فرض تأليفي رقم 1 رياضيات - الثامنة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - أسئلة الاختيار من متعدد 🚀

🎯 أحط بدائرة الإجابة الصحيحة الوحيدة:

1. إذا كان a=(-2)\times(-b)\times(-1)\times(-5) و a\in\mathbb{Z}:

إذا كان b موجب، فإن a سالب ✨

إذا كان b سالب، فإن a موجب ✨

الإجابات الأخرى

الشرح: نبسط العبارة a أولاً: 🧠

a = (-2) \times (-1) \times (-5) \times (-b)
a = (2) \times (-5) \times (-b)
a = -10 \times (-b) = 10b

بما أن a=10b:

إذا كان b موجباً (b>0)، فإن a موجب.
إذا كان b سالباً (b<0)، فإن a سالب.

💡 ملاحظة: هناك تناقض في الخيارات المكتوبة في النص (مثل: "إذا كان b موجب فان a سالب" و "إذا كان b سالب فان a موجب") مع العبارة $a=(-2)\times(-b)\times(-1)\times(-5)$ الصحيحة التي تؤدي إلى $a=10b$. اعتمدنا على الحل الرياضي الصحيح للعبارة.

2. إذا كان x عدد صحيح نسبي سالب، فإن |-x|+|x| يساوي:

أ) 2x

ب) 0

ج) -2x ✨

الشرح: بما أن x سالب، نطبق تعريف القيمة المطلقة. 🔄

بما أن x < 0، فإن:
|x| = -x (لأن -x عدد موجب)
و -x عدد موجب، إذن:
|-x| = -x
|-x| + |x| = (-x) + (-x) = -2x ✅

3. ليكن a\in\mathbb{Z} و b\in\mathbb{Z}، فإن العلاقة التي قد تكون صحيحة هي:

أ) a-b = a

ب) a-b \ge a

ج) a-b \le a ✨

الشرح: نقارن بدارسة الفرق (a-b) - a. ⚖️

(a-b) - a = -b

إذا كان -b < 0 (أي b > 0)، فإن a-b < a.
إذا كان -b = 0 (أي b = 0)، فإن a-b = a.
إذا كان -b > 0 (أي b < 0)، فإن a-b > a.

العلاقة a-b \le a صحيحة في حالتين: إذا كان b > 0 أو b = 0. وفي غياب تحديد لـ b، نختار هذه العلاقة التي تتضمن حالة التساوي وحالة الأصغر.

✅

4. ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A حيث B\hat{A}C=46^{\circ}. إذا كان (BC) و (1) (مستقيم مجهول) و B\hat{I}J=112^{\circ} (زاوية مجهولة) فإن وضعيتهما النسبية هي:

أ) متوازيان

ب) متقاطعان

ج) لا يمكن تحديد وضعيتهما النسبية ✨

الشرح: في مثلث ABC متقايس الضلعين في A، يكون: 📐

A\hat{B}C = A\hat{C}B = \frac{180^{\circ} - 46^{\circ}}{2} = 67^{\circ}.
لا يمكن تحديد الوضعية النسبية للمستقيمين (BC) والمستقيم المجهول (1) (والذي يحتوي النقطتين I و J)، لعدم كفاية المعطيات (عدم تعريف المستقيم (1) والنقطتين I و J). ✅

🎪 التمرين رقم 2 (6 نقاط) - حساب العبارات 🎪

1. أحسب العبارتين التاليتين: a=(-5)\times[3-5\times(-1)]-|-3-4| و b=-7+7\times(-1-2)-(-2)\times3

الحل: نحسب العبارات باتباع أولوية العمليات. 🧮

حساب a:
a = (-5) \times [3 - (-5)] - |-7|
a = (-5) \times [3 + 5] - 7
a = (-5) \times 8 - 7
a = -40 - 7 = -47 ✅

حساب b:
b = -7 + 7 \times (-3) - (-6)
b = -7 - 21 + 6
b = -28 + 6 = -22 ✅

2. لتكن العبارتين E و F حيث: E=-2a-5b+7b-a+5 و F=a-3b-7a-4b+12. أ) اكتب E و F في أبسط صورة.

