سلسلة تمارين ومراجعة في الرياضيات

المستوى: 9 أساسي - تونس
التمرين 1
عمليات على الجذور التربيعية

أكتب على ورقة تحريرك في كل مرة رقم السؤال ثم أجب بـ "صحيح" أو "خطأ":

1) إن كان $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ فإن $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$ هو مقلوب $b = \sqrt{2}$.
2) العدد $\sqrt{32} + \sqrt{50} - \sqrt{27} - \sqrt{3}$ يساوي $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.
3) العدد $\frac{2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} - \frac{10\sqrt{3}-12}{13}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
4) العدد $|1-\sqrt{2}| - |\pi-2|$ هو عدد سالب.
5) إذا كان $ABC$ مثلثا و $D$ نقطة من $\left[ BC \right]$ فإن $\text{BD} \times S_{\text{ABD}} = \text{DC} \times S_{\text{ADC}}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 1
1) العبارة: إن كان $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ فإن $\frac{1}{\sqrt{2}}$ هو مقلوب $b = \sqrt{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
إذن $\frac{1}{\sqrt{2}}$ هو مقلوب $\sqrt{2}$ (وهي معلومة صحيحة في حد ذاتها).
الإجابة: صحيح
2) العبارة: $\sqrt{32} + \sqrt{50} - \sqrt{27} - \sqrt{3} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{32} + \sqrt{50} - \sqrt{27} - \sqrt{3} = 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$= (4+5)\sqrt{2} - (3+1)\sqrt{3}$
$= 9\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$
بما أن $9\sqrt{2} - 4\sqrt{3} \neq \sqrt{2} - \sqrt{3}$.
الإجابة: خطأ
3) العبارة: $\frac{2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} - \frac{10\sqrt{3}-12}{13} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
نختصر الحد الأول: $\frac{2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}$
$= \frac{10\sqrt{3} + 4(3)}{5^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{10\sqrt{3} + 12}{25 - 12}$
$= \frac{10\sqrt{3} + 12}{13}$
العبارة تصبح: $\frac{10\sqrt{3} + 12}{13} - \frac{10\sqrt{3}-12}{13}$
$= \frac{(10\sqrt{3} + 12) - (10\sqrt{3}-12)}{13} = \frac{10\sqrt{3} + 12 - 10\sqrt{3} + 12}{13}$
$= \frac{24}{13}$
بما أن $\frac{24}{13} \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
الإجابة: خطأ
4) العبارة: $|1-\sqrt{2}| - |\pi-2|$ هو عدد سالب
نعلم أن $\sqrt{2} \approx 1.41$ و $\pi \approx 3.14$.
$1 - \sqrt{2} < 0$ إذن $|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$
$\pi - 2 > 0$ إذن $|\pi-2| = \pi-2$
العدد هو: $(\sqrt{2}-1) - (\pi-2) = \sqrt{2} - 1 - \pi + 2$
$= \sqrt{2} + 1 - \pi$
بما أن $\sqrt{2} + 1 \approx 2.41$ و $\pi \approx 3.14$.
إذن $\sqrt{2} + 1 < \pi$ ، وبالتالي $\sqrt{2} + 1 - \pi < 0$.
العدد هو عدد سالب.
الإجابة: صحيح
5) العبارة: إذا كان $ABC$ مثلثا و $D \in \left[ BC \right]$ فإن $\text{BD} \times S_{\text{ABD}} = \text{DC} \times S_{\text{ADC}}$.
مساحة المثلث $S = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الإرتفاع}}{2}$
للمثلثين $ABD$ و $ADC$ نفس الإرتفاع $h$ النازل من $A$ على القاعدة $(BC)$.
$S_{\text{ABD}} = \frac{\text{BD} \times h}{2} \implies \text{BD} = \frac{2 S_{\text{ABD}}}{h}$
$S_{\text{ADC}} = \frac{\text{DC} \times h}{2} \implies \text{DC} = \frac{2 S_{\text{ADC}}}{h}$
نضرب العلاقتين: $\text{BD} \times S_{\text{ABD}} = \frac{2 S_{\text{ABD}}}{h} \times S_{\text{ABD}} = \frac{2 S_{\text{ABD}}^2}{h}$
و $\text{DC} \times S_{\text{ADC}} = \frac{2 S_{\text{ADC}}}{h} \times S_{\text{ADC}} = \frac{2 S_{\text{ADC}}^2}{h}$
لتحقق المساواة يجب أن يكون $S_{\text{ABD}}^2 = S_{\text{ADC}}^2$، أي $S_{\text{ABD}} = S_{\text{ADC}}$، وهذا يتحقق فقط إذا كان $D$ منتصف $\left[ BC \right]$.
بما أن $D$ هي أي نقطة من $\left[ BC \right]$، فالمساواة خاطئة بصفة عامة.
الإجابة: خطأ
التمرين 2
حسابات وتحليل تعابير جبرية

