسب المعطيات في المسألة)
  • ✅ صواب - المثلثان MNP و IJK متقايسان (حسب المعطيات في المسألة)
ملاحظة: في الامتحان، يجب قراءة المعطيات بدقة لتحديد ما إذا كانت المثلثات متقايسة أم لا.
تمرين عدد 2 (4ن)

ضع علامة (X) في الخانة المناسبة:

المجموعة \( \mathbb{Z}^* \cup \mathbb{U} \) تساوي:

أ. \( \emptyset \) □

ج. \( \mathbb{Q} \) □

العدد العشري النسبي من ضمن الأعداد التالية \( \frac{21}{35}, \frac{35}{21}, \frac{21}{-11}, \frac{-11}{6} \) هو:

أ. \( \frac{35}{21} \) □

ب. \( \frac{21}{35} \) □

ج. \( \frac{-11}{6} \) □

المرحلة 1️⃣: فهم المجموعات الرياضية

التعاريف الأساسية:
  • \( \mathbb{Z}^* \): مجموعة الأعداد الصحيحة غير المعدومة (كل الأعداد الصحيحة ما عدا الصفر)
  • \( \mathbb{U} \): يمكن أن تشير إلى مجموعة معينة حسب السياق
  • \( \mathbb{Q} \): مجموعة الأعداد النسبية

للسؤال الأول، نحتاج معرفة ما هي \( \mathbb{U} \) بالضبط.

المرحلة 2️⃣: تحليل الأعداد العشرية

لنفحص كل كسر:

$$\frac{21}{35} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{3}{5} = 0.6 \text{ (عدد عشري منته)}$$
$$\frac{35}{21} = \frac{5 \times 7}{3 \times 7} = \frac{5}{3} = 1.\overline{6} \text{ (عدد عشري دوري)}$$
$$\frac{21}{-11} = -\frac{21}{11} = -1.\overline{90} \text{ (عدد عشري دوري)}$$
$$\frac{-11}{6} = -1.8\overline{3} \text{ (عدد عشري دوري)}$$
ملاحظة: العدد العشري النسبي يمكن أن يكون منتهياً أو دورياً. لكن السؤال يسأل عن "العدد العشري النسبي" مما قد يعني العدد العشري المنتهي.

المرحلة 3️⃣: الإجابة النهائية

للسؤال الأول:

الإجابة تعتمد على تعريف \( \mathbb{U} \) في السياق المعطى.

للسؤال الثاني:

✅ الإجابة: ب. \( \frac{21}{35} = 0.6 \)

التفسير: \( \frac{21}{35} \) هو الوحيد الذي يعطي عدداً عشرياً منتهياً (غير دوري)، وهو 0.6

قاعدة مهمة: الكسر يعطي عددا عشريا منتهيا إذا كان المقام (بعد التبسيط) يحتوي فقط على العوامل 2 و/أو 5.
تمرين عدد 3 (3ن)

مثلثان OAB و OCD يحققان المعطيات التالية:

رسم يوضح المثلثان OAB و OCD

  • أ. المثلثان OAB و OCD متقايسان
  • ب. المثلثان OAB و OCD غير متقايسان
  • ج. المعلومات غير كافية لتحديد الإجابة

المرحلة 1️⃣: تحليل المعطيات الهندسية

من الرسم نلاحظ أن:

  • النقطة O مشتركة بين المثلثين
  • يجب معرفة الأضلاع والزوايا للمقارنة
شروط تقايس المثلثات:
  • ضلع - ضلع - ضلع (CCC)
  • ضلع - زاوية - ضلع (SAS)
  • زاوية - ضلع - زاوية (ASA)

المرحلة 2️⃣: التحقق من شروط التقايس

لتحديد ما إذا كان المثلثان متقايسين، نحتاج إلى:

  1. مقارنة أطوال الأضلاع المتناظرة
  2. مقارنة قياسات الزوايا المتناظرة

بدون معلومات محددة عن القياسات، لا يمكننا الحكم بشكل قاطع.

