📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝

**العدد 4098272:**
على 3: مجموع الأرقام هو 4+0+9+8+2+7+2 = 32. بما أن 32 ليس مضاعفاً لـ 3، فالعدد 4098272 غير قابل للقسمة على 3.
على 4: العدد المتكون من الآحاد والعشرات هو 72. بما أن 72 = 4 \times 18، فالعدد 4098272 قابل للقسمة على 4.
على 8: العدد المتكون من الآحاد والعشرات والمئات هو 272. بما أن 272 = 8 \times 34، فالعدد 4098272 قابل للقسمة على 8.

**العدد 43248500:**
على 3: مجموع الأرقام هو 4+3+2+4+8+5+0+0 = 26. بما أن 26 ليس مضاعفاً لـ 3، فالعدد 43248500 غير قابل للقسمة على 3.
على 4: العدد المتكون من الآحاد والعشرات هو 00، إذن هو قابل للقسمة على 4.
على 8: العدد المتكون من الآحاد والعشرات والمئات هو 500. بما أن 500 / 8 = 62.5، فالعدد 43248500 غير قابل للقسمة على 8.

**شرط القسمة على 4:** يجب أن يكون العدد 10a + 4 قابلاً للقسمة على 4. أي 1a مضاعف لـ 4. إذن 1a \in \{12, 16\}.
إذن a \in \{2, 6\}.
**شرط القسمة على 3:** يجب أن يكون مجموع الأرقام 3+b+1+a = 4+a+b قابلاً للقسمة على 3.
**الحالة 1: إذا كان a=2:** 4+2+b = 6+b قابلاً للقسمة على 3. إذن b \in \{0, 3, 6, 9\}.
الحلول: (a, b) \in \{(2, 0), (2, 3), (2, 6), (2, 9)\}.
**الحالة 2: إذا كان a=6:** 4+6+b = 10+b قابلاً للقسمة على 3. إذن 1+b قابلاً للقسمة على 3. إذن b \in \{2, 5, 8\}.
الحلول: (a, b) \in \{(6, 2), (6, 5), (6, 8)\}.
جميع الحلول الممكنة هي: \{(2, 0), (2, 3), (2, 6), (2, 9), (6, 2), (6, 5), (6, 8)\}. ✅

**شرط القسمة على 25:** يجب أن يكون العدد 10b + 5 قابلاً للقسمة على 25. إذن b5 \in \{25, 75\}.
إذن b \in \{2, 7\}.
**شرط القسمة على 3:** يجب أن يكون مجموع الأرقام 3+b+a+5 = 8+a+b قابلاً للقسمة على 3.
**الحالة 1: إذا كان b=2:** 8+a+2 = 10+a قابلاً للقسمة على 3. إذن 1+a قابلاً للقسمة على 3. إذن a \in \{2, 5, 8\}.
الحلول: \{(2, 2), (5, 2), (8, 2)\}.
**الحالة 2: إذا كان b=7:** 8+a+7 = 15+a قابلاً للقسمة على 3. إذن a قابلاً للقسمة على 3. إذن a \in \{0, 3, 6, 9\}.
الحلول: \{(0, 7), (3, 7), (6, 7), (9, 7)\}.
جميع الحلول الممكنة هي: \{(2, 2), (5, 2), (8, 2), (0, 7), (3, 7), (6, 7), (9, 7)\}. ✅

**شرط القسمة على 5:** يجب أن يكون رقم الآحاد a \in \{0, 5\}.
**شرط القسمة على 8:** يجب أن يكون العدد b2a قابلاً للقسمة على 8.
**الحالة 1: إذا كان a=5:** يصبح العدد b25. بما أن العدد فردي، لا يمكن أن يكون قابلاً للقسمة على 8 (وهو عدد زوجي). إذن هذه الحالة مستحيلة.
**الحالة 2: إذا كان a=0:** يصبح العدد b20 قابلاً للقسمة على 8.
نختبر قيم b: b \in \{0, 1, ..., 9\}.
120 \div 8 = 15 (نعم). 320 \div 8 = 40 (نعم). 520 \div 8 = 65 (نعم). 720 \div 8 = 90 (نعم). 920 \div 8 = 115 (نعم).
020 = 20 (لا). 220 (لا). 420 (لا). 620 (لا). 820 (لا).
إذن b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}.
جميع الحلول الممكنة هي: \{(0, 1), (0, 3), (0, 5), (0, 7), (0, 9)\}. ✅

