2. لتكن العبارة F=|x-8|-|-x+13|. أحسب F في الحالتين التاليتين:
أ) x=20
ب) x=-13
الحل المفصل:
الحالة أ) x=20: F=|20-8|-|-20+13| F=|12|-|-7| F=12-7 F=5 ✅
الحالة ب) x=-13: F=|-13-8|-|-(-13)+13| F=|-21|-|13+13| F=|-21|-|26| F=21-26 F=-5 ✅
3. أحسب بطريقتين مختلفتين:
G=(-7)\times[(-2)+(-5)]
H=(-4)\times[(-5)-2]
الحل المفصل:
**حساب G:**
G=(-7)\times[(-2)+(-5)]
الطريقة 1 (حساب ما بين الأقواس أولاً): G=(-7)\times[-7] G=49 ✅
الطريقة 2 (التوزيع): G=(-7)\times(-2)+(-7)\times(-5) G=14+35 G=49 ✅
**حساب H:**
H=(-4)\times[(-5)-2]
الطريقة 1 (حساب ما بين الأقواس أولاً): H=(-4)\times[-7] H=28 ✅
الطريقة 2 (التوزيع): H=(-4)\times(-5)-(-4)\times2 H=20-(-8) H=20+8 H=28 ✅
📝 التمرين رقم 2 (اختصار وحساب عبارة) 📝
نعتبر العبارة التالية: A=[-(y+3)+15]+[x-(2-x)-y] حيث x و y عددان صحيحان نسبيان.
1. اختصر العبارة A.
A=[-(y+3)+15]+[x-(2-x)-y] A=[-y-3+15]+[x-2+x-y] (إزالة الأقواس والمعقفات) A=(-y+12)+(2x-y-2) (جمع الحدود المتشابهة في كل معقف) A=-y+12+2x-y-2 A=2x+(-y-y)+(12-2) A=2x-2y+10 ✅
2. أحسب هذه العبارة في كل حالة من الحالات التالية:
أ) إذا علمت أن x=y.
ب) x=3 و y=-7.
الحالة أ) x=y:
نعوض x بـ y في العبارة المختصرة A=2x-2y+10. A=2x-2x+10 A=10 ✅
الحالة ب) x=3 و y=-7: A=2(3)-2(-7)+10 A=6-(-14)+10 A=6+14+10 A=30 ✅
3. أوجد العدد x-y إذا علمت أن A=-3.
لدينا العبارة المختصرة: A=2x-2y+10.
ولدينا A=-3. 2x-2y+10=-3 2(x-y)+10=-3 (نستخرج 2 كعامل مشترك) 2(x-y)=-3-10 2(x-y)=-13 x-y=\frac{-13}{2}
بما أن x و y عددان صحيحان نسبيان، فإن x-y عدد صحيح نسبي. \frac{-13}{2} ليس عدداً صحيحاً.
**ملاحظة:** بناءً على معطيات التمرين، لا يوجد حل في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية \mathbb{Z}. (إذا كان السؤال يخص $\mathbb{Q}$, الإجابة هي $\frac{-13}{2}$).
نتيجة الحل في \mathbb{Z}:x-y \notin \mathbb{Z}.
النتيجة العددية:x-y=-6.5 (للتأكد من القيمة المطلوبة).
🧪 التمرين رقم 3 (اختصار ومقارنة) 🧪
نعتبر العبارتين التاليتين: E=-5+[a-13-(-15-b)] و F=(-3+a)-[2+(4-b)].
الحالة أ) مقارنة x-3 و -x+5:
نحسب الفرق: (x-3)-(-x+5) x-3+x-5 = 2x-8
الفرق يعتمد على قيمة x:
* إذا كان 2x-8>0 (أي x>4)، فإن x-3 > -x+5.
* إذا كان 2x-8<0 (أي x<4)، فإن x-3 < -x+5.
* إذا كان 2x-8=0 (أي x=4)، فإن x-3 = -x+5.
الحالة ب) مقارنة 7-(x-17) و 8+(7-x):
نختصر العبارة الأولى: A = 7-x+17 = 24-x.
نختصر العبارة الثانية: B = 8+7-x = 15-x.
نحسب الفرق: A-B=(24-x)-(15-x) A-B=24-x-15+x A-B=9
بما أن الفرق موجب، فإن 7-(x-17) > 8+(7-x). ✅
ج) ليكن a \in \mathbb{Z} و b \in \mathbb{Z} حيث a-b=-3. قارن: a-5 و b-7، ثم 11-a و -4-b، ثم (7+a)-b و a-(2+b)، ثم 14-(3-a) و -20+(b+1).
المعطى: a-b=-3.
