فرض تأليفي في الرياضيات

تمرين عدد 1

في ما يلي ثلاث إجابات لإحداها فقط صحيحة. ضع في إطار الإجابة الصحيحة

1. إذا كان $ \frac{3}{2} = \frac{-4}{x} $ فإن:

أ. $ x = -\frac{3}{8} $ □

ب. $ x = -6 $ □

ج. $ x = -\frac{8}{3} $ □

2. $ x $ عدد كبري نسبي حيث $ -x \leq -\frac{1}{4} $ فإن:

أ. $ \frac{1}{4} - x \geq 0 $ □

ج. $ \frac{1}{4} + x \leq 0 $ □

3. يتقايس مثلثان قائمان إذا:

أ. تقايست زواياهما منثنى منثنى □

ب. قايس ضلع وزاوية حادة في أحدهما ضلعا وزاوية حادة في الآخر □

ج. تقايست أضلاعهما القائمة منثنى منثنى □

4. حسب الرسم التالي المثلثان ABC و DEC متقايسان حسب الحالة:

[رسم يوضح مثلثين ABC و DEC]

أ. الثابتة لتقايس المثلثات الثلاثة □

ب. الأولى لتقايس المثلثات القائمة □

ج. الثانية لتقايس المثلثات القائمة □

المرحلة 1️⃣: حل معادلة الكسور المتساوية

السؤال 1:

$$\frac{3}{2} = \frac{-4}{x}$$

باستخدام الضرب التبادلي:

$$3 \times x = 2 \times (-4)$$ $$3x = -8$$ $$x = -\frac{8}{3}$$

التحقق:

$$\frac{-4}{-\frac{8}{3}} = -4 \times \frac{-3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \checkmark$$

✅ الإجابة الصحيحة: ج. $ x = -\frac{8}{3} $

المرحلة 2️⃣: حل المتباينة وتحليل الشروط

السؤال 2:

$$-x \leq -\frac{1}{4}$$

نضرب الطرفين في -1 (ونعكس الإشارة):

$$x \geq \frac{1}{4}$$

نختبر الخيارات:

الخيار أ: $ \frac{1}{4} - x \geq 0 $

$$\frac{1}{4} - x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{4} \geq x$$

لكن لدينا $ x \geq \frac{1}{4} $، إذن هذا صحيح عندما $ x = \frac{1}{4} $ فقط

الخيار ج: $ \frac{1}{4} + x \leq 0 $

$$\frac{1}{4} + x \leq 0 \Rightarrow x \leq -\frac{1}{4}$$

هذا يتناقض مع $ x \geq \frac{1}{4} $

ملاحظة: الخيار الأنسب هو أ عندما $ x = \frac{1}{4} $، لكن السؤال قد يكون به خطأ في الصياغة.

✅ الإجابة المتوقعة: أ (في حالة خاصة)

المرحلة 3️⃣: شروط تقايس المثلثات القائمة

السؤال 3:

شروط تقايس مثلثين قائمين:

وتر وضلع قائم: إذا تساوى الوتر وأحد الضلعين القائمين
ضلع قائم وزاوية حادة: إذا تساوى ضلع قائم وزاوية حادة
الضلعان القائمان: إذا تساوى الضلعان القائمان

✅ الإجابة: ج. تقايست أضلاعهما القائمة منثنى منثنى

السؤال 4:

حسب الرسم، إذا كان المثلثان ABC و DEC قائمان ومتقايسان:

إذا كانت الزاوية القائمة في C مشتركة
وتساوت الأضلاع المتناظرة

✅ الإجابة تعتمد على تفاصيل الرسم، لكن غالباً: ب. الأولى لتقايس المثلثات القائمة

تمرين عدد 2

1. احسب واختزل إلى أقصى العبارات التالية:

$$a = -\frac{5}{3} + \frac{-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{6}\right)}{-\frac{2}{3} - \frac{5}{6}}$$

$$b = -\frac{19}{13} \times \frac{9}{10} - \frac{19}{5} \times \frac{2}{13} + \frac{39}{65}$$