المرحلة 3️⃣: الإجابة النهائية

✅ الإجابة الأرجح: ج. المعلومات غير كافية لتحديد الإجابة

التبرير:

  • بدون معلومات دقيقة عن الأضلاع والزوايا، لا يمكن تأكيد التقايس
  • الرسم وحده لا يكفي لإثبات التقايس
  • نحتاج إلى معطيات رقمية أو علاقات هندسية إضافية
نصيحة: في الامتحانات، اقرأ جميع المعطيات المكتوبة بعناية ولا تعتمد على الرسم فقط.
تمرين عدد 4 (5ن)

أعثر على العدد الكبير \( x \) في المجموعة \( A \) التالية:

$$A = \left\{-\frac{45}{27}, -\frac{9}{40}, 0, -28, -\frac{7}{17}, -|-4|, \frac{17}{15}, -3.5, -\frac{1}{8}\right\}$$

1. أوجد المجموعات التالية:

  • \( A \cap \mathbb{D} \)
  • \( A \cap \mathbb{N} \)
  • \( B = \{x \in A \mid |x| = 4\} \)
  • \( C = \{x \in A \mid |x| = -x\} \)

2. اكتب كل عدد غير صحيح من المجموعة \( A \) على صورة \( \frac{a}{10^n} \)

المرحلة 1️⃣: ترتيب عناصر المجموعة وتبسيطها

لنبسط جميع العناصر أولاً:

$$-\frac{45}{27} = -\frac{5}{3} \approx -1.67$$ $$-\frac{9}{40} = -0.225$$ $$0 = 0$$ $$-28 = -28$$ $$-\frac{7}{17} \approx -0.412$$ $$-|-4| = -4$$ $$\frac{17}{15} \approx 1.133$$ $$-3.5 = -\frac{7}{2}$$ $$-\frac{1}{8} = -0.125$$

ترتيب العناصر من الأصغر إلى الأكبر:

$$-28 < -4 < -3.5 < -\frac{5}{3} < -\frac{7}{17} < -\frac{9}{40} < -\frac{1}{8} < 0 < \frac{17}{15}$$

✅ العدد الأكبر هو: \( \frac{17}{15} \approx 1.133 \)

المرحلة 2️⃣: إيجاد المجموعات المطلوبة

1. \( A \cap \mathbb{D} \) (تقاطع A مع الأعداد العشرية):

$$A \cap \mathbb{D} = \{-\frac{9}{40}, 0, -28, -|-4|, -3.5, -\frac{1}{8}\}$$ $$= \{-0.225, 0, -28, -4, -3.5, -0.125\}$$

2. \( A \cap \mathbb{N} \) (تقاطع A مع الأعداد الطبيعية):

$$A \cap \mathbb{N} = \{0\}$$
ملاحظة: 0 هو العدد الطبيعي الوحيد في المجموعة (باعتبار أن \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} \))

3. \( B = \{x \in A \mid |x| = 4\} \):

$$|x| = 4 \Rightarrow x = 4 \text{ أو } x = -4$$ $$B = \{-4\} = \{-|-4|\}$$

4. \( C = \{x \in A \mid |x| = -x\} \):

الشرط \( |x| = -x \) يتحقق عندما \( x \leq 0 \)

$$C = \left\{-\frac{45}{27}, -\frac{9}{40}, 0, -28, -\frac{7}{17}, -|-4|, -3.5, -\frac{1}{8}\right\}$$

المرحلة 3️⃣: كتابة الأعداد غير الصحيحة على صورة \( \frac{a}{10^n} \)

الأعداد غير الصحيحة في A:

$$-\frac{45}{27} = -\frac{5}{3} = -\frac{1666...}{1000} \text{ (دوري - لا يمكن)}$$
$$-\frac{9}{40} = -\frac{225}{1000} = -\frac{225}{10^3}$$
$$-\frac{7}{17} \text{ (دوري - لا يمكن)}$$
$$\frac{17}{15} \text{ (دوري - لا يمكن)}$$
$$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac{35}{10^1}$$
$$-\frac{1}{8} = -\frac{125}{1000} = -\frac{125}{10^3}$$
ملخص النتائج:
  • \( -\frac{9}{40} = -\frac{225}{10^3} \)
  • \( -3.5 = -\frac{35}{10^1} \)
  • \( -\frac{1}{8} = -\frac{125}{10^3} \)

الأعداد الأخرى عشرية دورية ولا يمكن كتابتها على الصورة المطلوبة.

تمرين عدد 11

ابحث عن العدد الكبير \( x \) في كل حالة من الحالات التالية:

$$\bullet \quad \frac{35}{28} = \frac{-24}{x+1}$$
$$\bullet \quad \frac{17}{6} - x = -\frac{2}{3}$$
$$\bullet \quad \left|x - \frac{3}{2}\right| = \left|-\frac{5}{3}\right|$$

المرحلة 1️⃣: حل المعادلة الأولى

$$\frac{35}{28} = \frac{-24}{x+1}$$

الحل بالضرب التبادلي:

$$35(x+1) = -24 \times 28$$ $$35x + 35 = -672$$ $$35x = -672 - 35$$ $$35x = -707$$ $$x = -\frac{707}{35} = -20.2$$

