قابلية القسمة على \(\text{3}\): مجموع أرقام العدد \(\text{5132800}\) هو \(\text{5} + \text{1} + \text{3} + \text{2} + \text{8} + \text{0} + \text{0} = \text{19}\). بما أن \(\text{19}\) ليس مضاعفاً لـ \(\text{3}\)، فإن العدد \(\text{5132800}\) لا يقبل القسمة على \(\text{3}\).
قابلية القسمة على \(\text{4}\): آخر رقمين هما \(\text{00}\)، و\(\text{00}\) مضاعف لـ \(\text{4}\)، إذن العدد \(\text{5132800}\) يقبل القسمة على \(\text{4}\).
قابلية القسمة على \(\text{25}\): آخر رقمين هما \(\text{00}\)، و\(\text{00}\) مضاعف لـ \(\text{25}\)، إذن العدد \(\text{5132800}\) يقبل القسمة على \(\text{25}\).
الإجابة الصحيحة: (ب) \(\text{4}\) و (ج) \(\text{25}\).
(2) إذا علمت أن \(x = -15\) و \(y = -|\text{20}|\) و \(z = 0\) فإن: (أ) \(x < z < y\) (ب) \(y < x < z\) (ج) \(x < y < z\)
الحل المفصّل
تحديد قيم الأعداد:
لدينا: \(x = -15\)
و \(y = -|\text{20}| = -20\)
و \(z = 0\)
المقارنة والترتيب:
نحن نعلم أن \(-20 < -15 < 0\)
أي \(y < x < z\)
الإجابة الصحيحة: (ب) \(y < x < z\).
(3) إذا علمت أن \(ab = -1\) و \(ac = -7\) فإن \(a(b-c)\) يساوي: (أ) \(\text{-6}\) (ب) \(\text{-8}\) (ج) \(\text{6}\)
الحل المفصّل
العبارة المراد حسابها:\(a(b-c)\)
النشر:\(a(b-c) = ab - ac\)
التعويض:\(ab - ac = (-1) - (-7)\)
التبسيط:\((-1) - (-7) = -1 + 7\)
النتيجة:\(-1 + 7 = 6\)
الإجابة الصحيحة: (ج) \(\text{6}\).
(4) في معيّن متعامد في المستوي \((O, I, J)\) إذا علمت أن \(F(\text{3}; -9)\) و \(E(-\text{3}; -\text{5})\)، فإن \(E\) و \(F\) متناظرتان بالنسبة إلى: (أ) \((CA)\) (ب) \((CB)\) (ج) النقطة \(C\) (د) \(\text{-8}\)
الحل المفصّل
تحديد نقطة التناظر:
إذا كانت النقطتان \(E\) و \(F\) متناظرتين بالنسبة لنقطة ما \(M\)، فإن \(M\) هي منتصف القطعة \([EF]\).
إذن، \(E\) و \(F\) متناظرتان بالنسبة للنقطة \(M(\text{0}; -\text{7})\).
ملاحظة: بما أن الخيارات المتوفرة (أ، ب، ج، د) لا تتضمن النقطة \(M(\text{0}; -\text{7})\)، فإن السؤال قد يحتوي على خطأ مطبعي. النقطة \(M(\text{0}; -\text{7})\) هي نقطة التناظر الصحيحة.
تمرين رقم 2
لتكن العبارة \(E\) حيث \(a\) و \(b\) عددان صحيحان نسبيان: \(E = (a+1)-b-[11-(b-5)]+(11-b)\)
حساب \(B\):\(B = (-21)\times(-3)-4\times(-9)-(-5)\times2\)
عمليات الضرب: \(B = 63 - (-36) - (-10)\)
حذف الأقواس: \(B = 63 + 36 + 10\)
النتيجة: \(B = 109\)
حساب \(M\):\(M = [(-18)\times(-2)+9]\times(-3)\)
ما داخل القوس المعقوف: \(M = [36 + 9]\times(-3)\)
التبسيط: \(M = 45 \times (-3)\)
النتيجة: \(M = -135\)
حساب \(L\):\(L = 4-(-2)\times[6-5\times(1-8)]\)
ما داخل القوس الداخلي: \(L = 4-(-2)\times[6-5\times(-7)]\)
عملية الضرب داخل القوس المعقوف: \(L = 4-(-2)\times[6 - (-35)]\)
التبسيط داخل القوس المعقوف: \(L = 4-(-2)\times[6 + 35]\)
التبسيط: \(L = 4-(-2)\times41\)
عملية الضرب: \(L = 4 - (-82)\)
النتيجة: \(L = 4 + 82 = 86\)
(2) دون إجراء العملية قارن العددين \(D\) و \(C\) حيث: \(D = (-303)\times(-121)\times3\times(-4)\times736\times(-2)\) و \(C = (-303)\times(-41)\times(-2)\times1006\times11\times33\)
الحل المفصّل
مقارنة \(D\):
نعدّ العوامل السالبة في العبارة \(D\): وهي \(-303\)، \(-121\)، \(-4\)، \(-2\).
