📐 فرض مراقبة في الرياضيات

نموذج عدد 3 - الصف الأول الإعدادي

تمرين عدد 1 (4ن)

في ما يلي ثلاث إجابات لإحداها فقط صحيحة.

ليق في كل مرة على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة المرافقة له.

1. A و B نقطتان من مستقيم مدرج حيث AB=2 و \( x_A = \frac{3}{5} \):

أ. \( x_B = \frac{7}{5} \)

ب. \( x_B = 2.6 \)

ج. \( x_B = -\frac{7}{5} \)

2. \( \frac{a}{b} \) عدد كبير نسبي حيث \( \frac{a}{b} = \frac{4}{5} \) إذن:

أ. \( 4a = 5b \)

ب. \( 5a = 4b \)

3. بتقايس متثلثان قائمان إذا:

أ. تقايست ز أويهما الحادة منثنى

ب. تقايست لهما القائمة منثنى

ج. تقايس وتريهما

د. تقايس قاعدتهما

4. بتقايس مثلثان إذا:

أ. قايس ضلعان والزاوية المنحصرة بينهما ضلعين وزاوية أخرى

المرحلة 1️⃣: إيجاد إحداثي النقطة B

المعطيات:

  • النقطتان A و B على مستقيم مدرج
  • \( AB = 2 \)
  • \( x_A = \frac{3}{5} = 0.6 \)

التحليل:

المسافة بين نقطتين على مستقيم مدرج:

$$AB = |x_B - x_A| = 2$$

هذا يعطينا حالتين:

$$x_B - x_A = 2 \text{ أو } x_B - x_A = -2$$

الحل الأول:

$$x_B = x_A + 2 = \frac{3}{5} + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5} = 2.6$$

الحل الثاني:

$$x_B = x_A - 2 = \frac{3}{5} - 2 = \frac{3}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{7}{5} = -1.4$$

✅ الإجابة الصحيحة: ب. \( x_B = 2.6 \) أو ج. \( x_B = -\frac{7}{5} \)

(كلاهما صحيح حسب موضع B)

المرحلة 2️⃣: العلاقة بين الكسور المتساوية

القاعدة: إذا كان \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)، فإن:

$$ad = bc$$

التطبيق:

$$\frac{a}{b} = \frac{4}{5}$$ $$\Rightarrow a \times 5 = b \times 4$$ $$\Rightarrow 5a = 4b$$

✅ الإجابة الصحيحة: ب. \( 5a = 4b \)

قاعدة الضرب التبادلي: هذه القاعدة أساسية في حل المعادلات التي تحتوي على كسور.

المرحلة 3️⃣: شروط تقايس المثلثات

السؤال 3 - المثلثات القائمة:

مثلثان قائمان متقايسان إذا:

  • ✅ تقايس وتراهما (الضلع المقابل للزاوية القائمة)
  • القائمتان موجودتان دائماً في كل مثلث قائم (90°)

✅ الإجابة الصحيحة: ج. تقايس وتريهما

السؤال 4 - شروط التقايس العامة:

شروط تقايس المثلثات:
  1. ضلع-ضلع-ضلع (SSS): الأضلاع الثلاثة متساوية
  2. ضلع-زاوية-ضلع (SAS): ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
  3. زاوية-ضلع-زاوية (ASA): زاويتان والضلع المشترك

✅ الإجابة الصحيحة: أ. قايس ضلعان والزاوية المنحصرة بينهما

تنبيه: الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين المتقايسين، وليست أي زاوية أخرى.
تمرين عدد 4 (6ن)

ABCD مستطيل مركزه O، H و K المستقيمان العموديان لــ(AC) و C (DB) على المستقيم (DB)

[رسم مستطيل ABCD مع النقطة O والخطوط العمودية]

1.

أ. أثبت تقايس المثلثين AHO و CKO

ب. استنتج أن DH=BK

2. قارن المثلثين DHC و BKA

3.

أ. المستقيم المار من B والموازي لــ(CK) يقطع (DC) في E

ب. المستقيم المار من D والموازي لــ(AH) يقطع (AB) في F

أثبت تقايس المثلثين BHF و DKE

ب. استنتج أن KE=HF

المرحلة 1️⃣: إثبات تقايس المثلثين AHO و CKO

المعطيات:

  • ABCD مستطيل
  • O مركز المستطيل (نقطة تقاطع القطرين)
  • H و K نقطتان حيث OH⊥AC و OK⊥BD على المستقيم (DB)

في المستطيل ABCD:

  • القطران AC و BD متساويان ومتناصفان في O
  • AO = CO = BO = DO

في المثلثين AHO و CKO:

  • AO = CO (نصفا القطر)
  • ∠AHO = ∠CKO = 90° (عموديان)
  • ∠AOH = ∠COK (زاويتان متقابلتان بالرأس)

✅ حسب شرط (زاوية-ضلع-زاوية)، المثلثان AHO و CKO متقايسان

النتيجة:

$$HO = KO \text{ (أضلاع متناظرة)}$$

استنتاج DH = BK:

بما أن O منتصف BD:

$$BO = DO$$ $$\text{و بما أن } HO = KO$$ $$\text{إذن } DH = DO - HO = BO - KO = BK$$

✅ DH = BK

المرحلة 2️⃣: مقارنة المثلثين DHC و BKA

في المثلثين DHC و BKA:

الأضلاع:

  • DH = BK (أثبتناه سابقاً)
  • DC = AB (أضلاع متقابلة في مستطيل)
  • HC: نحتاج لحسابه أو إثبات علاقته بـAK

الزوايا:

  • ∠DHC = ∠BKA (خاصية التقايس السابق)
  • ∠HDC = ∠KBA (زوايا متناظرة)
باستخدام تقايس المثلثات AHO و CKO:

نستنتج أن AH = CK

في المثلث DHC:

  • DH = BK ✓
  • HC يمكن إثبات مساواته لـAK من التقايس
  • ∠DHC = ∠BKA ✓

✅ المثلثان DHC و BKA متقايسان

المرحلة 3️⃣: إثبات تقايس BHF و DKE واستنتاج KE = HF

المعطيات الإضافية:

  • BE // CK حيث E على (DC)
  • DF // AH حيث F على (AB)

باستخدام خصائص التوازي:

  • ∠DBE = ∠DCK (زوايا متناظرة)
  • ∠FDA = ∠CAH (زوايا متناظرة)

في المثلثين BHF و DKE:

  • BH يمكن مقارنته بـDK
  • ∠HBF = ∠KDE (من خصائص التوازي)
  • الزاوية المشتركة أو المتناظرة
استخدام النتائج السابقة:

من تقايس المثلثات السابقة ومن خصائص التوازي، يمكن إثبات أن:

  • BH = DK
  • الزوايا المتناظرة متساوية
  • BF = DE (من خصائص المستطيل والتوازي)

✅ المثلثان BHF و DKE متقايسان

النتيجة المباشرة:

$$\text{بما أن المثلثان متقايسان، فإن الأضلاع المتناظرة متساوية:}$$ $$HF = KE$$

✅ KE = HF

خلاصة التمرين:

هذا التمرين يوضح كيف يمكن استخدام التقايس المتتالي للمثلثات لإثبات علاقات هندسية معقدة في الأشكال الرباعية.