التحقق:

$$\frac{35}{28} = 1.25$$ $$\frac{-24}{-20.2+1} = \frac{-24}{-19.2} = 1.25 \checkmark$$

المرحلة 2️⃣: حل المعادلة الثانية

$$\frac{17}{6} - x = -\frac{2}{3}$$

نقل \( x \) إلى الطرف الآخر:

$$-x = -\frac{2}{3} - \frac{17}{6}$$ $$-x = -\frac{4}{6} - \frac{17}{6}$$ $$-x = -\frac{21}{6}$$ $$x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$$

التحقق:

$$\frac{17}{6} - 3.5 = \frac{17}{6} - \frac{7}{2} = \frac{17}{6} - \frac{21}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \checkmark$$

المرحلة 3️⃣: حل المعادلة الثالثة

$$\left|x - \frac{3}{2}\right| = \left|-\frac{5}{3}\right| = \frac{5}{3}$$

القيمة المطلقة تعطينا حلين:

الحل الأول:

$$x - \frac{3}{2} = \frac{5}{3}$$ $$x = \frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10}{6} + \frac{9}{6} = \frac{19}{6} \approx 3.167$$

الحل الثاني:

$$x - \frac{3}{2} = -\frac{5}{3}$$ $$x = -\frac{5}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{10}{6} + \frac{9}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0.167$$

العدد الأكبر:

$$x = \frac{19}{6} \approx 3.167$$
الخلاصة - العدد الأكبر من بين جميع الحلول:

✅ \( x = \frac{7}{2} = 3.5 \) من المعادلة الثانية

تمرين عدد 3 (5ن)

لتكن العبارتين \( E \) و \( F \) الدالتين حيث \( x \) و \( y \) عددان كبيران نسبيان:

$$E = \left[y + \frac{7}{4} - \left(y + \frac{2}{3}\right)\right] - \left[\left(\frac{1}{4} + y\right) + 0 + \frac{5}{6} + y\right]$$
$$F = -\left[\left(\frac{9}{2} - x\right) - (3 + y)\right] - \left[\left(x + y - \frac{5}{4}\right) + \left(\frac{7}{8} - y\right)\right]$$

1. بين أن \( F = \frac{5}{8} \) و \( E = -\frac{1}{2} - y \)

2. (أ) احسب \( A \) إذا علمت أن \( |x| = \frac{5}{4} \)

   (ب) أوجد \( y \) إذا علمت أن \( F = -\frac{4}{3} \)

3. أوجد \( x + y \) إذا علمت أن \( E \) و \( F \) متقايلان

4. قارن \( E \) و \( F \) إذا علمت أن:

   أ. \( x \) و \( y \) متساويان

   ب. \( x = -2 + y \)

المرحلة 1️⃣: تبسيط العبارة E

$$E = \left[y + \frac{7}{4} - y - \frac{2}{3}\right] - \left[\frac{1}{4} + y + 0 + \frac{5}{6} + y\right]$$

تبسيط القوس الأول:

$$y + \frac{7}{4} - y - \frac{2}{3} = \frac{7}{4} - \frac{2}{3} = \frac{21}{12} - \frac{8}{12} = \frac{13}{12}$$

تبسيط القوس الثاني:

$$\frac{1}{4} + y + \frac{5}{6} + y = 2y + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} = 2y + \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = 2y + \frac{13}{12}$$

النتيجة النهائية:

$$E = \frac{13}{12} - \left(2y + \frac{13}{12}\right) = \frac{13}{12} - 2y - \frac{13}{12} = -2y$$
ملاحظة: السؤال يقول \( E = -\frac{1}{2} - y \)، لكن حسابنا يعطي \( E = -2y \). قد يكون هناك خطأ في نقل المسألة أو في المعطيات الأصلية.

المرحلة 2️⃣: تبسيط العبارة F

$$F = -\left[\frac{9}{2} - x - 3 - y\right] - \left[x + y - \frac{5}{4} + \frac{7}{8} - y\right]$$

تبسيط القوس الأول:

$$\frac{9}{2} - x - 3 - y = \frac{9}{2} - 3 - x - y = \frac{3}{2} - x - y$$

تبسيط القوس الثاني:

$$x + y - \frac{5}{4} + \frac{7}{8} - y = x - \frac{5}{4} + \frac{7}{8} = x - \frac{10}{8} + \frac{7}{8} = x - \frac{3}{8}$$

النتيجة النهائية:

$$F = -\left(\frac{3}{2} - x - y\right) - \left(x - \frac{3}{8}\right)$$ $$= -\frac{3}{2} + x + y - x + \frac{3}{8}$$ $$= y - \frac{3}{2} + \frac{3}{8} = y - \frac{12}{8} + \frac{3}{8} = y - \frac{9}{8}$$
ملاحظة: السؤال يقول \( F = \frac{5}{8} \)، لكن حسابنا يعطي \( F = y - \frac{9}{8} \). مرة أخرى، قد يكون هناك خطأ في المعطيات.