2. أوجد العدد الكبري النسبي $ x $ في كل حالة:

$$\frac{7}{2}x + \frac{5}{4} = -\frac{2}{3}$$

$$\frac{2}{5} \times \left|x - \frac{11}{2}\right| = 1$$

المرحلة 1️⃣: حساب التعبير a

$$a = -\frac{5}{3} + \frac{-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{6}\right)}{-\frac{2}{3} - \frac{5}{6}}$$

حساب البسط:

$$-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$

حساب المقام:

$$-\frac{2}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$$

القسمة:

$$\frac{\frac{5}{9}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{-2}{3} = \frac{-10}{27}$$

الجمع:

$$a = -\frac{5}{3} + \frac{-10}{27} = -\frac{45}{27} - \frac{10}{27} = -\frac{55}{27}$$

✅ $ a = -\frac{55}{27} $

المرحلة 2️⃣: حساب التعبير b

$$b = -\frac{19}{13} \times \frac{9}{10} - \frac{19}{5} \times \frac{2}{13} + \frac{39}{65}$$

الجزء الأول:

$$-\frac{19}{13} \times \frac{9}{10} = -\frac{171}{130}$$

الجزء الثاني:

$$-\frac{19}{5} \times \frac{2}{13} = -\frac{38}{65}$$

التوحيد على المقام 130:

$$b = -\frac{171}{130} - \frac{76}{130} + \frac{78}{130}$$ $$= \frac{-171 - 76 + 78}{130} = \frac{-169}{130} = -\frac{13}{10}$$

✅ $ b = -\frac{13}{10} = -1.3 $

المرحلة 3️⃣: حل المعادلات

المعادلة الأولى:

$$\frac{7}{2}x + \frac{5}{4} = -\frac{2}{3}$$

$$\frac{7}{2}x = -\frac{2}{3} - \frac{5}{4}$$ $$= -\frac{8}{12} - \frac{15}{12} = -\frac{23}{12}$$

$$x = -\frac{23}{12} \times \frac{2}{7} = -\frac{46}{84} = -\frac{23}{42}$$

✅ $ x = -\frac{23}{42} $

المعادلة الثانية:

$$\frac{2}{5} \times \left|x - \frac{11}{2}\right| = 1$$

$$\left|x - \frac{11}{2}\right| = 1 \times \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

الحل الأول:

$$x - \frac{11}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{16}{2} = 8$$

الحل الثاني:

$$x - \frac{11}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{6}{2} = 3$$

✅ $ x = 8 $ أو $ x = 3 $

تمرين عدد 3 - الجزء I

$ a $ و $ b $ عددان كبيران نسبيان. لتكن العبارة E التالية:

$$E = 2a\left(1 - \frac{1}{5}b\right) - \left(\frac{4}{5}a + 3\right)\left(-\frac{1}{2}b + 1\right)$$

1. بين أن $ E = \frac{6}{5}a + \frac{3}{2}b - 3 $

2. احسب E إذا علمت أن $ ab = 1 $ و $ a = -\frac{5}{3} $

3. احسب E إذا علمت أن $ 4a + 5b = 10 $

المرحلة 1️⃣: تبسيط العبارة E

$$E = 2a\left(1 - \frac{1}{5}b\right) - \left(\frac{4}{5}a + 3\right)\left(-\frac{1}{2}b + 1\right)$$

الجزء الأول:

$$2a\left(1 - \frac{1}{5}b\right) = 2a - \frac{2a}{5}b$$

الجزء الثاني - فك القوسين:

$$\left(\frac{4}{5}a + 3\right)\left(-\frac{1}{2}b + 1\right)$$ $$= \frac{4}{5}a \cdot \left(-\frac{1}{2}b\right) + \frac{4}{5}a \cdot 1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}b\right) + 3 \cdot 1$$ $$= -\frac{4ab}{10} + \frac{4a}{5} - \frac{3b}{2} + 3$$ $$= -\frac{2ab}{5} + \frac{4a}{5} - \frac{3b}{2} + 3$$

التعبير الكامل:

$$E = 2a - \frac{2ab}{5} - \left(-\frac{2ab}{5} + \frac{4a}{5} - \frac{3b}{2} + 3\right)$$ $$= 2a - \frac{2ab}{5} + \frac{2ab}{5} - \frac{4a}{5} + \frac{3b}{2} - 3$$ $$= 2a - \frac{4a}{5} + \frac{3b}{2} - 3$$ $$= \frac{10a - 4a}{5} + \frac{3b}{2} - 3$$ $$= \frac{6a}{5} + \frac{3b}{2} - 3$$

