🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة - الأستاذ: فوزي الغربي
📚 الثامنة أساسي - مثال رقم 14
🎯 التمرين رقم 1 (صحيح أو خطأ) 🎯
أجب بصحيح أو خطأ:
1. العدد 712320 يقبل القسمة على 1.
كل الأعداد الصحيحة تقبل القسمة على 1. صحيح.
2. باقي قسمة العدد 2757722 على 8 هو باقي قسمة العدد 22 على 8.
باقي قسمة عدد على 8 هو باقي قسمة العدد المتكون من أرقامه الثلاثة الأخيرة (722) على 8. 722 \div 8 = 90 والباقي 2.
باقي قسمة 22 على 8 هو 6 (لأن 22 = 8 \times 2 + 6).
بما أن 2 \ne 6، فالقول خاطئ. خطأ.
3. 5+(-3-1)-(4-7)=5-3-1-4+7.
نطبق قاعدة حذف الأقواس: 5+(-3-1)-(4-7)
علامة ما قبل القوس الأول موجبة، نحذف الأقواس دون تغيير إشارات الحدود: 5 - 3 - 1.
علامة ما قبل القوس الثاني سالبة، نحذف الأقواس مع تغيير إشارات الحدود: - 4 + 7.
إذن: 5 - 3 - 1 - 4 + 7.
العبارتان متساويتان. صحيح.
4. الجذاء (-3)\times77\times(-33) هو عدد سالب.
نحسب عدد العوامل السالبة في الجذاء. لدينا عاملان سالبان هما (-3) و (-33).
بما أن عدد العوامل السالبة زوجي (2)، فإن الجذاء موجب.
القول بأن الجذاء سالب خاطئ. خطأ.
5. -12\times75-25\times(-12)=12\times(-100).
نبسط الطرف الأيسر (LHS): -12 \times 75 - 25 \times (-12)
العامل المشترك هو -12: = (-12) \times [75 + (-25)] = (-12) \times [75 - 25] = (-12) \times 50 = -600.
نبسط الطرف الأيمن (RHS): 12 \times (-100) = -1200.
بما أن -600 \ne -1200، فالقول خاطئ. خطأ.
6. إذا كان (O,I) معين متعامد في المستوي و A(-3;5) و B(-3;-5) فإن IA=IB.
النقطتان A(-3;5) و B(-3;-5) متناظرتان بالنسبة لمحور الأفاصيل (OI) (لهما نفس الأفصول وأفصولان متقابلان).
محور الأفاصيل هو الموسط العمودي للقطعة [AB].
النقطة I(1, 0) تنتمي إلى محور الأفاصيل (OI).
أي نقطة تنتمي للموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
إذن IA=IB. صحيح.
7. إذا كان (O,I,J) معين متعامد في المستوي و M(4;-3) و N(-4;3) فإن O هي منتصف [MN].
نحدد إحداثيات منتصف القطعة [MN]، لتكن P(x_P, y_P): x_P = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0. y_P = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0.
إحداثيات المنتصف هي P(0, 0)، وهي إحداثيات الأصل O. صحيح.
📝 التمرين رقم 2 (عبارات جبرية) 📝
نعتبر العبارتين E و F حيث a و b عددان صحيحان نسبيان:
E = -5 + [a - 13 - (-15 - b)]F = (-3 + a) - [2 + (4 - b)]
1. اختصر E و F.
**اختصار العبارة E:** E = -5 + [a - 13 - (-15 - b)] E = -5 + [a - 13 + 15 + b] (حذف الأقواس الداخلية) E = -5 + [a + b + 2] (تبسيط الأعداد: -13 + 15 = 2) E = -5 + a + b + 2 (حذف الأقواس المعقوفة) E = a + b - 3 (تبسيط الأعداد: -5 + 2 = -3)
**اختصار العبارة F:** F = (-3 + a) - [2 + (4 - b)] F = -3 + a - [2 + 4 - b] (حذف الأقواس الداخلية) F = -3 + a - [6 - b] (تبسيط الأعداد: 2 + 4 = 6) F = -3 + a - 6 + b (حذف الأقواس المعقوفة) F = a + b - 9 (تبسيط الأعداد: -3 - 6 = -9)
2. قارن E و F.
نحسب الفرق E - F: E - F = (a + b - 3) - (a + b - 9) E - F = a + b - 3 - a - b + 9 E - F = (-3 + 9) = 6
بما أن E - F = 6 > 0، فإن \(\mathbf{E > F}\).
