فرض تأليفي عدد 1

إصلاح التمرين رقم 1

1. أ- رسم النقاط: يتم رسم النقاط في المعين: $$A(3, 4)$$، $$B(3, -2)$$، $$C(-3, -2)$$. ب- نحدد منتصف القطعة $$[AC]$$:
   1. إحداثيات المنتصف $$M$$ هي: $$M \left( \frac{3 + (-3)}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right)$$.
   2. $$M \left( \frac{0}{2}, \frac{2}{2} \right)$$.
   3. إذن: $$M(0, 1)$$.
   4. بما أن $$M$$ هي منتصف $$[AC]$$، فإن $$A$$ و $$C$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$M(0, 1)$$ (نقطة التناظر المفترضة).
2. أ- نعتبر $$M(0, 1)$$ هي نقطة تناظر $$B(3, -2)$$. بما أن $$M$$ منتصف $$[BD]$$:
   1. $$x_M = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{3 + x_D}{2}$$.
   2. إذن: $$x_D = -3$$.
   3. $$y_M = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-2 + y_D}{2}$$.
   4. $$2 = -2 + y_D$$.
   5. إذن: $$y_D = 4$$.
   6. إحداثيات النقطة $$D$$ هي $$D(-3, 4)$$.
   ب- نبين أن $$(AD) // (BC)$$:
   1. النقطتان $$A(3, 4)$$ و $$D(-3, 4)$$ لهما نفس الترتيب ($$y=4$$)، إذن المستقيم $$(AD)$$ مواز لمحور الفواصل $$(OI)$$.
   2. النقطتان $$B(3, -2)$$ و $$C(-3, -2)$$ لهما نفس الترتيب ($$y=-2$$)، إذن المستقيم $$(BC)$$ مواز لمحور الفواصل $$(OI)$$.
   3. بما أن المستقيمان $$(AD)$$ و $$(BC)$$ يوازيان نفس المستقيم $$(OI)$$، فإنهما متوازيان: $$(AD) // (BC)$$.
3. أ- $$E$$ مناظرة $$D(-3, 4)$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ (محور الفواصل).
   1. التناظر المحوري بالنسبة لمحور الفواصل يغيّر علامة الترتيب: $$E(-3, -4)$$.
   ب- نبين أن $$(BE) // (OI)$$:
   1. إحداثيات $$B(3, -2)$$ و $$E(-3, -4)$$.
   2. ميل المستقيم $$(BE)$$ هو: $$m_{BE} = \frac{-4 - (-2)}{-3 - 3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$.
   3. ميل $$(OI)$$ (محور الفواصل) هو 0. بما أن $$m_{BE} \neq 0$$، فإن $$(BE)$$ ليس موازياً لـ $$(OI)$$.
   4. **ملاحظة:** يوجد خطأ محتمل في نص السؤال. المستقيم $$(DE)$$ (حيث $$D(-3, 4)$$ و $$E(-3, -4)$$) مواز لمحور الأراتيب $$(OJ)$$ لأن لهما نفس الفاصلة ($$x=-3$$).
   ج- استنتاج أن $$BED$$ مثلث قائم في $$E$$:
   1. $$D(-3, 4)$$ و $$E(-3, -4)$$، إذن $$(DE)$$ مستقيم عمودي (مواز لـ $$(OJ)$$).
   2. $$B(3, -2)$$ و $$E(-3, -4)$$، ميل $$(BE)$$ هو $$1/3$$.
   3. بما أن $$(DE)$$ عمودي، ليكون المثلث قائماً في $$E$$ يجب أن يكون $$(BE)$$ أفقياً (موازياً لـ $$(OI)$$)، وهو ما يخالف نتيجة ميل $$1/3$$.
   4. **ملاحظة:** المثلث $$ADE$$ قائم في $$D$$ لأن $$(AD)$$ أفقي و $$(DE)$$ عمودي.
4. أ- $$F$$ المسقط العمودي لـ $$B(3, -2)$$ على $$(OI)$$ (محور الفواصل).
   1. الإسقاط العمودي على محور الفواصل يحافظ على الفاصلة ($$x=3$$) ويجعل الترتيب صفراً ($$y=0$$): $$F(3, 0)$$.
   ب- نبيّن أن $$AFHE$$ مستطيل (تم تعديل ترتيب الرؤوس لـ $$AFHE$$ لتناسب المستطيل):
   1. كما بيّنا سابقاً، $$(AD)$$ مواز لـ $$(OI)$$ ($$y=4$$) ولا يقطعه إلا إذا كان $$y=0$$ (خطأ في السؤال). نفترض أن النقطة $$H$$ هي النقطة اللازمة لتكوين المستطيل $$AFHE$$، والتي يجب أن تكون على $$(OI)$$.
   2. لنفترض أن $$AFHE$$ مستطيل، يجب أن يكون $$\vec{AF} = \vec{HE}$$ (أي $$AFHE$$ متوازي أضلاع).
   3. $$\vec{AF} = (x_F - x_A, y_F - y_A) = (3 - 3, 0 - 4) = (0, -4)$$.
   4. $$\vec{HE} = (x_E - x_H, y_E - y_H) = (-3 - x_H, -4 - y_H)$$.
   5. بالمساواة: $$0 = -3 - x_H \Rightarrow x_H = -3$$ و $$-4 = -4 - y_H \Rightarrow y_H = 0$$.
   6. إذن $$H(-3, 0)$$. هذه النقطة تقع على $$(OI)$$ ($$y=0$$). وهي أيضاً نقطة تقاطع $$(OI)$$ مع المستقيم الذي فاصلته $$x=-3$$ (المستقيم $$(CD)$$ أو $$(DE)$$).
   7. لدينا: $$(AF)$$ عمودي ($$x=3$$) و $$(FH)$$ أفقي ($$y=0$$). إذن $$(AF) \perp (FH)$$.
   8. لدينا $$\vec{FA} = (0, 4)$$ و $$\vec{EH} = (0, 4)$$. إذن $$\vec{FA} = \vec{EH}$$. $$AFHE$$ متوازي أضلاع.
   9. بما أن متوازي الأضلاع $$AFHE$$ به زاوية قائمة في $$F$$، فهو مستطيل.

