🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة - الأستاذ: فوزي الغربي
📚 الثامنة أساسي - مثال رقم 8
🎯 التمرين رقم 1 (اختيار الإجابة الصحيحة) 🎯
ضع في دائرة الإجابة الصحيحة:
**1. العبارة (12-5)\times9-7 تساوي:**
56 / 9 / 14
(12-5)\times9-7 = 7\times9-7 = 63-7 = 56 ✅
**2. a و b عددان صحيحان نسبيان حيث a فإن علامة الجذاء (a-b)\times(-5)\times(-a)\times b هي:**
سالبة / موجبة / لا يمكن تحديدها
بما أن a، فإن a و b سالبان، و |a|>|b|.
* a-b: عدد سالب (لأن a أبعد عن الصفر من b).
* -5: عدد سالب.
* -a: عدد موجب (لأن a سالب).
* b: عدد سالب.
علامة الجذاء: (-)\times(-)\times(+)\times(-) = (-).
**4. العدد 273a16 حيث، رقم مئاته a، يقبل القسمة على 3 و 8 إذا كان:**
a=2 / a=4 / a=6
* **شرط القسمة على 8:** يجب أن يكون العدد المكون من آخر ثلاث أرقام (a16) قابلاً للقسمة على 8.
* **شرط القسمة على 3:** يجب أن يكون مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3. 2+7+3+a+1+6 = 19+a.
* إذا كان a=2: 216\div8=27 (صحيح) و 19+2=21 (صحيح).
📝 التمرين رقم 2 (اختصار وحساب عبارة) 📝
نعتبر العبارتين A و B حيث x و y عددان صحيحان نسبيان.
B=x-y-4 و A=-3(6y+x+1)-2(1-x-10y).
1. بين أن A=-x+2y-5.
A=-3(6y+x+1)-2(1-x-10y) A=-18y-3x-3-2+2x+20y (النشر) A=(-3x+2x)+(-18y+20y)+(-3-2) (تجميع الحدود المتشابهة) A=-x+2y-5 ✅
4. جد y إذا علمت أن A و B متقابلان. (قيمة x غير وحيدة)
العبارتان A و B متقابلتان يعني أن مجموعهما يساوي صفر: A+B=0. A+B = (-x+2y-5)+(x-y-4) A+B = (-x+x)+(2y-y)+(-5-4) A+B = y-9
بما أن A+B=0: y-9=0 y=9
(قيمة x يمكن أن تكون أي عدد صحيح نسبي). ✅
5. فكك إلى جذاء عوامل العبارة C=A+(3x-4y-1).
C=A+(3x-4y-1) C=(-x+2y-5)+(3x-4y-1) (نعوض A بقيمتها المختصرة) C=(-x+3x)+(2y-4y)+(-5-1) (تجميع الحدود المتشابهة) C=2x-2y-6 C=2(x-y-3) (نستخرج 2 كعامل مشترك) ✅
*(ملاحظة: السؤال 3 غير مكتمل في النص الأصلي: قارن x و y إذا علمت أن...)*
📐 التمرين رقم 3 (شبه منحرف) 📐
لدينا شبه منحرف ABCD قاعدتاه [BC] و [AD] (إذن (BC) // (AD)).
لدينا \hat{ABC}=80^{\circ} و \hat{BCD}=50^{\circ}. ولتكن K نقطة من [BC] حيث (AK)//(CD).
**أ) حساب \hat{BAD}:**
بما أن (AD) // (BC) و (AB) قاطع لهما، فإن الزاويتين \hat{BAD} و \hat{ABC} متكاملتان (زاويتان داخليتان من نفس الجهة). \hat{BAD} = 180^{\circ} - \hat{ABC} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}. ✅
**جـ) حساب \hat{ADC} (مطلوب ضمنيًا):** \hat{ADC} = 180^{\circ} - \hat{BCD} = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}.
**حساب \hat{KAD}:**
الرباعي AKCD فيه (AD) // (KC) (لأن K \in [BC]).
لدينا كذلك (AK) // (CD) (معطى).
