📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝

**قاعدة قابلية القسمة:**

• على 3: مجموع أرقامه مضاعف لـ 3.
• على 4: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات مضاعف لـ 4.
• على 8: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات والمئات مضاعف لـ 8.
• على 25: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات هو 00 أو 25 أو 50 أو 75.

* **تحديد إحداثيات E:** بما أن A(3, 2) و B(-3, 2) متناظرتان بالنسبة لمحور التراتيب (O, J)، وبما أن A\hat{B}E = 45^{\circ}، نفترض أن المثلث ABE متقايس الضلعين في E وقائم الزاوية في E (لأن هذا يوافق غالباً التمارين المدرسية). في هذه الحالة، يجب أن تكون E على محور التراتيب. نفرض E(0, y_E). للتأكد من A\hat{B}E = 45^{\circ}، نحسب ميل المستقيم (BE): m_{(BE)} = \frac{y_E - 2}{0 - (-3)} = \frac{y_E - 2}{3}. لجعل الزاوية 45^{\circ} مع المحور الأفقي (AB)، يجب أن يكون |m_{(BE)}| = 1. إذن \frac{|y_E - 2|}{3} = 1 \Rightarrow |y_E - 2| = 3. الحل الأول: y_E - 2 = 3 \Rightarrow y_E = 5. الحل الثاني: y_E - 2 = -3 \Rightarrow y_E = -1. الخيار E(0, -1) يجعل m_{(BE)} = -1، والزاوية بين (AB) و (BE) هي 45^{\circ} (انظر البرهان 2.ج). \(\mathbf{E(0, -1)}\). * **تحديد إحداثيات C:** لم يتم تزويد إحداثيات النقطة C في نص التمرين.

لدينا A(3, 2) و B(-3, 2).
نلاحظ أن x_B = -3 = -x_A و y_B = 2 = y_A.
بما أن أفصولا النقطتين متقابلان وترتيبهما متساوي، فإن A و B متناظرتان بالنسبة لمحور التراتيب (O, J). ✅

* لدينا A و B متناظرتان بالنسبة لمحور التراتيب. * النقطة E(0, -1) تنتمي إلى محور التراتيب. * كل نقطة تنتمي إلى محور تناظر قطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
إذن، AE = BE. ✅

* من السؤال 2.ب، AE = BE، إذن المثلث ABE متقايس الضلعين في E. * إذن، زوايا القاعدة متساوية: B\hat{A}E = A\hat{B}E. * لدينا A\hat{B}E = 45^{\circ}. * إذن، B\hat{A}E = 45^{\circ}. * مجموع زوايا المثلث ABE هو: A\hat{E}B = 180^{\circ} - (A\hat{B}E + B\hat{A}E) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}. * بما أن A\hat{E}B = 90^{\circ}، فإن (AE) \perp (BE). ✅

* (OI) هو محور الأفاصيل، معادلته y=0. * النقطتان A(3, 2) و B(-3, 2) لهما نفس الترتيب y=2. * إذن المستقيم (AB) هو المستقيم الذي معادلته y=2. * بما أن (OI) و (AB) مستقيمان أفقيان مختلفان (لهما معادلتان y=0 و y=2)، فإنهما متوازيان. * (OI) // (AB). ✅

* **القسمة على 5:** يجب أن يكون رقم الآحاد a \in \{0, 5\}. * **القسمة على 8:** يجب أن يكون العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام (b2a) قابلاً للقسمة على 8. * **الحالة 1: a=0** العدد هو 7b20. يجب أن يقبل b20 القسمة على 8. نختبر الأعداد b20 (120, 220, 320, \dots, 920): b20 = 100b + 20. يقبل القسمة على 8 إذا كان 100b+20 \equiv 0 \pmod{8}. بما أن 100b \equiv 4b \pmod{8} و 20 \equiv 4 \pmod{8}، إذن 4b + 4 \equiv 0 \pmod{8}. 4b \equiv -4 \equiv 4 \pmod{8}. هذا يتحقق إذا كان b عدد فردي: b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}. **الحلول الممكنة: \((a, b) \in \{(0, 1), (0, 3), (0, 5), (0, 7), (0, 9)\}\) (أي 5 حلول).** * **الحالة 2: a=5** العدد هو 7b25. رقم الآحاد فردي (5)، لذا لا يمكن أن يقبل القسمة على 8.

ليكن N عدداً يقبل القسمة على 8.
إذن، يوجد عدد صحيح نسبي k بحيث N = 8k.
يمكن كتابة N على النحو التالي: N = 4 \times (2k).
بما أن k \in \mathbb{Z}، فإن 2k \in \mathbb{Z}. وبما أن N هو مضاعف لـ 4، فإنه يقبل القسمة على 4. ✅

نحول جميع الأساسات إلى الأساس 5:
125 = 5^3 و 25 = 5^2.
N = (5^3)^{14} + 5^{41} + (5^2)^{20}
N = 5^{42} + 5^{41} + 5^{40}
نستخرج أصغر قوة كعامل مشترك (5^{40}):
N = 5^{40} \times (5^{42-40} + 5^{41-40} + 5^{40-40})
N = 5^{40} \times (5^2 + 5^1 + 5^0)
N = 5^{40} \times (25 + 5 + 1)
N = 5^{40} \times 31.
بما أن N هو مضاعف للعدد 31، فإنه يقبل القسمة على 31. ✅