إصلاح التمرين رقم 2

1. حساب $$a$$ و $$b$$:
   1. $$a = |1 - 13| \times 2 - 2 \times 9$$.
   2. $$a = |-12| \times 2 - 18$$.
   3. $$a = 12 \times 2 - 18$$.
   4. $$a = 24 - 18 = 6$$.
   5. $$b = -8 \times 26 + 25 \times (14 - 6)$$.
   6. $$b = -8 \times 26 + 25 \times 8$$.
   7. نخرج 8 كعامل مشترك: $$b = 8 \times (-26 + 25)$$.
   8. $$b = 8 \times (-1) = -8$$.
   9. نبيّن أن $$a - b = 14$$:
   10. $$a - b = 6 - (-8) = 6 + 8$$.
   11. إذن: $$a - b = 14$$.
2. نبيّن أن $$3-6$$ و $$17^0$$ متقابلان:
   1. نحسب القيمة الأولى: $$3 - 6 = -3$$.
   2. نحسب القيمة الثانية: $$17^0 = 1$$.
   3. بما أن $$-3 + 1 = -2 \neq 0$$، فإن العددين ليسا متقابلين. **(ملاحظة: يوجد خطأ في نص السؤال، فالعددين ليسا متقابلين)**
   4. **حل بديل (افتراض وجود خطأ):** لو كان السؤال يقصد $$a-b$$ و $$b-a$$:
   5. $$a - b = 14$$.
   6. $$b - a = -14$$.
   7. بما أن $$14 + (-14) = 0$$، فإن العددين $$a-b$$ و $$b-a$$ متقابلان.
3. نبيّن أن $$|P| = -P$$:
   1. العبارة هي: $$P = (a-b) \times (-3) \times b \times (-a)$$.
   2. نعوض بالقيم: $$a - b = 14$$، $$a = 6$$، $$b = -8$$.
   3. $$P = (14) \times (-3) \times (-8) \times (-6)$$.
   4. نحدد علامة الجداء: عدد العوامل السالبة هو 3 (عدد فردي)، إذن $$P$$ عدد سالب ($$P < 0$$).
   5. بما أن $$P$$ سالب، فإن قيمته المطلقة هي مقابله: $$|P| = -P$$.
   6. (القيمة العددية: $$P = -(14 \times 3 \times 8 \times 6) = -2016$$، إذن $$|P| = 2016 = -(-2016) = -P$$).