نعتبر العبارتين التاليتين: $a = -9 - \left[ -5 - \left( 7 - \sqrt{7} \right) \right] - \left( 2\sqrt{7} - 5 \right)$ و $b = \left( 2 - \sqrt{7} \right) \left( 1 - \sqrt{7} \right) + 6\sqrt{7} - 1$

1) بيّن أن $a = 8 - 3\sqrt{7}$ و $b = 8 + 3\sqrt{7}$
2) أ) بيّن أن $a$ مقلوب $b$ ثم استنتج أن $8 + 3\sqrt{7} > 8$
2) ب) احسب $|a| \times |b|$
2) ج) استنتج أن $\sqrt{7} \left( \frac{1}{8 - 3\sqrt{7}} + \frac{1}{8 + 3\sqrt{7}} \right)$ يقبل القسمة على 6
3) نعتبر العبارة $c = \sqrt{28} - \sqrt{175} - 2\sqrt{64}$
3) أ) بيّن أن $c = -3\sqrt{7} - 16$
3) ب) بيّن أن $b$ و $c$ عددان متقابلان.
3) ج) استنتج أن $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{c+8}{b}$ عدد أولي.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 2
1) تبسيط $a$:
$a = -9 - \left[ -5 - \left( 7 - \sqrt{7} \right) \right] - \left( 2\sqrt{7} - 5 \right)$
$a = -9 - \left[ -5 - 7 + \sqrt{7} \right] - 2\sqrt{7} + 5$
$a = -9 - \left[ -12 + \sqrt{7} \right] - 2\sqrt{7} + 5$
$a = -9 + 12 - \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 5$
$a = (-9 + 12 + 5) + (-\sqrt{7} - 2\sqrt{7})$
$a = 8 - 3\sqrt{7}$
تبسيط $b$:
$b = \left( 2 - \sqrt{7} \right) \left( 1 - \sqrt{7} \right) + 6\sqrt{7} - 1$
$b = (2 - 2\sqrt{7} - \sqrt{7} + 7) + 6\sqrt{7} - 1$
$b = (9 - 3\sqrt{7}) + 6\sqrt{7} - 1$
$b = (9 - 1) + (-3\sqrt{7} + 6\sqrt{7})$
$b = 8 + 3\sqrt{7}$
2) أ) إثبات أن $a$ مقلوب $b$:
نحسب الجداء: $a \times b = (8 - 3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7})$
نطبق المتطابقة الهامة $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$: $(8)^2 - (3\sqrt{7})^2$
$= 64 - (9 \times 7) = 64 - 63 = 1$
بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ مقلوب $b$.
الاستنتاج: بما أن $a$ مقلوب $b$ و $a>0$ (لأن $8 = \sqrt{64}$ و $3\sqrt{7} = \sqrt{63}$)، فإن $b$ عدد موجب.
لدينا $b = 8 + 3\sqrt{7}$، وبما أن $3\sqrt{7} > 0$، فإن $8 + 3\sqrt{7} > 8$.
2) ب) حساب $|a| \times |b|$:
بما أن $a \times b = 1$.
فإن $|a| \times |b| = |a \times b| = |1|$
$|a| \times |b| = 1$
2) ج) استنتاج قابلية القسمة على 6:
العبارة هي: $E = \sqrt{7} \left( \frac{1}{8 - 3\sqrt{7}} + \frac{1}{8 + 3\sqrt{7}} \right)$
نعوض $a$ و $b$: $E = \sqrt{7} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$
نلاحظ أن $a$ مقلوب $b$، أي $b = \frac{1}{a}$ و $a = \frac{1}{b}$.
$E = \sqrt{7} \left( b + a \right)$
نحسب $a+b$: $a + b = (8 - 3\sqrt{7}) + (8 + 3\sqrt{7}) = 16$
$E = \sqrt{7} \times 16 = 16\sqrt{7}$ (يوجد خطأ في التمرين الأصلي، حيث أن هذه القيمة لا تقبل القسمة على 6). **لنفترض أن المقصود هو $16$ وليس $16\sqrt{7}$.**
**ملاحظة هامة:** إذا كان المقصود هو $E = 8 - 3\sqrt{7} + 8 + 3\sqrt{7} = 16$ فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 6. يجب مراجعة نص التمرين الأصلي لتحديد الخطأ (هل هو $a+b$ أو $E$).
**الفرضية الأقرب للمنهاج:** يفترض أن نتيجة التبسيط تقبل القسمة على 6. لنحسب $\sqrt{7} \left( \frac{1}{8 - 3\sqrt{7}} + \frac{1}{8 + 3\sqrt{7}} \right)$:
$E = \sqrt{7} \left( \frac{b+a}{ab} \right) = \sqrt{7} \left( \frac{16}{1} \right) = 16\sqrt{7}$
بما أن $16\sqrt{7}$ ليس عددًا صحيحًا، فهو لا يقبل القسمة على 6. **لذلك، يوجد خطأ في نص السؤال 2) ج)**. لنعتبر الإجابة الصحيحة هي $16\sqrt{7}$.
3) أ) تبسيط $c$:
$c = \sqrt{28} - \sqrt{175} - 2\sqrt{64}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$
$\sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5\sqrt{7}$
$2\sqrt{64} = 2 \times 8 = 16$
$c = 2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 16$
$c = (2 - 5)\sqrt{7} - 16 = -3\sqrt{7} - 16$
3) ب) إثبات أن $b$ و $c$ عددان متقابلان:
نحسب $b+c$: $b + c = (8 + 3\sqrt{7}) + (-16 - 3\sqrt{7})$
$b + c = 8 + 3\sqrt{7} - 16 - 3\sqrt{7}$
$b + c = (8 - 16) + (3\sqrt{7} - 3\sqrt{7})$
$b + c = -8$
بما أن $b + c = -8 \neq 0$، فـ $b$ و $c$ ليسا عددين متقابلين. (يوجد خطأ في نص السؤال 3) ب)). **ربما المقصود هو $b$ و $-c-8$ متقابلان، أو $b+c=0$.**
بالنظر إلى النتائج: $b = 8 + 3\sqrt{7}$ و $c = -16 - 3\sqrt{7}$. هما عددان متقابلان فقط إذا كانت $c = -b$، أي $c = -8 - 3\sqrt{7}$.
3) ج) استنتاج أن $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{c+8}{b}$ عدد أولي:
العبارة هي: $F = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{c+8}{b}$
بما أن $a$ مقلوب $b$، فإن $\frac{1}{a} = b$.
$F = b + \frac{1}{b} + \frac{c+8}{b}$
$F = b + \frac{1+c+8}{b} = b + \frac{c+9}{b}$
نعوض $c$: $c+9 = (-16 - 3\sqrt{7}) + 9 = -7 - 3\sqrt{7}$
$F = (8 - 3\sqrt{7}) + \frac{-7 - 3\sqrt{7}}{8 + 3\sqrt{7}}$ (تم تصحيح $b$ إلى $a$ في الحد الأول لتبسيط الحسابات)
نستخدم $a$ و $b$ كالمعتاد: $F = b + \frac{c+9}{b}$
$c+9 = -7 - 3\sqrt{7}$
$\frac{c+9}{b} = \frac{-7 - 3\sqrt{7}}{8 + 3\sqrt{7}} = \frac{-(7 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7})}{1}$
$= -(56 - 21\sqrt{7} + 24\sqrt{7} - 9(7)) = -(56 + 3\sqrt{7} - 63)$
$= -(-7 + 3\sqrt{7}) = 7 - 3\sqrt{7}$
$F = b + (7 - 3\sqrt{7}) = (8 + 3\sqrt{7}) + (7 - 3\sqrt{7})$
$F = 8 + 7 = 15$
بما أن $15 = 3 \times 5$، فـ 15 ليس عددًا أوليًا. (يوجد خطأ في نص السؤال). **العدد الأولي الوحيد هو 2.**
التمرين 3
متوازي أضلاع والمستقيمات المتوازية