**1. مقارنة a-5 و b-7:**
نحسب الفرق: (a-5)-(b-7) = a-5-b+7 =(a-b)+2
نعوض a-b=-3: =-3+2=-1
بما أن الفرق سالب (-1 < 0)، فإن: a-5 < b-7. ✅
**2. مقارنة 11-a و -4-b:**
نحسب الفرق: (11-a)-(-4-b) = 11-a+4+b =15-(a-b)
نعوض a-b=-3: =15-(-3)=15+3=18
بما أن الفرق موجب (18 > 0)، فإن: 11-a > -4-b. ✅
**3. مقارنة (7+a)-b و a-(2+b):**
نختصر الأولى: A = 7+(a-b) = 7+(-3) = 4.
نختصر الثانية: B = a-2-b = (a-b)-2 = -3-2 = -5.
بما أن 4 > -5، فإن: (7+a)-b > a-(2+b). ✅
**4. مقارنة 14-(3-a) و -20+(b+1):**
نختصر الأولى: C = 14-3+a = 11+a.
نختصر الثانية: D = -20+b+1 = b-19.
نحسب الفرق: C-D=(11+a)-(b-19) = 11+a-b+19 =(a-b)+30
نعوض a-b=-3: =-3+30=27
بما أن الفرق موجب (27 > 0)، فإن: 14-(3-a) > -20+(b+1). ✅
3. نعتبر المجموعة E=\{1;-8;-3;-5;2;3;5\} وليكن x عنصراً منها.
أ) أكمل بإحدى الرموز التالية: > أو < أو \ge أو \le:
x..... 20 (أكبر عنصر هو 5، إذن x أصغر من 20)
x.....-8 (أصغر عنصر هو -8، إذن x أكبر أو يساوي -8)
x..... 5 (أكبر عنصر هو 5، إذن x أصغر أو يساوي 5)
x.....-12 (أصغر عنصر هو -8، إذن x أكبر من -12)
ب) أكتب جميع عناصر المجموعات التالية:
M هي مجموعة الأعداد x بحيث x \in E و x \le 2.
N هي مجموعة الأعداد x بحيث x \in E و |x| < 3.
ج) أوجد M \cap N.
أ) إكمال الرموز:
* x < 20
* x \ge -8
* x \le 5
* x > -12ب) عناصر المجموعات: E=\{1;-8;-3;-5;2;3;5\}.
* M = \{x \in E \mid x \le 2\}. الأعداد التي أصغر أو تساوي 2 هي: M=\{1;-8;-3;-5;2\}. ✅
* N = \{x \in E \mid |x| < 3\}. قيم x التي تحقق -3 < x < 3 هي: N=\{1;2;-3 < x < 3 \cap E\} = \{1;2;-3 \notin N\}.
(القيم في E هي: 1، 2).
N=\{1;2\}. ✅
ج) تقاطع المجموعات: M \cap N هي العناصر المشتركة بين M و N. M \cap N = \{1;2\}. ✅
2. أكتب في صيغة جذاء المجاميع التالية (تفكيك إلى جذاء عوامل):
A=3ab-2a
H=(2a-5)(3a+4)+(2a-5)(a+6)
I=(3-7a)(1-3a)-(7a-3)(2a-5)
**تفكيك A (عامل مشترك a):** A=a(3b-2) ✅
**تفكيك H (عامل مشترك (2a-5)):** H=(2a-5)[(3a+4)+(a+6)] H=(2a-5)[3a+4+a+6] H=(2a-5)(4a+10) H=2(2a-5)(2a+5) ✅
**تفكيك I (تحويل (7a-3) إلى -(3-7a)):** I=(3-7a)(1-3a)-[-(3-7a)](2a-5) I=(3-7a)(1-3a)+(3-7a)(2a-5) I=(3-7a)[(1-3a)+(2a-5)] I=(3-7a)[1-3a+2a-5] I=(3-7a)(-a-4) I=-(3-7a)(a+4) ✅
3. أوجد العدد a في كل حالة من الحالات التالية: I=0 و H=0.
الحالة 1: I=0 I=-(3-7a)(a+4) I=0 تعني أن 3-7a=0 أو a+4=0. 3-7a=0 \implies 7a=3 \implies a=\frac{3}{7}. a+4=0 \implies a=-4.
(بافتراض a \in \mathbb{Q}، إذا كان a \in \mathbb{Z} فالإجابة هي a=-4 فقط).
الحالة 2: H=0 H=2(2a-5)(2a+5) H=0 تعني أن 2a-5=0 أو 2a+5=0. 2a-5=0 \implies 2a=5 \implies a=\frac{5}{2}. 2a+5=0 \implies 2a=-5 \implies a=-\frac{5}{2}.
(بافتراض a \in \mathbb{Q}، لا يوجد حل في \mathbb{Z}).
3. قارن العددين 3a^2+3a و a+2 إذا علمت a \in \mathbb{Z}^*. (تم افتراض المقارنة بين عبارات جبرية منطقية).
**مقارنة 3a^2+3a و a+2:**
نحسب الفرق: D = (3a^2+3a) - (a+2) D = 3a^2+2a-2
قيمة الفرق تعتمد على a:
* إذا كان a=1، فإن D = 3(1)^2+2(1)-2 = 3 > 0. إذن 3a^2+3a > a+2.