باقي قسمة عدد على 8 هو باقي قسمة العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام على 8. * 5812371: آخر ثلاثة أرقام 371. 371 = 8 \times 46 + \mathbf{3}. (الباقي 3) * 210360395: آخر ثلاثة أرقام 395. 395 = 8 \times 49 + \mathbf{3}. (الباقي 3) * 84632971: آخر ثلاثة أرقام 971. 971 = 8 \times 121 + \mathbf{3}. (الباقي 3) * 86472995: آخر ثلاثة أرقام 995. 995 = 8 \times 124 + \mathbf{3}. (الباقي 3) * 4823971: آخر ثلاثة أرقام 971. (الباقي 3) * 58472395: آخر ثلاثة أرقام 395. (الباقي 3)
جميع الأعداد لها نفس باقي القسمة على 8، وهو 3. ✅

* **الكسر الأول \frac{364}{312}:** نبحث عن القاسم المشترك الأكبر PGCD(364, 312). 364 = 52 \times 7. 312 = 52 \times 6. القاسم المشترك الأكبر هو 52. \frac{364}{312} = \frac{364 \div 52}{312 \div 52} = \frac{7}{6}. * **الكسر الثاني \frac{180}{168}:** نبحث عن القاسم المشترك الأكبر PGCD(180, 168). 180 = 12 \times 15. 168 = 12 \times 14. القاسم المشترك الأكبر هو 12. \frac{180}{168} = \frac{180 \div 12}{168 \div 12} = \frac{15}{14}. ✅

A = [-y - 3 + 15] + [x - 2 + x - y]
A = -y + 12 + 2x - y - 2
A = 2x - 2y + (12 - 2)
A = 2x - 2y + 10
A = 2(x - y) + 10. ✅

**أ) x=y:**
A = 2(x - x) + 10 = 2(0) + 10 = 10.

---

**ب) x=3 و y=-7:**
A = 2(3 - (-7)) + 10 = 2(3 + 7) + 10 = 2(10) + 10 = 20 + 10 = 30.

---

**ج) x-y=-12:**
A = 2(x - y) + 10 = 2(-12) + 10 = -24 + 10 = -14. ✅

لدينا A = 2(x - y) + 10.
نعوض A بـ -3:
-3 = 2(x - y) + 10
2(x - y) = -3 - 10
2(x - y) = -13
x - y = \frac{-13}{2} = -6.5. ✅

بما أن A' مناظرة A بالنسبة إلى O، فإن O هو منتصف القطعة [AA'].
وبما أن O هو منتصف القطعة [CD].
إذن، في الرباعي ADA'C، القطران [AA'] و [CD] يتقاطعان في منتصفهما O.
الرباعي ADA'C هو متوازي أضلاع. ✅

بما أن ADA'C متوازي أضلاع (من 1.أ)، فإن الأضلاع المتقابلة متقايسة.
إذن، A'C = AD.
بما أن AD = 3cm (معطى)، فإن A'C = 3cm. ✅

* بما أن ABCD شبه منحرف قائم الزاوية في D، فإن (AD) \perp (CD). * بما أن ADA'C متوازي أضلاع، فإن (A'C) // (AD). * بما أن (A'C) // (AD) و (AD) \perp (CD)، فإن (A'C) \perp (CD). ✅

نعتبر التناظر المركزي S_O الذي مركزه O.
* لدينا S_O(A) = A' (من 1.أ). * لدينا S_O(D) = C (لأن O منتصف [CD]). * إذن، التناظر S_O يحول المستقيم (AD) إلى المستقيم (A'C). * النقطة E تنتمي إلى المستقيم (AD) (لأن D, A, E على استقامة واحدة). * إذن، صورة E بالتناظر S_O(E) تنتمي إلى صورة المستقيم (A'C). * بما أن E تنتمي إلى المستقيم (EO)، فإن S_O(E) تنتمي إلى صورة المستقيم S_O((EO)) = (EO) (لأنه يمر بالمركز O). * S_O(E) هي نقطة تقاطع المستقيمين (A'C) و (EO). * بما أن F هي نقطة التقاطع هذه (معطى)، فإن S_O(E) = F. * إذن، O هو منتصف [EF]. ✅

**ملاحظة:** السؤال غير مكتمل في النص الأصلي، لكن من المعطيات نعلم أن: * F هي نقطة تقاطع المستقيم (EO) و المستقيم (CA'). * هذا يعني أن F تنتمي إلى (CA'). * وبالتالي، فإن C و F و A' تقع على استقامة واحدة (colinéaires). **(نكتفي بكونها نقاطاً مستقيمية لتصحيح النقص في السؤال).** ✅

* لدينا O منتصف [CD] (معطى). * لدينا O منتصف [EF] (من 2.أ). * في الرباعي DCEF، القطران [CD] و [EF] يتقاطعان في منتصفهما O. * إذن، الرباعي DCEF هو متوازي أضلاع. * في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متوازية. إذن، (DF) // (EC). ✅

* لدينا S_A هو التناظر المركزي الذي مركزه A. * لدينا E مناظرة D بالنسبة إلى A (معطى)، إذن S_A(D) = E. * التناظر المركزي يحول مستقيماً إلى مستقيم موازٍ له. * S_A((DF)) هو مستقيم يمر بالنقطة S_A(D) = E ويوازي (DF). * من 3.أ، لدينا (EC) // (DF). * وبما أن (EC) هو المستقيم الوحيد الذي يمر بـ E ويوازي (DF)، فإن S_A((DF)) = (EC). * إذن، (EC) هو مناظر (DF) بالنسبة إلى A. ✅