إنتقل الرسم التالي على ورقة تحريرك كما هو مقدم حيث $\text{ABCD}$ متوازي أضلاع و $\text{DC} = 8$ سم و $\text{DA} = 3$ سم و $\widehat{\text{ADC}} = 50^{\circ}$.

1) أ) أرسم المستقيم المار من $C$ والعمودي على $\left( \text{AB} \right)$ حيث يقطع $\left( \text{AD} \right)$ في $E$ و $\left[ \text{AB} \right]$ في $F$.
1) ب) بيّن أن $\frac{\text{EA}}{\text{ED}} = \frac{\text{AF}}{\text{DC}}$
1) ج) بيّن أن $\frac{\text{FB}}{\text{FA}} = \frac{\text{FC}}{\text{FE}} = \frac{\text{BC}}{\text{AE}}$
1) د) استنتج أن $\frac{\text{EC}}{\text{DC}} = \frac{\text{FC}}{\text{FB}}$
2) عيّن $M$ منتصف $\left[ \text{DC} \right]$. المستقيم المار من $M$ والموازي لـ $\left( \text{ED} \right)$ يقطع $\left[ \text{EC} \right]$ في $H$.
2) أ) بيّن أن $H$ منتصف $\left[ \text{EC} \right]$.
2) ب) بيّن أن $\frac{\text{CM}}{\text{CD}} = \frac{\text{CH}}{\text{CE}} = \frac{1}{2}$
2) ج) استنتج أن $\frac{\text{CH}}{\text{CM}} = \frac{\text{FC}}{\text{FB}}$
3) عيّن $K$ منتصف $\left[ \text{DE} \right]$.
3) أ) بيّن أن $\left( \text{MK} \right) \parallel \left( \text{CE} \right)$ و $\text{MK} = \frac{1}{2} \text{CH}$
3) ب) استنتج أن $\text{MCHK}$ مستطيل.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 3
1) ب) إثبات $\frac{\text{EA}}{\text{ED}} = \frac{\text{AF}}{\text{DC}}$:
في المثلث $\triangle \text{EFC}$: لا يمكن ذلك مباشرةً.
نلاحظ أن $\text{AB} \parallel \text{DC}$ لأن $\text{ABCD}$ متوازي أضلاع.
المستقيم $\left( \text{EF} \right)$ يقطع $\left( \text{AB} \right)$ في $F$ و $\left( \text{DC} \right)$ في $C$ (خطأ في نص التمرين: $(AB)$ و $(DC)$ متوازيان. المستقيم $C$ عمودي على $(AB)$ و $F \in [AB]$ و $E \in (AD)$).
نعتبر المستقيمين المتقاطعين $\left( \text{AD} \right)$ و $\left( \text{CD} \right)$ (خطأ في الرسم). يجب أن تكون النقطة $C$ و $D$ متطابقة أو $E$ نقطة تقاطع.
**تصحيح الرسم/البيانات:** المستقيم المار من $C$ والعمودي على $\left( \text{AB} \right)$ يقطع $\left( \text{AD} \right)$ في $E$ و $\left( \text{AB} \right)$ في $F$. بما أن $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DC} \right)$ فإن $\left( \text{EC} \right) \perp \left( \text{DC} \right)$، أي $\widehat{\text{DCE}} = 90^{\circ}$.
**بتطبيق مبرهنة طالس في $\triangle \text{AEC}$ و $\triangle \text{DFC}$ (بعد تصحيح النقاط):**
في المثلث $\triangle \text{EFC}$: لدينا $\left( \text{AD} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ و $\left( \text{DC} \right) \parallel \left( \text{AB} \right)$.
نعتبر المستقيمين المتقاطعين $\left( \text{DA} \right)$ و $\left( \text{DC} \right)$ يقطعهما المستقيمان المتوازيان $\left( \text{AB} \right)$ و $\left( \text{DC} \right)$.
**نعتبر $\triangle \text{AEF}$ و $\triangle \text{DEC}$ (بافتراض $\text{DC} \parallel \text{AF}$):**
1. التوازي: $\left( \text{AF} \right) \parallel \left( \text{DC} \right)$ (لأن $F \in \left( \text{AB} \right)$ و $\text{AB} \parallel \text{DC}$)
2. التوازي: $\text{E}$ تنتمي إلى $\left( \text{AD} \right)$ و $\text{E}$ تنتمي إلى $\left( \text{CF} \right)$ (خطأ في نص السؤال: $C, F, E$ ليست على استقامة واحدة). **ربما المقصود هو $\text{E}$ نقطة تقاطع $\left( \text{AD} \right)$ و $\left( \text{CF} \right)$ (أو $\left( \text{AB} \right)$).**
**بتطبيق طالس في $\triangle \text{EDC}$ و $\triangle \text{EFA}$ (نقطة التقاطع $E$):**
1. الاستقامة: $\text{D} \in \left( \text{AE} \right)$ و $\text{C} \in \left( \text{FE} \right)$.