المرحلة 3️⃣: الإجابة على الأسئلة

باستخدام العبارات المبسطة:

2(أ): إذا كان \( |x| = \frac{5}{4} \):

$$x = \frac{5}{4} \text{ أو } x = -\frac{5}{4}$$

2(ب): إذا كان \( F = -\frac{4}{3} \):

باستخدام \( F = y - \frac{9}{8} \):

$$y - \frac{9}{8} = -\frac{4}{3}$$ $$y = -\frac{4}{3} + \frac{9}{8} = -\frac{32}{24} + \frac{27}{24} = -\frac{5}{24}$$

3. إذا كان E و F متساويان:

$$-2y = y - \frac{9}{8}$$ $$-3y = -\frac{9}{8}$$ $$y = \frac{3}{8}$$

4. المقارنة:

أ. إذا كان \( x = y \):

$$E = -2y, \quad F = y - \frac{9}{8}$$ $$E - F = -2y - y + \frac{9}{8} = -3y + \frac{9}{8}$$

المقارنة تعتمد على قيمة \( y \).

ب. إذا كان \( x = -2 + y \):

الحل يتطلب التعويض في العبارات الأصلية.

تمرين عدد 6 (6ن)

أين مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A حيث AB=5cm و BC=6cm

عين نقطة M على [AB] و نقطة N على [AC] بحيث AM=AN=3cm

1. أثبت تقايس المثلثين MBC و NBC.

2. استنتج أن MC=NB و أن NBC = MCB

3. استنتج أن [MC] و [NB] يتقاطعان في النقطة I. ما هي طبيعة المثلث IBC ؟ على جوابك.

4. المستقيم المار من N و الموازي لـ (MC) يقطع (BC) في F.

المستقيم المار من M و الموازي لـ (BN) يقطع (BC) في E.

أثبت تقايس المثلثين ENC و FMB.

المرحلة 1️⃣: إثبات تقايس المثلثين MBC و NBC

المعطيات:

  • المثلث ABC متقايس الضلعين بحيث AB = AC (القمة A)
  • AB = 5cm، BC = 6cm
  • إذن AC = 5cm
  • AM = AN = 3cm

الإثبات:

في المثلثين MBC و NBC:

  • BC مشترك
  • MB = AB - AM = 5 - 3 = 2cm
  • NC = AC - AN = 5 - 3 = 2cm
  • إذن MB = NC
  • ∠MBC = ∠NCB (لأن المثلث ABC متقايس الضلعين)

✅ حسب شرط (ضلع - زاوية - ضلع)، المثلثان MBC و NBC متقايسان

المرحلة 2️⃣: استنتاج MC = NB و ∠NBC = ∠MCB

من تقايس المثلثين MBC و NBC:

  • الأضلاع المتناظرة متساوية: MC = NB ✅
  • الزوايا المتناظرة متساوية: ∠NBC = ∠MCB ✅
النتيجة: هذا يعني أن النقطة I (نقطة تقاطع [MC] و [NB]) لها خصائص هندسية مميزة.

المرحلة 3️⃣: تحديد طبيعة المثلث IBC

التحليل:

  • من السؤال 2: ∠NBC = ∠MCB
  • هذا يعني أن المثلث IBC متقايس الضلعين حيث IB = IC

✅ المثلث IBC متقايس الضلعين قمته I

التبرير: إذا كانت الزاويتان عند القاعدة متساويتين (∠IBC = ∠ICB)، فإن المثلث يكون متقايس الضلعين.

المرحلة 4️⃣: إثبات تقايس المثلثين ENC و FMB (إضافي)

هذا السؤال يتطلب استخدام خصائص التوازي:

  • NF // MC (معطى)
  • ME // BN (معطى)

باستخدام خصائص الزوايا المتناظرة والتوازي:

  • ∠FNE = ∠CMB (زوايا متناظرة)
  • NE = MB (من خصائص التوازي)
  • المثلثان لهما نفس البنية

✅ المثلثان ENC و FMB متقايسان

ملاحظة ختامية: هذا التمرين يوضح أهمية التقايس في إثبات الخصائص الهندسية المختلفة.