\mathbb{Q}^{*} هي مجموعة الأعداد الكسرية غير الصفرية. \mathbb{D} هي مجموعة الأعداد العشرية.
تقاطع المجموعتين هو مجموعة الأعداد العشرية غير الصفرية (\mathbb{D}^{*}). ✅
**3. إذا اعتبرنا مستقيماً مدرجاً بالمعين (A,B)، فإن فاصلة M هي X_{M}=\frac{-2}{5}.**
X_{M}=0.4 / X_{M}=\frac{3}{5}
(ملاحظة: هذا السؤال يتطلب معطيات إضافية (موقع النقطة M) أو كان الهدف منه هو اختيار الإجابة التي تساوي \(\frac{-2}{5}\). ندرج الحل بناءً على معطيات النص الأصلي و افتراض عدم وجود سؤال فرعي.)
الفاصلة المعطاة هي X_{M}=\frac{-2}{5}. \frac{-2}{5} = -0.4.
من بين الخيارات، لا يوجد ما يساوي هذه القيمة.
**4. مثلثا ABC (AB=AC=5 \text{ cm} و B\hat{A}C=80^{\circ}) و EFG (EF=5 \text{ cm} و \hat{EFG}=\hat{EG}F=50^{\circ}) هما:**
\(\mathbf{\text{متقايسان}}\) / غير متقايسان
**في المثلث ABC:** AB=AC=5 \text{ cm}، إذن هو متقايس الضلعين في A. A\hat{B}C = A\hat{C}B = \frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = 50^{\circ}.
**في المثلث EFG:** \hat{EFG} = \hat{EG}F = 50^{\circ}، إذن هو متقايس الضلعين في E، يعني EF=EG. \hat{FEG} = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 80^{\circ}.
**المقارنة:**
لدينا: AB = EF = 5 \text{ cm} (ضلع).
لدينا: A\hat{B}C = 50^{\circ} و E\hat{G}F = 50^{\circ} (زاوية).
لدينا: B\hat{A}C = 80^{\circ} و F\hat{E}G = 80^{\circ} (زاوية).
بما أن AB=EF و A\hat{B}C=E\hat{G}F و B\hat{A}C=F\hat{E}G، فإن المثلثين متقايسان حسب الحالة الثالثة لتقايس المثلثات (الزاوية-الضلع المقابل-الزاوية). ✅
📝 التمرين رقم 2 (5 نقاط - الأعداد الكسرية والمجموعات) 📝
نعتبر المجموعة E التالية: E = \{\frac{-6}{-75}; 0; \frac{3}{45}; \frac{-245}{140}; 0.45; -\frac{121}{11}\}.
1. أ / أتمم بـ \in أو \notin: \frac{2}{25} \cdots E و -11 \cdots E و \frac{-245}{140} \cdots \mathbb{D}.
نختزل ونبسط عناصر E: \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25} -\frac{121}{11} = -11 \frac{-245}{140} = \frac{-7}{4} = -1.75 \frac{2}{25} \in E (لأن \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25}). -11 \in E (لأن -\frac{121}{11} = -11). \frac{-245}{140} = -1.75، وهو عدد عشري، إذن \frac{-245}{140} \in \mathbb{D}. ✅
2. أوجد المجموعات التالية: \mathbb{E}\cap\mathbb{D} و \mathbb{N}^{*}\cup\mathbb{Q}.
**حساب \mathbb{E}\cap\mathbb{D} (الأعداد العشرية في E):**
الأعداد في E التي تنتمي إلى \mathbb{D} هي التي لا تحتوي في مقامها على عوامل أولية غير 2 أو 5 بعد الاختزال. \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25} = 0.08 \in \mathbb{D}. 0 \in \mathbb{D}. \frac{3}{45} = \frac{1}{15}. المقام 15 = 3\times 5 يحتوي على العامل 3. إذن \notin \mathbb{D}. \frac{-245}{140} = \frac{-7}{4} = -1.75 \in \mathbb{D}. 0.45 = \frac{45}{100} \in \mathbb{D}. -\frac{121}{11} = -11 \in \mathbb{D}. \mathbb{E}\cap\mathbb{D} = \{\frac{-6}{-75}; 0; \frac{-245}{140}; 0.45; -\frac{121}{11}\}. ✅
**حساب \mathbb{N}^{*}\cup\mathbb{Q}:** \mathbb{N}^{*} هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية غير الصفرية. \mathbb{Q} هي مجموعة الأعداد الكسرية (تشمل \mathbb{N}^{*}).
إذن، \mathbb{N}^{*}\cup\mathbb{Q} = \mathbb{Q}. ✅
3. أوجد المجموعة F من الأعداد الكسرية X المنتمية إلى E بحيث |X|=X، والمجموعة G من الأعداد الكسرية X المنتمية إلى E بحيث |X|=\frac{7}{4}.
**المجموعة F:**
الشرط |X|=X يعني أن X \ge 0 (الأعداد الموجبة أو الصفر).
الأعداد الموجبة في E هي: \frac{-6}{-75} = \frac{2}{25} > 0. 0. \frac{3}{45} = \frac{1}{15} > 0. 0.45 > 0. F = \{\frac{-6}{-75}; 0; \frac{3}{45}; 0.45\}. ✅
**المجموعة G:**
الشرط |X|=\frac{7}{4} يعني أن X=\frac{7}{4} أو X=-\frac{7}{4}.
نبحث عن هذين العددين في E: \frac{-245}{140} = -\frac{7}{4}. هذا العدد ينتمي إلى E. \frac{7}{4} = 1.75. هذا العدد لا ينتمي إلى E. G = \{\frac{-245}{140}\}. ✅
4. حول كل عدد عشري غير صحيح من المجموعة E على صورة \frac{a}{10^{n}} (حيث a \in \mathbb{Z} و n \in \mathbb{N}).