2. التوازي: $\left( \text{DC} \right) \parallel \left( \text{AF} \right)$ (لأن $\text{ABCD}$ متوازي أضلاع).
3. النسبة: $\frac{\text{EA}}{\text{ED}} = \frac{\text{AF}}{\text{DC}} = \frac{\text{EF}}{\text{EC}}$.
إذن **صحيح**، إذا كان $E$ نقطة تقاطع $\left( \text{AD} \right)$ و $\left( \text{CF} \right)$.
1) ج) إثبات $\frac{\text{FB}}{\text{FA}} = \frac{\text{FC}}{\text{FE}} = \frac{\text{BC}}{\text{AE}}$:
**بتطبيق طالس في $\triangle \text{EAB}$ و $\triangle \text{ECF}$ (نقطة التقاطع $C$):** لا يمكن ذلك.
**نعتبر طالس في $\triangle \text{FBC}$ و $\triangle \text{FAE}$ (نقطة التقاطع $F$):**
1. الاستقامة: $\text{B} \in \left( \text{AF} \right)$ و $\text{C} \in \left( \text{EF} \right)$.
2. التوازي: $\left( \text{BC} \right) \parallel \left( \text{AE} \right)$ (لأن $E \in \left( \text{AD} \right)$ و $\text{BC} \parallel \text{AD}$ في متوازي الأضلاع).
3. النسبة: $\frac{\text{FB}}{\text{FA}} = \frac{\text{FC}}{\text{FE}} = \frac{\text{BC}}{\text{AE}}$.
إذن **صحيح**.
2) أ) إثبات أن $H$ منتصف $\left[ \text{EC} \right]$:
في المثلث $\triangle \text{EDC}$:
1. الانتماء: $M$ تنتمي إلى $\left[ \text{DC} \right]$ (منتصفها).
2. التوازي: $\left( \text{MH} \right) \parallel \left( \text{ED} \right)$ (حسب المعطيات).
3. النتيجة: حسب مبرهنة طالس (أو مبرهنة الموسط)، بما أن $\left( \text{MH} \right)$ يمر بمنتصف $\left[ \text{DC} \right]$ ويوازي $\left( \text{ED} \right)$، فإنه يقطع الضلع الثالث $\left[ \text{EC} \right]$ في منتصفه.
إذن $H$ هو منتصف $\left[ \text{EC} \right]$.
2) ب) إثبات $\frac{\text{CM}}{\text{CD}} = \frac{\text{CH}}{\text{CE}} = \frac{1}{2}$:
**النسبة الأولى:** $M$ منتصف $\left[ \text{CD} \right]$ (حسب المعطيات)، إذن $\frac{\text{CM}}{\text{CD}} = \frac{1}{2}$.
**النسبة الثانية:** $H$ منتصف $\left[ \text{CE} \right]$ (حسب 2) أ))، إذن $\frac{\text{CH}}{\text{CE}} = \frac{1}{2}$.
إذن $\frac{\text{CM}}{\text{CD}} = \frac{\text{CH}}{\text{CE}} = \frac{1}{2}$.
3) أ) إثبات $\left( \text{MK} \right) \parallel \left( \text{CE} \right)$ و $\text{MK} = \frac{1}{2} \text{CE}$:
في المثلث $\triangle \text{EDC}$:
**1. الانتماء:** $K$ منتصف $\left[ \text{DE} \right]$ و $M$ منتصف $\left[ \text{DC} \right]$ (حسب المعطيات).
**2. النتيجة:** حسب مبرهنة الموسط، فإن $\left( \text{MK} \right)$ هو موسط في المثلث $\triangle \text{EDC}$.
إذن $\left( \text{MK} \right) \parallel \left( \text{CE} \right)$ و $\text{MK} = \frac{1}{2} \text{CE}$.
ولدينا $H$ منتصف $\left[ \text{CE} \right]$، إذن $\text{CH} = \frac{1}{2} \text{CE}$.
وبالتالي $\text{MK} = \text{CH}$.
3) ب) استنتاج أن $\text{MCHK}$ مستطيل:
لدينا $\left( \text{MK} \right) \parallel \left( \text{CE} \right)$ (من 3) أ))، و $H \in \left[ \text{CE} \right]$، إذن $\left( \text{MK} \right) \parallel \left( \text{CH} \right)$.
ولدينا $\text{MK} = \text{CH}$ (من 3) أ)).
إذن الرباعي $\text{MCHK}$ متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان).
لدينا $\left( \text{EF} \right) \perp \left( \text{DC} \right)$ (من 1) ب) بعد التصحيح: $\left( \text{CF} \right) \perp \left( \text{AB} \right)$ و $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DC} \right)$).
إذن $\left( \text{CH} \right) \perp \left( \text{CD} \right)$ (لأن $H \in \left( \text{CF} \right)$ و $M \in \left( \text{CD} \right)$).
وبالتالي $\widehat{\text{MCH}} = 90^{\circ}$.
الرباعي $\text{MCHK}$ متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة، إذن $\text{MCHK}$ مستطيل.
التمرين 4
نظرية طالس في المثلث

