فرض تأليفي رقم 1 رياضيات - الثامنة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) 🚀

🎯 ضع في دائرة الإجابة الصحيحة الوحيدة:

1. a و b عددان صحيحان نسبيان حيث: ab=21 و a+b<0. إذن:

أ) a\in\mathbb{Z}_{+} و b\in\mathbb{Z}_{+}

ب) a\in\mathbb{Z}_{-} و b\in\mathbb{Z}_{-} ✨

ج) a\in\mathbb{Z}_{+} و b\in\mathbb{Z}_{-}

الشرح: الجداء ab=21 موجب، إذن a و b لهما نفس العلامة (كلاهما موجب أو كلاهما سالب). 🧠

المجموع a+b<0 سالب، إذن يجب أن يكون العددان سالبين. ✨

ab = 21 > 0 \implies لهما نفس العلامة.
a+b < 0 \implies يجب أن يكونا سالبين.
a \in \mathbb{Z}_{-} و b \in \mathbb{Z}_{-} ✅

2. إذا علمت أن x، قارن بين -5x و -5y:

أ) -5x < -5y

ب) -5x > -5y ✨

ج) -5x = -5y

الشرح: عند ضرب طرفي متراجحة في عدد سالب (-5)، يجب قلب علامة الترتيب. 🔄

لدينا: x < y
بما أننا نضرب في (-5) وهو عدد سالب، فإن:
(-5) \times x > (-5) \times y
-5x > -5y ✅

3. في الرسم المرافق، ABC مثلث قائم في A و: A\hat{B}C=23^{\circ}. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (BC) و (MN)؟

أ) (BC)//(MN)

ب) متقاطعان ✨

ج) لا يمكن تحديد

الشرح: لا يوجد معطى صريح بخصوص التوازي. في غياب إثبات (تقايس زوايا متبادلة داخليًا أو متناظرة)، فإن الوضعية العامة هي التقاطع. 📐

لا يمكن الجزم بالتوازي إلا بوجود شرط محقق.
الوضعية العامة في المستوى هي التقاطع. ✅

🎪 التمرين رقم 2 (6 نقاط) 🎪

نعتبر العبارتين a=|1-13|\times2-2\times9 و b=-8\times26+25\times(14-6)

1. أحسب a و b

الحل: نحسب العبارات باتباع أولوية العمليات. 🧮

حساب a:
a = |1-13| \times 2 - 2 \times 9
a = |-12| \times 2 - 2 \times 9
a = 12 \times 2 - 18
a = 24 - 18
a = 6 ✅

حساب b:
b = -8 \times 26 + 25 \times (14-6)
b = -8 \times 26 + 25 \times 8
b = -208 + 200
b = -8 ✅

2. c و d عددان صحيحان حيث c>d. قارن العددين c+a و d+b

الحل: نقارن بدارسة علامة الفرق (c+a) - (d+b). 📐

الفرق: (c+a) - (d+b) = c + 6 - (d - 8)
= c + 6 - d + 8
= (c - d) + 14
بما أن c > d، فإن c - d > 0.
إذن: (c - d) + 14 > 0
بما أن الفرق موجب، فإن: c+a > d+b ✅

3. أوجد الأعداد الصحيحة c، التي تحقق |c-b|=a

الحل: نحل معادلة القيمة المطلقة بعد التعويض. 🧩

|c - (-8)| = 6
|c + 8| = 6
**الحالة 1:**
c + 8 = 6 \implies c = 6 - 8 = -2
**الحالة 2:**
c + 8 = -6 \implies c = -6 - 8 = -14
إذن، الأعداد الصحيحة هي c = -2 أو c = -14. ✅

🔬 التمرين رقم 3 (5 نقاط) 🔬

نعتبر العبارتين A و B حيث x و y عددان صحيحان نسبيان:
A = 1-(x-3)-[21-(7-y)-x]-2(y+1)
B = -3(3x-2y+2)+6(x-y-1)

1. بيّن أن A=-12-3y و B=-3x-12

الحل: نبسط العبارتين بإزالة الأقواس والمعقفات وتجميع الحدود المتشابهة. 🛠️

تبسيط A:
A = 1 - x + 3 - [21 - 7 + y - x] - 2y - 2
A = 4 - x - [14 + y - x] - 2y - 2
A = 4 - x - 14 - y + x - 2y - 2
A = (-x + x) + (-y - 2y) + (4 - 14 - 2)
A = 0 + (-3y) + (-12) = -12 - 3y ✅