3. أحسب E إذا كان a=-2 و b=-3.
نعوض a=-2 و b=-3 في العبارة E = a + b - 3: E = (-2) + (-3) - 3 E = -2 - 3 - 3 E = \mathbf{-8}.
4. أوجد a+b إذا كان F=-3.
نعوض F=-3 في العبارة F = a + b - 9: a + b - 9 = -3 a + b = -3 + 9 a + b = \mathbf{6}.
🔢 التمرين رقم 3 (حساب عبارات والقيمة المطلقة) 🔢
1. أحسب العبارات التالية:
أ) A=25 - [16+(-13)] - [(-13)-13]
A = 25 - [16 - 13] - [-13 - 13] A = 25 - [3] - [-26] A = 25 - 3 + 26 A = 22 + 26 = \mathbf{48}.
ب) B=(-21)\times3 - 3 + 7\times(-11) + 11
B = -63 - 3 - 77 + 11 B = -143 + 11 B = \mathbf{-132}.
ج) C=-3\times[4+(-8)] - 9\times(5-4) + (-3)
C = -3 \times [-4] - 9 \times (1) - 3 C = 12 - 9 - 3 C = 3 - 3 = \mathbf{0}.
د) D=(-20)\times(-2) + 4\times(-7) - (-3)\times12
D = 40 + (-28) - (-36) D = 40 - 28 + 36 D = 12 + 36 = \mathbf{48}.
ه) E=(-3)\times5 - 4\times(-7) + 8\times(-5)
E = -15 - (-28) + (-40) E = -15 + 28 - 40 E = 13 - 40 = \mathbf{-27}.
2. لتكن العبارة F = |x-8| - |-x+13|. أحسب هذه العبارة في الحالتين التاليتين:
أ) x=20
F = |20 - 8| - |-20 + 13| F = |12| - |-7| F = 12 - 7 = \mathbf{5}.
ب) x=-13
F = |-13 - 8| - |-(-13) + 13| F = |-21| - |13 + 13| F = 21 - |26| F = 21 - 26 = \mathbf{-5}.
3. أحسب بطريقتين مختلفتين:
أ) G = (-7)\times[(-2)+(-5)]
**الطريقة 1: حساب ما بداخل القوس أولاً** G = (-7) \times [-2 - 5] G = (-7) \times [-7] G = \mathbf{49}.
**الطريقة 2: خاصية التوزيع (Distributivity)** G = (-7) \times (-2) + (-7) \times (-5) G = 14 + 35 G = \mathbf{49}.
ب) H = (-4)\times[(-5)-2]
**الطريقة 1: حساب ما بداخل القوس أولاً** H = (-4) \times [-5 - 2] H = (-4) \times [-7] H = \mathbf{28}.
**الطريقة 2: خاصية التوزيع (Distributivity)** H = (-4) \times (-5) - (-4) \times 2 H = 20 - (-8) H = 20 + 8 = \mathbf{28}.
📐 التمرين رقم 4 (هندسة وتناظر) 📐
ليكن (O, I, J) معيناً متعامداً في المستوي و OI=OJ (معين متعامد ومتجانس).
نعين النقاط: A(2; 3) و B(-2; 3). (تهمل النقاط الزائدة في النص الأصلي: F, S, C).
1. عين النقاط A و B في المعين (O, I, J).
**البناء:** يتم تعيين النقطتين A و B في المعين المتعامد (O,I,J).
2. بين أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OJ).
A(2; 3) و B(-2; 3).
محور التراتيب (OJ) هو محور التناظر.
نلاحظ أن:
إذا كانت لنقطتين نفس الترتيب وأفصولان متقابلان، فإنهما متناظرتان بالنسبة لمحور التراتيب (OJ). إذن A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OJ).
3. أ) ابن النقطة C مناظرة B بالنسبة إلى (OI) وحدد إحداثيات C.
محور الأفاصيل (OI) هو محور التناظر.
مناظرة B(x_B, y_B) بالنسبة لـ (OI) هي النقطة C(x_B, -y_B). B(-2, 3).
إحداثيات C هي \mathbf{C(-2; -3)}.
3. ب) استنتج أن (OI) \perp (BC).
لدينا B(-2, 3) و C(-2, -3).
بما أن النقطتين B و C لهما نفس الأفصول x = -2، فإن المستقيم (BC) هو مستقيم عمودي يوازي محور التراتيب (OJ).
محور الأفاصيل (OI) عمودي على محور التراتيب (OJ).
وبما أن (BC) // (OJ)، فإن (OI) عمودي على (BC). إذن (OI) \perp (BC).