ليكن المثلث $\text{ABC}$ حيث $\text{AC} = 6$ و $\text{BC} = 4$ و $\text{AB} = 7$.

1) عيّن النقطة $\text{M}$ من $\left[ \text{AB} \right]$ حيث $\text{AM} = 5$. إبن المستقيم الموازي لـ $\left( \text{BC} \right)$ والمار من $M$ والذي يقطع $\left[ \text{AC} \right]$ في $N$.
1) أ) احسب $\text{AN}$.
1) ب) بيّن أن $\text{MN} = \frac{30}{7}$.
2) المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $\left( \text{AB} \right)$ يقطع $\left( \text{BC} \right)$ في النقطة $K$.
2) أ) احسب $\text{NK}$.
2) ب) استنتج طبيعة الرباعي $\text{MNKB}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 4
1) أ) حساب $\text{AN}$ (مبرهنة طالس):
في المثلث $\triangle \text{ABC}$:
1. الانتماء: $\text{M} \in \left[ \text{AB} \right]$ و $\text{N} \in \left[ \text{AC} \right]$.
2. التوازي: $\left( \text{MN} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ (حسب المعطيات).
3. النسبة: حسب مبرهنة طالس: $\frac{\text{AM}}{\text{AB}} = \frac{\text{AN}}{\text{AC}} = \frac{\text{MN}}{\text{BC}}$
نطبق النسبة الأولى: $\frac{5}{7} = \frac{\text{AN}}{6}$
إذن: $\text{AN} = \frac{5 \times 6}{7} = \frac{30}{7}$
1) ب) إثبات $\text{MN} = \frac{30}{7}$:
نطبق النسبة الثالثة من مبرهنة طالس: $\frac{\text{MN}}{\text{BC}} = \frac{\text{AM}}{\text{AB}}$
نطبق: $\frac{\text{MN}}{4} = \frac{5}{7}$
إذن: $\text{MN} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
**ملاحظة:** يوجد خطأ في نص التمرين الأصلي (المطلوب $30/7$). النتيجة الصحيحة هي $\frac{20}{7}$.
2) أ) حساب $\text{NK}$:
في المثلث $\triangle \text{ABC}$:
1. الانتماء: $\text{N} \in \left[ \text{AC} \right]$ و $\text{K} \in \left[ \text{BC} \right]$.
2. التوازي: $\left( \text{NK} \right) \parallel \left( \text{AB} \right)$ (حسب المعطيات).
3. النسبة: حسب مبرهنة طالس: $\frac{\text{CN}}{\text{CA}} = \frac{\text{CK}}{\text{CB}} = \frac{\text{NK}}{\text{AB}}$
نحسب $\text{CN} = \text{AC} - \text{AN} = 6 - \frac{30}{7} = \frac{42-30}{7} = \frac{12}{7}$
نطبق النسبة الأخيرة: $\frac{\text{NK}}{7} = \frac{\text{CN}}{\text{CA}} = \frac{12/7}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$
إذن: $\text{NK} = 7 \times \frac{2}{7} = 2$
2) ب) استنتاج طبيعة الرباعي $\text{MNKB}$:
لدينا $\left( \text{MN} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ (من 1) و $K \in \left( \text{BC} \right)$، إذن $\left( \text{MN} \right) \parallel \left( \text{BK} \right)$.
ولدينا $\left( \text{NK} \right) \parallel \left( \text{AB} \right)$ (من 2) و $M \in \left( \text{AB} \right)$، إذن $\left( \text{NK} \right) \parallel \left( \text{MB} \right)$.
الرباعي $\text{MNKB}$ فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين.
إذن $\text{MNKB}$ هو **متوازي أضلاع**.
التمرين 5
شبه منحرف وخصائص الأقطار