عدد العوامل السالبة هو \(\text{4}\)، وهو عدد زوجي.
إذن، \(D\) عدد موجب: \(D > 0\).
مقارنة \(C\):
نعدّ العوامل السالبة في العبارة \(C\): وهي \(-303\)، \(-41\)، \(-2\).
عدد العوامل السالبة هو \(\text{3}\)، وهو عدد فردي.
إذن، \(C\) عدد سالب: \(C < 0\).
الخلاصة: بما أن \(D\) عدد موجب و \(C\) عدد سالب، فإن \(D > C\).
(3) (ب) أحسب \(E\) و \(F\) إذا علمت أن \(a = -3\) و \(b = 2\).
الحل المفصّل
حساب \(E\):\(E = -6ab - 22a + 24b\)
التعويض: \(E = -6(-3)(2) - 22(-3) + 24(2)\)
الضرب: \(E = 36 - (-66) + 48\)
الجمع والطرح: \(E = 36 + 66 + 48\)
النتيجة: \(E = 150\)
حساب \(F\):\(F = -a - 2ab - 5b + 8\)
التعويض: \(F = -(-3) - 2(-3)(2) - 5(2) + 8\)
الضرب: \(F = 3 - 2(-6) - 10 + 8\)
الجمع والطرح: \(F = 3 + 12 - 10 + 8\)
النتيجة: \(F = 13\)
(4) أكتب العبارات التالية في صيغة جذاء (تحليل): \(H = -12x-6y-18\), \(I = 12xy-24xyz+36xyt\), \(G = -6x-9y\)
الحل المفصّل
تحليل \(H\): العامل المشترك الأكبر هو \(\text{-6}\).
\(H = -6(2x + y + 3)\)
تحليل \(I\): العامل المشترك الأكبر هو \(12xy\).
\(I = 12xy(1 - 2z + 3t)\)
تحليل \(G\): العامل المشترك الأكبر هو \(\text{-3}\).
\(G = -3(2x + 3y)\)
تمرين رقم 6 (تمرين رقم 5 في المصدر)
ليكن \((O, I, J)\) معيّناً متعامداً من المستوي حيث \(OI = OJ\) والنقاط \(A\) و \(B\) و \(C\).
(1) أ) حدد إحداثيات النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) انطلاقاً من الرسم.
الحل المفصّل
إحداثيات \(A\):\(A(\text{2}; \text{3})\)
إحداثيات \(B\):\(B(-\text{2}; \text{3})\)
إحداثيات \(C\):\(C(\text{3}; -\text{1})\)
(1) ب) ابن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \((OI)\) ثم حدد إحداثيات \(E\) معللاً جوابك.
ج) استنتج أن \(O\) منتصف \([BE]\).
الحل المفصّل
(ب) تحديد إحداثيات \(E\):
حسب نص التمرين، \(E\) هي مناظرة \(A(\text{2}; \text{3})\) بالنسبة لمحور الأراتيب \((OI)\).
لتعليل: التناظر المحوري بالنسبة لمحور الأراتيب يحافظ على الترتيبة ويغيّر فاصلة النقطة إلى مقابلتها.
إحداثيات \(E\) هي: \(E(-\text{2}; \text{3})\).
(ج) الاستنتاج (ملاحظة: بما أن \(B(-\text{2}; \text{3})\) فإن \(E=B\) حسب هذا التعريف. إذا كان السؤال مقصوداً، فـ \(O\) ليس منتصف \([BE]\) إلا إذا كانت \(B=E=O\) وهو ما لا ينطبق. نفترض أن هناك خطأ مطبعي في نص السؤال، وكان المقصود أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة للمحور الأفقي \((OJ)\) لضمان إمكانية إثبات أنّ \(O\) منتصف \([BE]\)).
*بناءً على المعطيات الأصلية:\(E(-\text{2}; \text{3})\) و \(B(-\text{2}; \text{3})\). إذن \(E = B\)، و \([BE]\) هي نقطة.
*بناءً على الافتراض المنطقي: نفترض أن \(E\) مناظرة \(A(\text{2}; \text{3})\) بالنسبة للنقطة \(O\) أو للمحور \((OJ)\).
إذا كانت \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة للمحور \((OJ)\): \(E(\text{2}; -\text{3})\).
نحدد منتصف \([BE]\) حيث \(B(-\text{2}; \text{3})\) و \(E(\text{2}; -\text{3})\):
(2) لتكن \(D\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(O\). بيّن أن \(ECDB\) متوازي أضلاع (الفرضية الأكثر منطقية بدلاً من \(ECO = ODB\)).
الحل المفصّل
تحديد إحداثيات \(D\):
\(D\) مناظرة \(C(\text{3}; -\text{1})\) بالنسبة للأصل \(O(\text{0}; \text{0})\).