الحل: نبسط العبارتين بتجميع الحدود المتشابهة. 🛠️

تبسيط E:
E = (-2a - a) + (-5b + 7b) + 5
E = -3a + 2b + 5 ✅

تبسيط F:
F = (a - 7a) + (-3b - 4b) + 12
F = -6a - 7b + 12 ✅

ب) بين أن E-F=3a+9b-7

الحل: نحسب الفرق E-F. 🧮

E - F = (-3a + 2b + 5) - (-6a - 7b + 12)
E - F = -3a + 2b + 5 + 6a + 7b - 12
E - F = (-3a + 6a) + (2b + 7b) + (5 - 12)
E - F = 3a + 9b - 7 ✅

ج) استنتج مقارنة لـ E و F إذا علمت أن a+3b=(-5)

الحل: نستخدم الفرق E-F ونعوض قيمة a+3b. ⚖️

لدينا: E - F = 3a + 9b - 7
نخرج العامل المشترك 3:
E - F = 3(a + 3b) - 7
نعوض a + 3b = -5:
E - F = 3(-5) - 7
E - F = -15 - 7
E - F = -22
بما أن E - F = -22 < 0، فإن E < F. ✅

🔬 التمرين رقم 3 (5 نقاط) - هندسة 🔬

تأمل الشكل حيث ABCD متوازي الأضلاع، و A\hat{B}C=80^{\circ}، و I منتصف [CD].

1. أحسب قيس الزاوية B\hat{C}D معللاً جوابك. (محور الزوايا)

الحل: نستخدم خاصية الزوايا في متوازي الأضلاع. 📐

بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن الزوايا المتتالية (المتجاورة) متكاملة (مجموعها 180^{\circ}).
لدينا A\hat{B}C + B\hat{C}D = 180^{\circ}.
B\hat{C}D = 180^{\circ} - A\hat{B}C
B\hat{C}D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}. ✅

2. أ) ابن [CM) منصف الزاوية B\hat{C}D الذي يقطع (AB) في M و (AD) في N. ب) بين أن BM=BC. (محور الزوايا)

الحل: نستخدم خاصية الزوايا المتبادلة داخلياً في متوازي الأضلاع. 📐

1. بما أن [CM) منصف B\hat{C}D، فإن:
M\hat{C}B = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}.
2. بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) // (CD).
المستقيم (CM) قاطع لهما.
الزاويتان C\hat{M}B و M\hat{C}D هما زاويتان متبادلتان داخلياً، إذن هما متقايستان:
C\hat{M}B = M\hat{C}D = 50^{\circ} (حيث M\hat{C}D هي نفسها M\hat{C}B بما أن M على (AB)).
3. في المثلث BMC، لدينا:
M\hat{C}B = 50^{\circ}
C\hat{M}B = 50^{\circ}
بما أن M\hat{C}B = C\hat{M}B، فالمثلث BMC متقايس الضلعين في B.
إذن: BM = BC. ✅

3. أ) أحسب A\hat{N}C معللاً جوابك. ب) استنتج أن ( ). (محور الزوايا)

الحل: نستخدم خاصية الزوايا في المثلث. 📐

1. في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا الزاوية A\hat{D}C تقابل الزاوية A\hat{B}C، إذن A\hat{D}C = 80^{\circ}.
2. [CN) هو منصف الزاوية B\hat{C}D، إذن N\hat{C}D = 50^{\circ}.
3. في المثلث DNC، مجموع زواياه 180^{\circ} (بما أن N على (AD)، فإن C\hat{D}N = A\hat{D}C = 80^{\circ}):
C\hat{N}D = 180^{\circ} - (C\hat{D}N + N\hat{C}D)
C\hat{N}D = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}.
4. الزاوية A\hat{N}C تكامل الزاوية C\hat{N}D (على استقامة واحدة):
A\hat{N}C = 180^{\circ} - C\hat{N}D = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}. ✅
الاستنتاج: بما أن C\hat{N}D = N\hat{C}D = 50^{\circ}، فإن المثلث DNC متقايس الضلعين في D، إذن DC = DN.