إصلاح التمرين رقم 3

**ملاحظة حول السؤال:** نفترض أن المستقيم الذي يمر من $$A$$ هو $$(uy)$$ والمستقيم الذي يمر من $$B$$ هو $$(vt)$$ وأن $$\widehat{vBt}=40^{\circ}$$ هي الزاوية التي تصنعها الزاوية $$\widehat{vBA}$$ مع المتممة (أو خطأ في التسمية). سنفترض أن المطلوب هو الزاوية **المقابلة بالتبادل الداخلي** أو **المتطابقة**. سنفترض أن المطلوب هو الزاوية المتطابقة مع الزاوية $$vBt$$.

1. بما أن $$(uv) // (xy)$$ (أو $$(uy) // (vt)$$) والقاطع هو $$(AB)$$ (أو القاطع المرسوم).
2. الزاوية $$\widehat{vBt}$$ والزاوية **المتطابقة** لها (التي تقع في نفس الجهة ونفس الموضع بالنسبة للموازيين والقاطع) هي $$\widehat{uAy}$$ (حسب تسمية النص) أو $$\widehat{yAZ}$$ حسب الرسم.
3. نعتبر أن $$\widehat{yAZ}$$ (الزاوية العلوية اليمنى) و $$\widehat{vBt}$$ (الزاوية السفلية اليمنى) هما زاويتان متطابقتان.
4. بما أن المستقيمين متوازيين، فإن الزاويتين المتطابقتين متقايستان.
5. إذن: $$\widehat{yAZ} = \widehat{vBt} = 40^{\circ}$$.
6. **التعليل:** الزاويتان متطابقتان ناتجة عن مستقيمين متوازيين وقاطع، فهما متقايستان.

إصلاح التمرين رقم 4

1. أ- رسم النقاط: يتم رسم النقاط $$A(3, 2)$$، $$B(2, -1)$$، $$C(-3, -2)$$. ب- نبين أن $$O(0, 0)$$ منتصف $$[AC]$$:
   1. إحداثيات منتصف $$[AC]$$ هي: $$M \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)$$.
   2. $$M \left( \frac{3 + (-3)}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right)$$.
   3. $$M \left( \frac{0}{2}, \frac{0}{2} \right) = (0, 0)$$.
   4. إذن: $$O$$ هو منتصف $$[AC]$$.
2. أ- إنشاء النقطة $$D$$ بحيث $$O$$ منتصف $$[BD]$$: يتم إنشاء النقطة $$D$$ بحيث تكون $$D$$ مناظرة $$B$$ بالنسبة لـ $$O$$. ب- إيجاد إحداثيات النقطة $$D$$:
   1. بما أن $$O$$ منتصف $$[BD]$$: $$x_O = \frac{x_B + x_D}{2}$$ و $$y_O = \frac{y_B + y_D}{2}$$.
   2. $$0 = \frac{2 + x_D}{2} \Rightarrow x_D = -2$$.
   3. $$0 = \frac{-1 + y_D}{2} \Rightarrow y_D = 1$$.
   4. إذن إحداثيات $$D$$ هي $$D(-2, 1)$$.
   5. **التعليل:** $$D$$ هي مناظرة $$B$$ بالنسبة لـ $$O$$ (نقطة الأصل)، وعليه تكون إحداثياتها $$(-x_B, -y_B)$$.
3. أ- نبين أن $$\widehat{DAK} = \widehat{AKB}$$:
   1. لدينا $$O$$ منتصف $$[AC]$$ و $$O$$ منتصف $$[BD]$$، إذن الرباعي $$ABCD$$ متوازي أضلاع.
   2. في متوازي الأضلاع، يكون كل ضلعين متقابلين متوازيين، إذن $$(AD) // (BC)$$.
   3. بما أن $$(AD) // (BC)$$ والمستقيم $$(AB)$$ قاطع لهما، فإن الزاويتين $$\widehat{DAB}$$ و $$\widehat{ABC}$$ متكاملتان (مجموعهما $$180^{\circ}$$).
   4. **ملاحظة حول السؤال:** بما أن $$K$$ هي نقطة تقاطع $$(AD)$$ و $$(BC)$$، فإن النقط $$A, D, K$$ ليست بالضرورة على استقامة واحدة. **(يوجد خطأ في نص السؤال)**.
   5. إذا افترضنا أن المطلوب هو إثبات $$\widehat{DAB} = \widehat{CDA}$$ (زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع)، يكون الإثبات صحيحاً.
   6. إذا افترضنا أن القصد هو إثبات تساوي الزاويتين **المتتاليتين (Alternate Interior Angles)** باستخدام القاطع $$AC$$ والمستقيمين المتوازيين $$(AB) // (DC)$$: $$\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$$.
   7. **سنتبع نص السؤال على أنه خطأ ونثبت التوازي فقط:** بما أن $$(AD) // (BC)$$، فإن الزاويتين المتبادلتين داخلياً $$\widehat{DAB}$$ و $$\widehat{ABC}$$ ليستا متساويتين.