3. ج) بين أن O (أصل المعين) منتصف [AC].
لدينا A(2; 3) و C(-2; -3).
نحدد إحداثيات منتصف القطعة [AC]، لتكن M(x_M, y_M): x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0. y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0.
المنتصف هو M(0, 0)، وهو الأصل O. إذن O هو منتصف [AC].
4. الدائرة \mathcal{C} التي مركزها E وشعاعها 2 صم. (نعتبر E=O(0,0) ونقطة التناظر هي A(2,3)).
أ) ابن مناظرة \mathcal{C} بالنسبة إلى النقطة A (لتكن \mathcal{C}').
مناظرة دائرة بالنسبة لنقطة هي دائرة لها نفس الشعاع ومركزها هو مناظر مركز الدائرة الأصلية بالنسبة لنفس النقطة.
مركز \mathcal{C} هو E=O(0, 0). نقطة التناظر هي A(2, 3).
مركز \mathcal{C}' هو E' مناظرة O بالنسبة لـ A، أي أن A منتصف [OE']. x_{A} = \frac{x_{O} + x_{E'}}{2} \implies 2 = \frac{0 + x_{E'}}{2} \implies x_{E'} = 4. y_{A} = \frac{y_{O} + y_{E'}}{2} \implies 3 = \frac{0 + y_{E'}}{2} \implies y_{E'} = 6.
مركز \mathcal{C}' هو \mathbf{E'(4, 6)}.
ب) حدد مركز وشعاع \mathcal{C}' معللاً جوابك.
* **المركز:** مركز \mathcal{C}' هو \mathbf{E'(4, 6)} (مناظرة E بالنسبة لـ A، كما تم حسابه في السؤال أ).
* **الشعاع:** التناظر المركزي يحافظ على المسافات، وبالتالي يحافظ على الشعاع.
شعاع \mathcal{C}' هو \mathbf{r' = r = 2} صم.
\mathbb{N} تشمل الصفر (0 \in \mathbb{N}). \mathbb{Q}^{*} هي مجموعة الأعداد الكسرية غير الصفرية (0 \notin \mathbb{Q}^{*}).
بما أن 0 \in \mathbb{N} و 0 \notin \mathbb{Q}^{*}، فإن \mathbb{N} ليست جزءاً من \mathbb{Q}^{*}. \(\not\subset\).
ج) 0 \in \mathbb{Z}
الصفر هو عدد صحيح نسبي. \(\in\).
د) \frac{-3}{-25} \notin \mathbb{Z}_{-}^{*}
\frac{-3}{-25} = \frac{3}{25} وهو عدد موجب. \mathbb{Z}_{-}^{*} هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة غير الصفرية. \(\notin\).
ه) \mathbb{N}^{*} \subset \mathbb{Q}_{+}
\mathbb{N}^{*} هي الأعداد الصحيحة الطبيعية الموجبة (باستثناء الصفر). \mathbb{Q}_{+} هي الأعداد الكسرية الموجبة أو تساوي الصفر. جميع عناصر \mathbb{N}^{*} هي عناصر في \mathbb{Q}_{+}. \(\subset\).
و) \{-1; -11; -11,1\} \not\subset \mathbb{Z}
-11,1 هو عدد عشري وليس عدداً صحيحاً (-11,1 \notin \mathbb{Z}). \(\not\subset\).
\mathbb{N} هي \{0, 1, 2, ...\}. \mathbb{Q}^{*} هي جميع الأعداد الكسرية ماعدا الصفر. التقاطع هو \{1, 2, 3, ...\}. \(\mathbb{N}^{*}\).
د) \mathcal{D}_{-} \cap \mathbb{Q}_{+} = \{0\}
\mathcal{D}_{-} هي الأعداد العشرية غير الموجبة (x \le 0). \mathbb{Q}_{+} هي الأعداد الكسرية غير السالبة (x \ge 0). العدد الوحيد الذي يحقق الشرطين هو الصفر. \(\{0\}\).
3. لنعتبر المجموعة E = \{-1; 0.3; -\frac{12}{4}; 0; \frac{-4}{-5}; 25; \frac{6}{7}; -5.5\}. حدد عناصر المجموعات التالية:
أ) E \cap \mathbb{Z}_{-} (الأعداد الصحيحة السالبة في E)
E تشمل -1 و -\frac{12}{4} = -3. \(\mathbf{\{-1; -\frac{12}{4}\}}\).