$\text{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\text{A}$ و $\text{D}$ بحيث $\text{AD} = 4$ سم و $\text{DC} = 3$ سم و $\text{AB} = 9$ سم و $\left( \text{CD} \right) \parallel \left( \text{AB} \right)$. الأقطار $\left[ \text{AC} \right]$ و $\left[ \text{BD} \right]$ تتقاطع في $O$.

(وحدة القيس هي السنتيمتر)

1) بيّن أن $\widehat{\text{AOB}} = 20^{\circ}$ (خطأ محتمل، الزاوية غير محددة). **سنحسب النسب الهندسية.**
2) إبن النقطة $M$ من $\left[ \text{AD} \right]$ حيث $\text{AM} = \frac{2}{5} \text{AD}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 5
1) إثبات الزاوية $\widehat{\text{AOB}} = 20^{\circ}$:
هذا النوع من الأسئلة يقع عادة ضمن **الهندسة الفضائية** أو **المثلثات المتقايسة** أو **حساب المثلثات** (وهو خارج المنهاج). **بالإمكان حساب النسب فقط بتطبيق مبرهنة طالس.**
في المثلثين $\triangle \text{OAB}$ و $\triangle \text{OCD}$:
1. التوازي: $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{CD} \right)$ (حسب المعطيات).
2. التناسب: حسب مبرهنة طالس (حالة تقاطع الأقطار): $\frac{\text{OA}}{\text{OC}} = \frac{\text{OB}}{\text{OD}} = \frac{\text{AB}}{\text{CD}}$
نعوض: $\frac{\text{OA}}{\text{OC}} = \frac{\text{OB}}{\text{OD}} = \frac{9}{3} = 3$
أي أن: $\text{OA} = 3 \text{OC}$ و $\text{OB} = 3 \text{OD}$.
**خلاصة:** لا يمكن إثبات الزاوية $\widehat{\text{AOB}} = 20^{\circ}$ بدون استخدام حساب المثلثات (وهو خارج المنهاج).
2) إبن النقطة $M$ من $\left[ \text{AD} \right]$ حيث $\text{AM} = \frac{2}{5} \text{AD}$:
لدينا $\text{AD} = 4$ سم.
المطلوب هو قسمة القطعة $\left[ \text{AD} \right]$ إلى 5 أجزاء متساوية وأخذ جزأين منها.
طريقة الإنشاء (باستخدام طالس):
1. نرسم نصف مستقيم $\left[ \text{AX} \right)$ بحيث $\left[ \text{AX} \right)$ لا يمر بـ $D$.
2. نعيّن على $\left[ \text{AX} \right)$ 5 نقاط $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ بحيث $AP_1 = P_1P_2 = \dots = P_4P_5$ (نأخذ أي طول عشوائي بالبوصلة).
3. نرسم المستقيم $\left( \text{DP}_5 \right)$.
4. نرسم المستقيم الموازي لـ $\left( \text{DP}_5 \right)$ والمار بالنقطة $P_2$. هذا المستقيم يقطع $\left[ \text{AD} \right]$ في $M$.
**التبرير:** بتطبيق مبرهنة طالس في $\triangle \text{ADP}_5$، لدينا $\frac{\text{AM}}{\text{AD}} = \frac{\text{AP}_2}{\text{AP}_5} = \frac{2}{5}$.
التمرين 6
متوازي أضلاع ونظرية طالس

$\text{ABCD}$ متوازي أضلاع بحيث $\text{AB} = 10$ سم و $\text{CB} = 6$ سم و $\text{AC} = 8$ سم و $\text{I}$ منتصف $\left[ \text{AR} \right]$ (خطأ في التسمية، ربما $\left[ \text{AC} \right]$). $\text{E}$ نقطة من $\left( \text{AD} \right)$ بحيث $\text{AE} = 2$ سم. $\text{M}$ مناظرة $\text{B}$ بالنسبة إلى $\left( \text{AC} \right)$. المستقيم $\left( \text{BE} \right)$ يقطع $\left( \text{AD} \right)$ في $F$ و $\left( \text{CD} \right)$ في $G$ و $\left( \text{AC} \right)$ في $J$.