* إذا كان a=-1، فإن D = 3(-1)^2+2(-1)-2 = 3-2-2 = -1 < 0. إذن 3a^2+3a < a+2.
* إذا كان a=-2، فإن D = 3(4)+2(-2)-2 = 12-4-2 = 6 > 0. إذن 3a^2+3a > a+2.
النتيجة: المقارنة تعتمد على قيمة a.
✅ التمرين رقم 7 (صحيح أو خطأ) ❌
أجب بصحيح أو خطأ:
**1. العدد 712320 يقبل القسمة على 8.**
ننظر للرقم المكون من الآحاد والعشرات والمئات (320). 320 \div 8 = 40.
الإجابة: **صحيح** ✅
**2. باقي قسمة العدد 2757722 على 8 هو باقي قسمة العدد 22 على 8.**
باقي القسمة على 8 هو باقي قسمة العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام (722). 722 = 8 \times 90 + 2. الباقي هو 2.
باقي قسمة 22 على 8: 22 = 8 \times 2 + 6. الباقي هو 6. 2 \ne 6.
الإجابة: **خطأ** ❌
**3. 5+(-3-1)-(4-7)=5-3-1-4+7.**
الطرف الأيسر: 5+(-4)-(-3) = 5-4+3 = 4.
الطرف الأيمن: 5-3-1-4+7 = 2-1-4+7 = 1-4+7 = -3+7 = 4. 4 = 4.
الإجابة: **صحيح** ✅
**4. الجذاء (-3)\times77\times(-33) هو عدد سالب.**
جداء عاملين سالبين وعامل موجب هو عدد موجب.
الإجابة: **خطأ** ❌
**5. -12\times75-25\times(-12)=12\times(-100).**
الطرف الأيسر: -12\times75+12\times25 = 12(-75+25) = 12\times(-50) = -600.
الطرف الأيمن: -1200. -600 \ne -1200.
الإجابة: **خطأ** ❌
**6. إذا كان (O,I) معين متعامد في المستوي و A(-3;5) و B(-3;-5) فإن IA=IB.**
نقطة I إحداثياتها (1;0). IA=\sqrt{(-3-1)^2+(5-0)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}. IB=\sqrt{(-3-1)^2+(-5-0)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}.
الإجابة: **صحيح** ✅
**7. إذا كان (O,I,J) معين متعامد في المستوي و M(4;-3) و N(-4;3) فإن O هي منتصف [MN].**
إحداثيات منتصف [MN]: (\frac{4+(-4)}{2}, \frac{-3+3}{2}) = (0, 0). وهي إحداثيات O.
الإجابة: **صحيح** ✅
🎯 التمرين رقم 8 (اختيار من متعدد) 🎯
أذكر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المقترحة:
**1. العدد 178160 يقبل القسمة على:** (8 أو 3 أو 25)
* على 8: 160 \div 8 = 20. نعم.
* على 3: مجموع الأرقام 1+7+8+1+6+0=23. لا.
* على 25: لا ينتهي بـ 00 أو 25 أو 50 أو 75. لا.
الإجابة الصحيحة: **8** ✅
**2. العدد 25\times3^{2013}-27\times9^{1006} يقبل القسمة على:** (5 أو 8 أو 25) E = 25\times3^{2013}-3^3\times(3^2)^{1006} E = 25\times3^{2013}-3^3\times3^{2012} E = 3^{2012} (25\times3 - 3^3) E = 3^{2012} (75 - 27) E = 3^{2012} \times 48. 48 = 8 \times 6. إذن العدد يقبل القسمة على 8.
الإجابة الصحيحة: **8** ✅
**3. إذا كانت A=\{2;|-3|;-5;0;-\frac{9}{3}\} فإن المجموعة A \cap \mathbb{Z} تساوي:**
نبسط عناصر المجموعة A=\{2;3;-5;0;-3\}. جميع العناصر أعداد صحيحة نسبية.
الإجابة الصحيحة: **A (أو \{2;3;-5;0;-3\})** ✅
**4. إذا كان a-b=-9 فإن:** (a=-5 و b=-4 أو a أو a>b)
بما أن a-b=-9 (a-b < 0)، فإن a < b.
الإجابة الصحيحة: **a < b** ✅
**5. في معين متعامد إذا كانت A(-3;-7) فإن مناظرتها بالنسبة لمحور الفواصل هي:**
مناظرة نقطة (x; y) بالنسبة لمحور الفواصل هي (x; -y). B(-3; -(-7)) = B(-3; 7).
الإجابة الصحيحة: **B(-3; 7)** ✅
**6. إذا كان (O,I) معين متعامد في المستوي و A(-1;8) و B(1;-8) و C(1;8) فإن مناظرة A بالنسبة لـ O هي:**
مناظرة نقطة (x; y) بالنسبة للأصل O(0; 0) هي (-x; -y).
مناظرة A(-1; 8) هي A'(-(-1); -8) = A'(1; -8). وهي النقطة B.
الإجابة الصحيحة: **B** ✅