إصلاح التمرين رقم 5

1. 1. الدائرة $$(\mathcal{C}')$$ هي صورة الدائرة $$(\mathcal{C})$$ بتناظر مركزي بالنسبة للنقطة $$I$$.
   2. التناظر المركزي يحافظ على الأشكال والأبعاد، فالدائرة $$(\mathcal{C}')$$ لها نفس شعاع $$(\mathcal{C})$$ (نرمز له بـ $$R$$).
   3. مركزها $$O'$$ هو مناظرة $$O$$ بالنسبة إلى $$I$$، أي أن $$I$$ هي منتصف القطعة $$[OO']$$.
2. 1. أ- يتم تعيين النقطة $$A$$ على الدائرة $$(\mathcal{C})$$ بحيث يكون قيس الزاوية $$\widehat{AOI}=70^{\circ}$$.
   2. ب- يتم إنشاء النقطة $$B$$ بحيث $$I$$ هي منتصف $$[AB]$$.
   3. ج- نبين أن $$B \in (\mathcal{C}')$$:
      • بما أن $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$I$$، و $$O'$$ مناظرة $$O$$ بالنسبة لـ $$I$$، فإن التناظر المركزي يحافظ على المسافة.
      • إذن: $$O'B = OA$$.
      • بما أن $$A \in (\mathcal{C})$$، فإن $$OA = R$$ (الشعاع).
      • وعليه، $$O'B = R$$.
      • بما أن المسافة بين $$B$$ ومركز الدائرة $$(\mathcal{C}')$$ تساوي الشعاع $$R$$، فإن $$B \in (\mathcal{C}')$$.
   4. د- حساب $$\widehat{BOI}$$:
      • لدينا $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$I$$، و $$O'$$ مناظرة $$O$$ بالنسبة لـ $$I$$، إذن الرباعي $$OAO'B$$ متوازي أضلاع (لأن القطرين $$[OO']$$ و $$[AB]$$ يتقاطعان في منتصفهما $$I$$).
      • في متوازي الأضلاع، يكون الضلعان المتقابلان متوازيان: $$(OA) // (O'B)$$.
      • بما أن $$(OA) // (O'B)$$ والقاطع هو $$(OO')$$، فإن الزاويتين $$\widehat{AOI}$$ و $$\widehat{BO'I}$$ متبادلتان داخلياً (متساويتان): $$\widehat{BO'I} = \widehat{AOI} = 70^{\circ}$$.
      • (لا يمكن حساب $$\widehat{BOI}$$ بمعطيات هذا المستوى. **نرجح أن السؤال يقصد $$\widehat{BO'I}$$**).
3. نبين أن $$I$$ منتصف $$[KL]$$:
   1. لدينا $$K$$ نقطة من $$[OO']$$ ومن $$(\mathcal{C})$$. بما أن $$(\mathcal{C})$$ مركزها $$O$$ وشعاعها $$R$$، فإن: $$OK = R$$.
   2. لدينا $$L$$ نقطة من $$[OO']$$ ومن $$(\mathcal{C}')$$. بما أن $$(\mathcal{C}')$$ مركزها $$O'$$ وشعاعها $$R$$، فإن: $$O'L = R$$.
   3. بما أن $$I$$ منتصف $$[OO']$$، فإن: $$OI = IO'$$.
   4. طول القطعة $$[IK]$$ هو: $$IK = OI - OK = OI - R$$.
   5. طول القطعة $$[IL]$$ هو: $$IL = O'I - O'L = O'I - R$$.
   6. بما أن $$OI = O'I$$، فإن $$IK = IL$$.
   7. بما أن $$K, I, L$$ نقاط على استقامة واحدة و $$IK = IL$$، فإن $$I$$ هي منتصف القطعة $$[KL]$$.