إحداثيات \(D\) هي: \(D(-\text{3}; \text{1})\).
إثبات أن \(ECDB\) متوازي أضلاع:
بما أن \(D\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([CD]\).
من السؤال (1-ج) (حسب الافتراض المنطقي)، فإن \(O\) هي منتصف \([BE]\).
بما أن قطري الرباعي \(ECDB\)، وهما \([CD]\) و \([BE]\)، يتقاطعان في منتصفهما \(O\)، فإن \(ECDB\) متوازي أضلاع.
(3) ابن المستقيم \(\Delta\) الموازي لـ \((AE)\) والمار من \(B\). المستقيمان \(\Delta\) و \((AE)\) يقطعان \((CD)\) في \(H\) و \(K\) على التوالي.
أ) بيّن أن \(\Delta\) و \((AE)\) متناظران بالنسبة لـ \(O\).
ب) استنتج أن \(H\) و \(K\) متناظران بالنسبة لـ \(O\).
الحل المفصّل
(أ) إثبات تناظر المستقيمين:
من الافتراض المنطقي في (1-ج)، \(A(\text{2}; \text{3})\) و \(E(\text{2}; -\text{3})\). إذن، المستقيم \((AE)\) هو المستقيم العمودي الذي معادلته: \(x = 2\).
بما أن \(\Delta\) مواز لـ \((AE)\) ويمر من \(B(-\text{2}; \text{3})\)، فإن \(\Delta\) هو أيضاً مستقيم عمودي معادلته: \(x = -2\).
التناظر المركزي بالنسبة للأصل \(O\) يحول النقطة \(P(x, y)\) إلى \(P'(-x, -y)\).
إذا كانت النقطة \(P(\text{2}, y)\) تنتمي لـ \((AE)\)، فإن مناظرتها \(P'(-\text{2}, -y)\) تنتمي لـ \(\Delta\) (\(x = -2\)).
وبالمثل، إذا كانت \(P'(-2, y)\) تنتمي لـ \(\Delta\)، فإن مناظرتها \(P(2, -y)\) تنتمي لـ \((AE)\).
إذن، \(\Delta\) و \((AE)\) متناظران بالنسبة للنقطة \(O\).
(ب) استنتاج تناظر النقطتين \(H\) و \(K\):
لدينا: \(H\) هي نقطة تقاطع \(\Delta\) و \((CD)\).
و \(K\) هي نقطة تقاطع \((AE)\) و \((CD)\).
بما أن \(\Delta\) و \((AE)\) متناظران بالنسبة لـ \(O\)، وبما أن \(O\) هي منتصف \([CD]\)، فإن المستقيم \((CD)\) ثابت بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(O\).
نقطة تقاطع مستقيمين مناظرين بالنسبة لمركز تناظر \(O\) مع مستقيم يمر بـ \(O\) تكونان متناظرتين بالنسبة لـ \(O\).
إذن، \(H\) مناظرة \(K\) بالنسبة للنقطة \(O\).
(4) لتكن دائرة \(\Gamma\) مركزها \(H\) وشعاعها \(OH\) ودائرة \(\Gamma'\) مركزها \(K\) وشعاعها \(OK\). بيّن أن الدائرة \(\Gamma\) مناظرة الدائرة \(\Gamma'\) بالنسبة إلى النقطة \(O\).
الحل المفصّل
لكي تكون الدائرة \(\Gamma\) مناظرة للدائرة \(\Gamma'\) بالنسبة لنقطة \(O\)، يجب توفر شرطين:1. مركز الدائرة \(\Gamma\) يجب أن يكون مناظراً لمركز الدائرة \(\Gamma'\) بالنسبة لـ \(O\).2. يجب أن يكون شعاع الدائرتين متساوياً.
الشرط الأول (تناظر المراكز):
مركز الدائرة \(\Gamma\) هو \(H\)، ومركز الدائرة \(\Gamma'\) هو \(K\).
من السؤال (3-ب)، استنتجنا أن \(H\) و \(K\) متناظران بالنسبة للنقطة \(O\).
الشرط الثاني (تساوي الشعاعين):
شعاع الدائرة \(\Gamma\) هو \(r_{\Gamma} = OH\).
شعاع الدائرة \(\Gamma'\) هو \(r_{\Gamma'} = OK\).
بما أن \(H\) و \(K\) متناظران بالنسبة لـ \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([HK]\)، وهذا يعني أن \(OH = OK\) (لأن التناظر المركزي يحافظ على المسافات).
إذن \(r_{\Gamma} = r_{\Gamma'}\).
الخلاصة: بما أن مركزي الدائرتين متناظران بالنسبة لـ \(O\) وشعاعيهما متساويان، فإن الدائرة \(\Gamma\) مناظرة للدائرة \(\Gamma'\) بالنسبة للنقطة \(O\).