ليكن N عدداً صحيحاً طبيعياً قابلاً للقسمة على 8.
هذا يعني أن N = 8 \times k، حيث k عدد صحيح طبيعي.
نحن نعلم أن 8 = 4 \times 2.
إذن يمكن كتابة N على الشكل:
N = (4 \times 2) \times k
N = 4 \times (2k)
بما أن 2k هو عدد صحيح طبيعي، فإن N مضاعف لـ 4، وبالتالي N قابل للقسمة على 4. ✅

3^{15} + 9^7 = 3^{15} + (3^2)^7
3^{15} + 3^{14} (نستخدم قاعدة (a^n)^m = a^{n \times m})
نستخرج العامل المشترك الأصغر: 3^{14}
3^{14} (3^1 + 1)
3^{14} \times 4
بما أن العدد هو جداء لـ 4 في عدد صحيح، فإنه مضاعف لـ 4، إذن هو قابل للقسمة على 4. ✅

125^{14} + 5^{41} + 25^{20} = (5^3)^{14} + 5^{41} + (5^2)^{20}
= 5^{42} + 5^{41} + 5^{40}
نستخرج العامل المشترك الأصغر: 5^{40}
= 5^{40} (5^2 + 5^1 + 1)
= 5^{40} (25 + 5 + 1)
= 5^{40} \times 31
بما أن العدد هو جداء لـ 31 في عدد صحيح، فإنه مضاعف لـ 31، إذن هو قابل للقسمة على 31. ✅

لدينا a = 136q + 20.
نبحث عن مضاعف مشترك لـ 136 و 20.
136 = 4 \times 34
20 = 4 \times 5
إذن: a = (4 \times 34)q + (4 \times 5)
a = 4 \times (34q + 5)
بما أن 34q + 5 هو عدد صحيح طبيعي، فإن a مضاعف لـ 4. ✅

لدينا a = 136q + 20.
نقسم المقسوم عليه 136 وباقي القسمة 20 على 8.
136 \div 8 = 17 والباقي 0. إذن 136 = 8 \times 17.
20 \div 8 = 2 والباقي 4. إذن 20 = 8 \times 2 + 4.
نعوض في عبارة a:
a = (8 \times 17)q + (8 \times 2 + 4)
a = (8 \times 17q) + (8 \times 2) + 4
a = 8 \times (17q + 2) + 4
بما أن 0 \le 4 < 8، فإن القسمة الإقليدية لـ a على 8 هي:
الخارج هو 17q + 2 والباقي هو 4. ✅

بما أن I هي منتصف [DC]، فإن مناظرة D بالنسبة لـ I هي C.
مناظرة C بالنسبة لـ I هي نقطة C' حيث I منتصف [CC'].
مناظر القطعة [BC] هو القطعة [C'\mathcal{S}_I(B)]، وهي لا تساوي [AD] (التي هي موازية لـ [BC]).
الإجابة: **خطأ**. (مناظرة [BC] بالنسبة لمركز متوازي الأضلاع $O$ هي [AD]، لكن I \ne O).

مناظر المستقيم (BC) هو مستقيم يوازي (BC) ويمر من مناظرة أي نقطة عليه، مثلاً مناظرة C وهي النقطة C'.
بما أن (AD) يوازي (BC)، فإن مناظر (BC) هو مستقيم يوازي (AD)، لكنه لا يتطابق بالضرورة مع (AD).
الإجابة: **خطأ**.

مناظر نصف مستقيم هو نصف مستقيم يوازي الأصل ومعاكس في الاتجاه ويحمل صورة الطرف.
بما أن الإجابة عن السؤال 2 خاطئة، فهذه الإجابة خاطئة أيضاً.
الإجابة: **خطأ**.

المستقيم (DC) يمر من مركز التناظر I (لأن I منتصف القطعة [DC]).
أي مستقيم يمر من مركز تناظر هو صورته الذاتية بالتناظر المركزي.
الإجابة: **صواب**. ✅

لتكن D مناظرة النقطة A بالنسبة لـ I. إذن I هو منتصف [AD].
لدينا:

• I منتصف [BC] (معطى).
• I منتصف [AD] (حسب البناء).

بما أن قطري الرباعي ABDC ([BC] و [AD]) يتقاطعان في منتصفهما I، فإن ABDC هو متوازي أضلاع. مناظرة A بالنسبة لـ I هي النقطة D بحيث يكون ABDC متوازي أضلاع. ✅

لدينا:

• D مناظرة C بالنسبة لـ M، إذن M منتصف [CD].
• L مناظرة A بالنسبة لـ M، إذن M منتصف [AL].

قطرا الرباعي ADLC هما [CD] و [AL]. بما أنهما يتقاطعان في منتصفهما M، فإن ADLC هو **متوازي أضلاع**. ✅