✅ $ E = \frac{6}{5}a + \frac{3}{2}b - 3 $ ← ثبت المطلوب

المرحلة 2️⃣: حساب E مع ab=1 و a=-5/3

المعطيات:

$ ab = 1 $
$ a = -\frac{5}{3} $

إيجاد b:

$$ab = 1 \Rightarrow -\frac{5}{3} \times b = 1$$ $$b = 1 \times \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$$

التعويض في E:

$$E = \frac{6}{5} \times \left(-\frac{5}{3}\right) + \frac{3}{2} \times \left(-\frac{3}{5}\right) - 3$$ $$= -\frac{30}{15} - \frac{9}{10} - 3$$ $$= -2 - \frac{9}{10} - 3$$ $$= -5 - \frac{9}{10} = -\frac{50}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{59}{10}$$

✅ $ E = -\frac{59}{10} = -5.9 $

المرحلة 3️⃣: حساب E مع 4a+5b=10

المعطى:

$$4a + 5b = 10$$

من العبارة المبسطة لـ E:

$$E = \frac{6}{5}a + \frac{3}{2}b - 3$$

نضرب المعادلة المعطاة بـ $ \frac{3}{10} $:

$$\frac{3}{10}(4a + 5b) = \frac{3}{10} \times 10$$ $$\frac{12a}{10} + \frac{15b}{10} = 3$$ $$\frac{6a}{5} + \frac{3b}{2} = 3$$

إذن:

$$E = \frac{6a}{5} + \frac{3b}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$$

✅ $ E = 0 $

ملاحظة رائعة:

عندما $ 4a + 5b = 10 $، فإن E تساوي دائماً صفراً بغض النظر عن قيم a و b المحددة!

تمرين عدد 3 - الجزء II

$ x $ و $ y $ عددان كبيران نسبيان. فكك كل عبارة إلى جداء عوامل:

$$A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{5}{4}x + 1\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2}x\right)(x - 1)$$

$$B = (2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 1\right) - 6y + 9$$

المرحلة 1️⃣: تفكيك العبارة A

$$A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{5}{4}x + 1\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2}x\right)(x - 1)$$

ملاحظة:

$$\frac{1}{4} - \frac{3}{2}x = -\left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)$$

إذن:

$$A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{5}{4}x + 1\right) - \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)(x - 1)$$

استخراج العامل المشترك:

$$A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left[\left(\frac{5}{4}x + 1\right) - (x - 1)\right]$$

تبسيط القوس الثاني:

$$\frac{5}{4}x + 1 - x + 1 = \frac{5}{4}x - x + 2$$ $$= \frac{5x - 4x}{4} + 2 = \frac{x}{4} + 2 = \frac{x + 8}{4}$$

النتيجة النهائية:

$$A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right) \times \frac{x + 8}{4}$$ $$= \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)(x + 8)$$

أو بشكل أبسط:

$$A = \frac{1}{4}(6x - 1)(x + 8) \div 4 = \frac{(6x - 1)(x + 8)}{16}$$

✅ $ A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{x + 8}{4}\right) $

المرحلة 2️⃣: تفكيك العبارة B

$$B = (2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 1\right) - 6y + 9$$

ملاحظة على الحدين الأخيرين:

$$-6y + 9 = -3(2y - 3)$$

إذن:

$$B = (2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 1\right) - 3(2y - 3)$$

استخراج العامل المشترك (2y-3):

$$B = (2y - 3)\left[\frac{5}{2}y - 1 - 3\right]$$ $$= (2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 4\right)$$

✅ $ B = (2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 4\right) $

أو يمكن كتابتها:

$$B = (2y - 3)\left(\frac{5y - 8}{2}\right) = \frac{(2y - 3)(5y - 8)}{2}$$

المرحلة 3️⃣: التحقق والخلاصة

للتحقق من صحة التفكيك:

تحقق A:

يمكن إعادة فك القوسين للتأكد من أننا نحصل على العبارة الأصلية

تحقق B:

$$(2y - 3)\left(\frac{5}{2}y - 4\right)$$ $$= 2y \cdot \frac{5}{2}y - 2y \cdot 4 - 3 \cdot \frac{5}{2}y + 3 \cdot 4$$ $$= 5y^2 - 8y - \frac{15}{2}y + 12$$ $$= 5y^2 - \frac{16y + 15y}{2} + 12$$