تبسيط B:
B = -9x + 6y - 6 + 6x - 6y - 6
B = (-9x + 6x) + (6y - 6y) + (-6 - 6)
B = -3x + 0 + (-12) = -3x - 12 ✅

2. أحسب A+B إذا علمت أن x+y=-3

الحل: نجمع العبارتين A و B ثم نعوض قيمة x+y. 🧮

A + B = (-12 - 3y) + (-3x - 12)
A + B = -3x - 3y - 24
A + B = -3(x + y) - 24
نعوض x + y = -3:
A + B = -3(-3) - 24
A + B = 9 - 24
A + B = -15 ✅

3. قارن A و B في حالة x-y=-2

الحل: نقارن بدارسة علامة الفرق A-B. ⚖️

A - B = (-12 - 3y) - (-3x - 12)
A - B = -12 - 3y + 3x + 12
A - B = 3x - 3y = 3(x - y)
نعوض x - y = -2:
A - B = 3 \times (-2) = -6
بما أن A - B = -6 < 0، فإن: A < B ✅

🏗️ التمرين رقم 4 (5 نقاط) 🏗️

ليكن (O, I, J) معينا متعامدا في المستوى. لدينا (AB)//(DE) و B\hat{A}D=60^{\circ} و E\hat{D}F=12^{\circ} و E\hat{F}D=108^{\circ}.

1. أ) حدد إحداثيات النقاط A و B و D و E (من الرسم)

الحل: قراءة إحداثيات النقاط من الرسم. 🔢

A (3, 3)
B (-4, 2)
D (2, -3)
E (5, -1) ✅

ب) بيّن أن O منتصف [BD] (تصحيح باستعمال مفهوم التناظر المركزي)

الحل: نطبق قاعدة إحداثيات منتصف قطعة مستقيم. 📐

إحداثيات منتصف [BD] هي: M_x = \frac{x_B + x_D}{2} و M_y = \frac{y_B + y_D}{2}.
M_x = \frac{-4 + 2}{2} = -1
M_y = \frac{2 + (-3)}{2} = -0.5
بما أن إحداثيات O هي (0, 0)، و (-1, -0.5) \neq (0, 0).
💡 ملاحظة: O ليست منتصف [BD]. يوجد تناقض في المعطيات الرسومية.

2. بيّن أن A\hat{D}E=60^{\circ} (تصحيح باستعمال محور الزوايا)

الحل: نستخدم خاصية الزوايا الداخلية من نفس الجهة. 📐

لدينا (AB)//(DE) و (AD) قاطع.
B\hat{A}D و A\hat{D}E هما زاويتان داخليتان من نفس الجهة.
A\hat{D}E + B\hat{A}D = 180^{\circ}
A\hat{D}E = 180^{\circ} - 60^{\circ}
A\hat{D}E = 120^{\circ}
💡 ملاحظة: القيس الصحيح هو 120°. هناك خطأ في نص السؤال الذي يطلب إثبات أن القيس هو 60°.

3. أ) بيّن أن (EG)//(AD)

ملاحظة: هذا السؤال ناقص (النقطة G غير معرّفة).

📐 التمرين رقم 5 (4 نقاط) 📐

تأمل الشكل التالي حيث: B مناظرة A بالنسبة لـ O، و F\hat{A}B=F\hat{E}B=50^{\circ}.

1. ماذا تمثل النقطة O بالنسبة للقطعة [AB]؟ علل جوابك. (محور التناظر المركزي)

الحل: نعتمد على تعريف التناظر المركزي. 📐

بما أن B مناظرة A بالنسبة إلى O، فهذا يعني أن O هي النقطة التي تقع على (AB) وتتوسط المسافة بين A و B.
💡 إذن O هي منتصف القطعة [AB]. ✅

2. أحسب قيس الزاوية A\hat{E}F.

ملاحظة: بالنظر إلى المعطيات المتوفرة، لا يمكن حساب هذه الزاوية بشكل مباشر. لا توجد علاقة هندسية بين النقاط تسمح بحسابها ضمن محوري "الزوايا" و"التناظر المركزي" فقط. قد تكون هناك معطيات مفقودة في الرسم أو النص.

📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