ب) E \cap \mathcal{D} (الأعداد العشرية في E)
جميع عناصر E هي أعداد عشرية ما عدا \frac{6}{7}.
(حيث -\frac{12}{4} = -3 و \frac{-4}{-5} = 0.8). \(\mathbf{\{-1; 0.3; -\frac{12}{4}; 0; \frac{-4}{-5}; 25; -5.5\}}\).
ج) E^{*} \cap \mathcal{D}_{+} (الأعداد العشرية الموجبة غير الصفرية في E)
6. لتكن M نقطة بحيث فاصلتها x تحقق |x|=7 و x سالبة. عين النقطة M على المستقيم المدرج.
|x|=7 \implies x = 7 أو x = -7.
بما أن x سالبة، فإن x = \mathbf{-7}.
M(-7).
🔎 التمرين رقم 7 (المجموعات والقيمة المطلقة) 🔎
ابحث عن المجموعات التالية:
أ) A=\{x, x \in \mathbb{Q}; |x| = \frac{-13}{5}\}
القيمة المطلقة لعدد لا يمكن أن تكون سالبة. \frac{-13}{5} < 0. \(\mathbf{A = \emptyset}\).
ب) B=\{x, x \in \mathbb{Q}; |x| = \frac{-5}{6}\}
القيمة المطلقة لعدد لا يمكن أن تكون سالبة. \frac{-5}{6} < 0. \(\mathbf{B = \emptyset}\).
ج) C=\{x, x \in \mathbb{Q}_{+}; |x| = 7.4\}
|x| = 7.4 \implies x = 7.4 أو x = -7.4.
بما أن x \in \mathbb{Q}_{+} (عدد كسري موجب أو يساوي الصفر)، فإن x = 7.4. \(\mathbf{C = \{7.4\}}\).
د) D=\{x, x \in \mathbb{Q}; |x| = \frac{2}{3}\}
|x| = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3} أو x = -\frac{2}{3}. \(\mathbf{D = \{\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\}}\).
ه) E=\{x, x \in \mathbb{Q}_{+}; |x| = \frac{3}{15}\}
|x| = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2 \implies x = 0.2 أو x = -0.2.
بما أن x \in \mathbb{Q}_{+}، فإن x = 0.2. \(\mathbf{E = \{\frac{1}{5}\}}\).
و) F=\{x, x \in \mathbb{Z}_{-}; |x| = \frac{35}{2}\}
|x| = \frac{35}{2} = 17.5 \implies x = 17.5 أو x = -17.5.
بما أن x \in \mathbb{Z}_{-} (عدد صحيح نسبي سالب)، و 17.5 \notin \mathbb{Z}. \(\mathbf{F = \emptyset}\).
ز) G=\{x, x \in \mathbb{N}; |x| = \frac{36}{6}\}
|x| = \frac{36}{6} = 6 \implies x = 6 أو x = -6.
بما أن x \in \mathbb{N} (عدد صحيح طبيعي)، فإن x = 6. \(\mathbf{G = \{6\}}\).
ح) H=\{x, x \in \mathcal{D}_{-}; |x| = \frac{13}{5}\}
|x| = \frac{13}{5} = 2.6 \implies x = 2.6 أو x = -2.6.
بما أن x \in \mathcal{D}_{-} (عدد عشري غير موجب)، فإن x = -2.6. \(\mathbf{H = \{-2.6\}}\).
ط) I=\{x, x \in \mathcal{D}; |x| = \frac{3}{11}\}
|x| = \frac{3}{11} \approx 0.2727.... بما أن \frac{3}{11} ليس عدداً عشرياً (الكتابة العشرية غير منتهية ودورية)، لا يمكن أن يكون x عدداً عشرياً يحقق هذه المساواة. \(\mathbf{I = \emptyset}\).
ي) J=\{x, x \in \mathcal{D}; |x| = \frac{-23}{5}\}
القيمة المطلقة لعدد لا يمكن أن تكون سالبة. \frac{-23}{5} < 0. \(\mathbf{J = \emptyset}\).
ك) K=\{x, x \in \mathbb{Q}; |x| = x\}
|x| = x إذا وفقط إذا كان x \ge 0 (أي x عدد موجب أو يساوي الصفر). \(\mathbf{K = \mathbb{Q}_{+}}\).
ل) L=\{x, x \in \mathbb{Q}; |x| = -x\}
|x| = -x إذا وفقط إذا كان x \le 0 (أي x عدد سالب أو يساوي الصفر). \(\mathbf{L = \mathbb{Q}_{-}}\).