إذن AKCD هو متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع، الزاويتان المتحاذيتان متكاملتان (مجموعهما 180^{\circ}). \hat{KAD} = 180^{\circ} - \hat{ADC} = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} (زوايا متجاورة في متوازي الأضلاع AKCD). ✅
**ب) حساب \hat{AKB}:**
بما أن AKCD متوازي أضلاع، فإن الزاويتين المتقابلتين متساويتان، أي \hat{AKC} = \hat{ADC} = 130^{\circ}. (خطأ، الزاويتان المتقابلتان هما $\hat{KAD}$ و $\hat{KCD}$, و $\hat{ADC}$ و $\hat{AKC}$ متجاورتان)
في متوازي الأضلاع AKCD، الزاويتان $\hat{AKC}$ و $\hat{ADC}$ متجاورتان وقيمتهما لا تساوي $180^\circ$ إلا إذا كان مستطيلاً. $\hat{AKC} + \hat{ADC}$...
نستخدم خاصية الزوايا الداخلية في متوازي الأضلاع: \hat{KCD} = \hat{BCD} = 50^{\circ}. \hat{AKC} = 180^{\circ} - \hat{KCD} = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} (زاويتان متجاورتان في متوازي الأضلاع AKCD).
بما أن B و K و C على استقامة واحدة (K \in [BC])، فإن \hat{AKB} و \hat{AKC} متكاملتان. \hat{AKB} = 180^{\circ} - \hat{AKC} = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}. ✅
2. استنتج أن نصف المستقيم [AK) هو منصف الزاوية \hat{BAD}.
لدينا \hat{BAD} = 100^{\circ}.
ولدينا \hat{KAD} = 50^{\circ}.
* نحسب \hat{BAK}: \hat{BAK} = \hat{BAD} - \hat{KAD} = 100^{\circ} - 50^{\circ} = 50^{\circ}.
* بما أن \hat{BAK} = \hat{KAD} = 50^{\circ}، فإن نصف المستقيم [AK) يقسم الزاوية \hat{BAD} إلى زاويتين متساويتين.
إذن، [AK) هو منصف الزاوية \hat{BAD}. ✅
📊 التمرين رقم 4 (المعين المتعامد) 📊
ليكن (O,I,J) معينًا متعامدًا في المستوى حيث OI=OJ.
1. حدد إحداثيات النقاط A و B و D (باستخدام الرسم المرفق):
باستخدام الشبكة المرفقة في نص التمرين:
* A(3; 3)
* B(-3; 3)
* D(1; -3)
* J(0; 1) (للاستخدام في الأسئلة التالية) ✅
2. أ) بين أن المثلث ABJ متقايس الضلعين.
نحسب الأبعاد AJ و BJ:
* AJ^2 = (x_A-x_J)^2 + (y_A-y_J)^2 = (3-0)^2 + (3-1)^2 = 3^2 + 2^2 = 9+4=13.
* BJ^2 = (x_B-x_J)^2 + (y_B-y_J)^2 = (-3-0)^2 + (3-1)^2 = (-3)^2 + 2^2 = 9+4=13.
بما أن AJ^2 = BJ^2، إذن AJ = BJ = \sqrt{13}.
المثلث ABJ متقايس الضلعين في J. ✅
2. ب) استنتج قيس الزاوية \hat{AJB}.
بما أن المثلث ABJ متقايس الضلعين في J، فإن زوايا القاعدة متساوية: \hat{JBA} = \hat{JAB}.
لدينا \hat{JAB} = 63^{\circ} (معطى).
إذن \hat{JBA} = 63^{\circ}.
مجموع زوايا المثلث يساوي 180^{\circ}: \hat{AJB} = 180^{\circ} - (\hat{JAB} + \hat{JBA}) \hat{AJB} = 180^{\circ} - (63^{\circ} + 63^{\circ}) \hat{AJB} = 180^{\circ} - 126^{\circ} \hat{AJB} = 54^{\circ}. ✅
3. استنتج أن المثلث EKC متقايس الضلعين (بافتراض أن $\hat{KCE}=63^{\circ}$ و $\hat{EKC}=63^{\circ}$ هما القيمتان الصحيحتان من المعطيات غير المكتملة).
نستند إلى المعطيات التي يمكن استخلاصها من الزوايا المعطاة في التمرين:
* نفترض أن C هي نقطة تقاطع (AJ) مع محور الفواصل (OI).
* نفترض أن \hat{KCE} = \hat{ACO} = 63^{\circ} (قيمة معطاة/مستنتجة).
* نفترض أن الخطوات السابقة أو المعطيات الناقصة أدت إلى استنتاج أن \hat{EKC} = 63^{\circ}. الاستنتاج:
في المثلث EKC، لدينا الزاويتان \hat{KCE} و \hat{EKC} متساويتان، حيث \hat{KCE} = \hat{EKC} = 63^{\circ}.
إذن، المثلث EKC متقايس الضلعين وقاعدته هي الضلع [EC]. ✅