1) احسب $\frac{\text{AF}}{\text{DG}}$ و $\frac{\text{DG}}{\text{DE}}$.
2) بيّن أن $\frac{\text{EB}}{\text{EA}} = \frac{\text{CF}}{\text{CG}}$ (خطأ محتمل في النص الأصلي: ربما يقصد $\frac{\text{DB}}{\text{DA}}$).
3) استنتج أن $\text{EB}^2 = \text{EF} \times \text{EG}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 6
1) حساب $\frac{\text{AF}}{\text{DG}}$ و $\frac{\text{DG}}{\text{DE}}$:
حساب $\frac{\text{AF}}{\text{DG}}$: لا توجد علاقة توازي مباشرة. **لنحاول إيجاد $\frac{\text{AF}}{\text{AD}}$ و $\frac{\text{DG}}{\text{DC}}$ ونقسم.**
**بتطبيق طالس في $\triangle \text{ADF}$ و $\triangle \text{GCB}$ (خطأ في الرسم):** لا يمكن.
**بتطبيق طالس في $\triangle \text{EAF}$ و $\triangle \text{EBC}$ (نقطة التقاطع $E$):**
1. التوازي: $\left( \text{AD} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ و $F \in \left( \text{AD} \right)$. إذن $\left( \text{AF} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ (خطأ في التسمية: $F \in \left( \text{AD} \right)$).
2. التوازي: بما أن $F \in \left( \text{AD} \right)$ و $\left( \text{AD} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$، فـ $\left( \text{AE} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$.
**نعتبر $\triangle \text{EFA}$ و $\triangle \text{EBC}$ (نقطة التقاطع $\text{E}$):**
**1. الاستقامة:** $\text{F} \in \left( \text{EB} \right)$ (لا يمكن). **لننظر إلى الرسم الأصلي:** $F$ هي نقطة تقاطع $\left( \text{BE} \right)$ و $\left( \text{AD} \right)$.
**بتطبيق طالس في $\triangle \text{EAF}$ و $\triangle \text{EBC}$ (نقطة التقاطع $F$):**
**1. الاستقامة:** $\text{F} \in \left( \text{EB} \right)$ و $\text{E} \in \left( \text{AD} \right)$ (خطأ في التسلسل). **التسلسل: $\text{F}, \text{B}, \text{E}$ و $\text{F}, \text{A}, \text{D}$ (لا يمكن)**.
**التصحيح المنطقي (طالس في المثلث $\triangle \text{ADG}$ و $\triangle \text{CBG}$):** لا يمكن.
**نعتبر $\triangle \text{EAB}$ و $\triangle \text{EDG}$ (نقطة التقاطع $\text{E}$):** $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DG} \right)$ (لأن $G \in \left( \text{DC} \right)$ و $\text{AB} \parallel \text{DC}$).
**1. الاستقامة:** $\text{A}, \text{E}, \text{D}$ و $\text{B}, \text{E}, \text{G}$.
**2. التوازي:** $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DG} \right)$.
**3. النسبة (طالس):** $\frac{\text{EA}}{\text{ED}} = \frac{\text{EB}}{\text{EG}} = \frac{\text{AB}}{\text{DG}}$.
نحسب $\text{ED} = \text{AD} + \text{AE} = 6 + 2 = 8$ (بافتراض أن $\text{D}$ بين $\text{E}$ و $\text{A}$، أو $\text{E}$ بين $\text{A}$ و $\text{D}$). **نأخذ $\text{E}$ خارج $\left[ \text{AD} \right]$.**
إذا كانت $\text{E}$ خارج $\left[ \text{AD} \right]$: $\text{AE} = 2$ و $\text{AD} = 6$.
$\frac{2}{8} = \frac{\text{AB}}{\text{DG}} \implies \frac{1}{4} = \frac{10}{\text{DG}}$. إذن $\text{DG} = 40$.
**حساب \frac{\text{DG}}{\text{DE}}:** $\frac{\text{DG}}{\text{DE}} = \frac{40}{8} = 5$.
**حساب $\frac{\text{AF}}{\text{DG}}$:** **نعتبر $\triangle \text{FAB}$ و $\triangle \text{FDG}$ (نقطة التقاطع $F$):** $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DG} \right)$ (لا يمكن). **لنعدل السؤال.**
**نعتبر طالس في $\triangle \text{FBG}$ و $\triangle \text{FAE}$ (نقطة التقاطع $F$):** $\left( \text{BG} \right) \parallel \left( \text{AE} \right)$ (لا يمكن).
**نعتبر $\triangle \text{FBG}$ و $\triangle \text{FEA}$ (نقطة التقاطع $F$):** لا يمكن.
**بافتراض $F$ نقطة تقاطع $\left( \text{BE} \right)$ و $\left( \text{AD} \right)$:**
**نعتبر $\triangle \text{EAB}$ و $\triangle \text{EDG}$:** $\frac{\text{AE}}{\text{ED}} = \frac{\text{AB}}{\text{DG}} = \frac{\text{EB}}{\text{EG}}$ (حسب طالس).
**نعتبر $\triangle \text{BFA}$ و $\triangle \text{DFG}$:** $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{DG} \right)$ (حالة طالس). $\frac{\text{FA}}{\text{FD}} = \frac{\text{FB}}{\text{FG}} = \frac{\text{AB}}{\text{DG}}$.
إذن $\frac{\text{FA}}{\text{FD}} = \frac{\text{AB}}{\text{DG}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.
**حساب $\frac{\text{AF}}{\text{DG}}$:** **لا يمكن حسابها مباشرة.**
التمرين 7
متوازي الأضلاع والدائرة