5. بيّن أن K و H متناظران بالنسبة لـ I. (محور التناظر المركزي)

الحل: نستخدم خاصية التناظر المركزي. 🧠

1. **مركز التناظر:** النقطة I هي منتصف القطعة [CD] (معطى)، إذن I هي مركز التناظر الذي يحول C إلى D والعكس: S_I(C) = D.
2. **تحويل الدوائر:** التناظر المركزي S_I يحول الدائرة \mathcal{C}_2 (مركزها C وشعاعها IC) إلى دائرة مركزها S_I(C) = D ونفس الشعاع IC.
بما أن I منتصف [CD]، فإن IC = ID.
إذن: التناظر S_I يحول الدائرة \mathcal{C}_2 إلى الدائرة \mathcal{C}_1 (مركزها D وشعاعها ID). S_I(\mathcal{C}_2) = \mathcal{C}_1.
3. **تحويل النقاط:** K نقطة تنتمي إلى الدائرة \mathcal{C}_2 (معطى). إذن S_I(K) يجب أن تنتمي إلى S_I(\mathcal{C}_2) = \mathcal{C}_1.
4. **الاستنتاج:** النقطة K و مناظرتها S_I(K) تقعان على نفس المستقيم المار من I، وهو المستقيم (HI) (معطى). النقطة H هي إحدى نقاط تقاطع المستقيم (HI) مع الدائرة \mathcal{C}_1.
بما أن S_I(K) تقع على المستقيم (HI) وتنتمي لـ \mathcal{C}_1، فإن S_I(K) = H (إذا كانت H هي نقطة التقاطع الوحيدة أو النقطة المقصودة).
**بما أن S_I(K) = H، فإن K و H متناظران بالنسبة لـ I.** ✅

🏗️ التمرين رقم 4 (4 نقاط) - حساب حرفي 🏗️

نعتبر العبارة P حيث a و b عددان صحيحان نسبيان: P=(7-3b)(1-a).

1. أنشر العبارة P.

الحل: ننشر العبارة P. 🧮

P = 7(1-a) - 3b(1-a)
P = 7 - 7a - 3b + 3ab ✅

2. لتكن العبارة Q=a(3b-4)-3b+4. بيّن أن Q=(3b-4)(a-1).

الحل: نفكك العبارة Q باستخراج العامل المشترك. 🧩

Q = a(3b-4) - (3b-4)
Q = (3b-4) \times [a - 1]
Q = (3b-4)(a-1) ✅

3. أ) فكك إلى جذاء عوامل Q-P.

الحل: نكتب P بدلالة العامل المشترك ونفكك Q-P. 🧩

نلاحظ أن: 1-a = -(a-1) و 7-3b = -(3b-7).
P = (7-3b)(1-a) = (7-3b) \times (-(a-1))
P = -(7-3b)(a-1) = (3b-7)(a-1)
إذن: Q - P = (3b-4)(a-1) - (3b-7)(a-1)
نخرج العامل المشترك (a-1):
Q - P = (a-1) \times [(3b-4) - (3b-7)]
Q - P = (a-1) \times [3b - 4 - 3b + 7]
Q - P = (a-1) \times 3 = 3(a-1) ✅

ب) قارن Q و P إذا علمت أن a>1.

الحل: نستخدم علامة الفرق Q-P. ⚖️

لدينا: Q - P = 3(a-1).
بما أن a > 1، فإن a - 1 > 0.
وبما أن 3 > 0، فإن الجداء 3(a-1) > 0.
إذن: Q - P > 0، مما يعني أن Q > P. ✅

📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