1. أحسب العبارات التالية: a=-3-(-4) و b=|-3-|-3|| و c=-|7+(-34)|-(-8-3).
الحل: نحسب العبارات باتباع أولوية العمليات. 🧮
حساب a: a = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1 ✅
حساب b: b = |-3 - 3| = |-6| = 6 (لأن |-3|=3) ✅
حساب c: c = -|7 - 34| - (-11) c = -|-27| + 11 c = -27 + 11 = -16 ✅
2. نعتبر العبارتين A و B حيث a\in\mathbb{Z} و b\in\mathbb{Z}: A=3-[1-(a+5)-(1-b)]-(-b) و B=|-1-|-3||-(1-b)
أ) بيّن أن A=a+8 و B=3+b.
الحل: نبسط العبارتين بإزالة الأقواس والمعقفات. 🛠️
تبسيط A: A = 3 - [1 - a - 5 - 1 + b] + b A = 3 - [-a + b - 5] + b A = 3 + a - b + 5 + b A = a + (-b + b) + (3 + 5) = a + 8 ✅
تبسيط B: B = |-1 - 3| - (1 - b) B = |-4| - 1 + b B = 4 - 1 + b = 3 + b ✅
ب) قارن A و B إذا علمت أن b-a=13.
الحل: نستخدم الفرق A-B. ⚖️
A - B = (a + 8) - (3 + b) A - B = a + 8 - 3 - b A - B = (a - b) + 5
لدينا b - a = 13، إذن a - b = -13. A - B = -13 + 5 = -8
بما أن A - B = -8 < 0، فإن A < B. ✅
ج) قارن A و B إذا علمت أن |a|=3 و |b|=6 ولهما نفس العلامة.
الحل: نختبر الحالتين الممكنتين: ⚖️
**الحالة 1: a و b موجبان.** a = 3 و b = 6. A = a + 8 = 3 + 8 = 11 B = 3 + b = 3 + 6 = 9 A > B
**الحالة 2: a و b سالبان.** a = -3 و b = -6. A = a + 8 = -3 + 8 = 5 B = 3 + b = 3 + (-6) = -3 A > B
في كلتا الحالتين، نجد A > B. ✅
د) قارن B و -31 إذا علمت أن b موجب.
الحل: نستخدم قيمة B وشرط b. ⚖️
لدينا B = 3 + b.
بما أن b عدد صحيح نسبي موجب، فإن b \ge 1.
إذن: B = 3 + b \ge 3 + 1 = 4.
بما أن B \ge 4، و 4 > -31، فإن B > -31. ✅
🔬 التمرين رقم 3 (4 نقاط) - هندسة (الزوايا والمستقيمات المتوازية) 🔬
في الرسم المرافق، نعتبر المستقيمين \Delta و \Delta' متوازيين، و (D) مستقيم قاطع لهما. لدينا \hat{xOy}=115^{\circ} و \hat{zIt}=40^{\circ}. (النقطة O تنتمي لـ \Delta و I تنتمي لـ \Delta').
1. أحسب قيس الزاوية المماثلة لـ \hat{xOy}.
الحل: نستخدم خاصية الزوايا المماثلة. 📐
بما أن \Delta // \Delta'، فإن قيس الزاوية المماثلة لـ \hat{xOy} (والتي تكون في نفس موضعها على المستقيم \Delta') يساوي قيسها.
قيس الزاوية المماثلة لـ \hat{xOy} هو 115^{\circ}. ✅
2. استنتج قيس الزاوية \hat{yIO} معللاً جوابك.
الحل: نستخدم خاصية الزاويتين الداخليتين من نفس الجهة. 📐
الزاويتان \hat{xOy} و \hat{yIO} هما زاويتان داخليتان من نفس الجهة بالنسبة للقاطع (D).
بما أن \Delta // \Delta'، فإن مجموع قيسيهما يساوي 180^{\circ}. \hat{yIO} = 180^{\circ} - \hat{xOy} \hat{yIO} = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}. ✅
🏗️ التمرين رقم 4 (5 نقاط) - التناظر والتعيين في المستوى 🏗️
نعتبر في المعين المتعامد (O, I, J) النقطة A(3, -2).
1. حدد إحداثيات النقطة B مناظرة A بالنسبة للأصل O.
الحل: نطبق قاعدة مناظرة نقطة بالنسبة للأصل O. 📐
مناظرة A(x, y) بالنسبة لـ O هي B(-x, -y). x_B = -3 y_B = -(-2) = 2
إذن B(-3, 2). ✅
2. حدد إحداثيات النقطة C مناظرة A بالنسبة لمحور التراتيب (OJ).
الحل: نطبق قاعدة مناظرة نقطة بالنسبة لمحور التراتيب. 📐
مناظرة A(x, y) بالنسبة لـ (OJ) هي C(-x, y). x_C = -3 y_C = -2
إذن C(-3, -2). ✅
3. ما هي طبيعة المثلث ABC؟ علل جوابك.
الحل: نستخدم إحداثيات النقاط لتحديد طبيعة المثلث. 🧠
لدينا: A(3, -2)، B(-3, 2)، C(-3, -2).
1. **الضلع (AC):** النقطتان A و C لهما نفس الترتيب (y = -2)، إذن المستقيم (AC) أفقي (مواز لمحور الفواصل).
2. **الضلع (BC):** النقطتان B و C لهما نفس الفاصلة (x = -3)، إذن المستقيم (BC) عمودي (مواز لمحور التراتيب).
3. **الاستنتاج:** بما أن (AC) مواز لمحور الفواصل و (BC) مواز لمحور التراتيب، فإن (AC) \perp (BC).
إذن: المثلث ABC هو **مثلث قائم الزاوية في C**. ✅