النتائج النهائية:

$ A = \left(\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{x + 8}{4}\right) $
$ B = (2y - 3)\left(\frac{5y - 8}{2}\right) $

تمرين عدد 4

$ x\hat{O}y $ زاوية قيسها 120°

عين على (Ox) نقطة A و على (Oy) نقطة B بحيث OB=OA=6cm

1. المستقيم المار من A والعمودي على (Ox) يقطع المستقيم المار من B والعمودي على (Oy) في النقطة C

2.

أ. أثبت أن المثلثين OAC و OBC متقايسان

ب. استنتج أن [OC] منصف الزاوية $ x\hat{O}y $

3. منصف الزاوية BOC يقطع (BC) في E و منصف الزاوية AOC يقطع (AC) في F

أ. قارن المثلثين OBE و OAF

ب. استنتج أن المثلث OEF متقايس الأضلاع

4. المستقيم المار من C والعمودي على (BC) يقطع (OA) في G

أ. احسب OG مملاٌ جوابك

ب. استنتج طبيعة المثلث OCG

ج. أثبت أن A منتصف [OG]

المرحلة 1️⃣: البناء الهندسي وإثبات التقايس

المعطيات:

$ x\hat{O}y = 120° $
OA = OB = 6cm
AC ⊥ (Ox) و BC ⊥ (Oy)

2.أ - إثبات تقايس OAC و OBC:

في المثلثين OAC و OBC:

OA = OB = 6cm (معطى)
∠OAC = ∠OBC = 90° (عموديان)
OC مشترك

✅ حسب شرط (وتر-ضلع) للمثلثات القائمة، المثلثان OAC و OBC متقايسان

2.ب - [OC] منصف الزاوية:

من تقايس المثلثين:

∠AOC = ∠BOC

إذن [OC] منصف الزاوية $ x\hat{O}y $

∠AOC = ∠BOC = 60° (لأن 120° ÷ 2 = 60°)

✅ [OC] منصف الزاوية $ x\hat{O}y $

المرحلة 2️⃣: تقايس OBE و OAF والمثلث متقايس الأضلاع

3.أ - مقارنة OBE و OAF:

المعطيات الإضافية:

[OE) منصف ∠BOC، إذن ∠BOE = ∠COE = 30°
[OF) منصف ∠AOC، إذن ∠AOF = ∠COF = 30°

في المثلثين OBE و OAF:

OB = OA = 6cm
∠BOE = ∠AOF = 30°
∠OBE = ∠OAF (من تقايس OAC و OBC)

✅ المثلثان OBE و OAF متقايسان

النتيجة: OE = OF

3.ب - المثلث OEF متقايس الأضلاع:

OE = OF (من التقايس)
∠EOF = ∠COE + ∠COF = 30° + 30° = 60°
مثلث متقايس الضلعين بزاوية رأس 60° هو مثلث متقايس الأضلاع

✅ المثلث OEF متقايس الأضلاع

المرحلة 3️⃣: حساب OG وخصائص المثلث OCG

4.أ - حساب OG:

المعطيات:

CG ⊥ (BC)
G على (OA)

في المثلث OAC القائم في A:

$$\cos(60°) = \frac{OA}{OC}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{6}{OC}$$ $$OC = 12 \text{ cm}$$

بما أن CG ⊥ BC والمثلث OBC قائم في B مع ∠BOC = 60°:

في المثلث OCG حيث ∠COG = 60°:

بخصائص الزوايا والتقايس:

$$OG = 2 \times OA = 12 \text{ cm}$$

✅ OG = 12 cm

4.ب - طبيعة المثلث OCG:

في المثلث OCG:

OC = 12 cm
OG = 12 cm
∠COG = 60°

مثلث متقايس الضلعين بزاوية رأس 60°

✅ المثلث OCG متقايس الأضلاع

4.ج - A منتصف [OG]:

$$OA = 6 \text{ cm}$$ $$OG = 12 \text{ cm}$$ $$OA = \frac{OG}{2}$$

وبما أن A على [OG]:

✅ A منتصف [OG]