نعتبر $\text{ABCD}$ متوازي أضلاع مركزه $\text{O}$ وقطره $\left[ \text{BD} \right]$. لتكن $\mathcal{C}$ الدائرة التي مركزها $\text{O}$ وقطرها $\left[ \text{AB} \right]$. $\text{M}$ نقطة من الدائرة $\mathcal{C}$ مختلفة عن $\text{A}$ و $\text{B}$. $\text{D}$ نقطة من $\left[ \text{AD} \right]$ و $\text{D}$ نقطة من $\left[ \text{BC} \right]$.

1) أرسم نصف المستقيم $\left[ \text{DM} \right)$ والموازي لـ $\left( \text{AB} \right)$ يقطع $\left( \text{BC} \right)$ في $\text{E}$.
2) احسب $\frac{\text{DB}}{\text{DC}}$ و $\frac{\text{AC}}{\text{EC}}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 7
2) حساب $\frac{\text{DB}}{\text{DC}}$ و $\frac{\text{AC}}{\text{EC}}$:
**حساب $\frac{\text{DB}}{\text{DC}}$:** لا توجد معطيات كافية لحساب هذه النسبة. **ربما المقصود هو \frac{\text{DB}}{\text{DE}} أو \frac{\text{DA}}{\text{DE}}.**
**حساب \frac{\text{AC}}{\text{EC}}:** **نعتبر طالس في $\triangle \text{BDC}$ و $\triangle \text{EDA}$ (نقطة التقاطع $E$):** لا يمكن.
**نعتبر طالس في $\triangle \text{MDC}$ و $\triangle \text{EAB}$ (نقطة التقاطع $E$):** لا يمكن.
**نعتبر $\triangle \text{EDM}$ و $\triangle \text{EBC}$ (نقطة التقاطع $E$):** $\left( \text{DM} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$ (لا يمكن).
**التصحيح المنطقي (طالس في المثلث $\triangle \text{EDB}$ و $\triangle \text{EMC}$):** لا يمكن.
**بافتراض أن $\left( \text{DE} \right) \parallel \left( \text{BC} \right)$:** في $\triangle \text{ABC}$: \frac{\text{AD}}{\text{AB}} = \frac{\text{AE}}{\text{AC}} = \frac{\text{DE}}{\text{BC}}$.
**نعود للسؤال الأصلي:** \frac{\text{DB}}{\text{DC}}$ و \frac{\text{AC}}{\text{EC}}$. **لا يمكن حسابهما بدون أطوال أو معلومات إضافية عن التوازي.**
التمرين 8
تطبيق مباشر لنظرية طالس

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ حيث $\text{OA} = 5$ و $\text{OB} = 6$ و $\text{OC} = 5$ و $\text{OD} = 6$. $\text{E}$ نقطة من $\left( \text{AD} \right)$ بحيث $\frac{\text{AE}}{\text{ED}} = \frac{1}{2}$. $\text{F}$ نقطة من $\left( \text{CD} \right)$ بحيث $\frac{\text{CF}}{\text{DF}} = \frac{1}{2}$. $\text{G}$ نقطة تقاطع $\left( \text{AD} \right)$ و $\left( \text{CD} \right)$.

1) بيّن أن \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{CD}}{\text{EC}}$.
2) احسب \frac{\text{AE}}{\text{ED}}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 8
1) إثبات $\frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{CD}}{\text{EC}}$:
لا يمكن إثبات هذه المساواة في الوضعية العامة. **يجب تطبيق طالس في مثلث مع وجود توازي.**
**بافتراض $\left( \text{BD} \right) \parallel \left( \text{AC} \right)$:** لا يمكن.
**نعتبر $\triangle \text{OAB}$ و $\triangle \text{OCD}$:** لدينا \frac{\text{OA}}{\text{OC}} = \frac{5}{5} = 1$ و \frac{\text{OB}}{\text{OD}} = \frac{6}{6} = 1$.
إذن \frac{\text{OA}}{\text{OC}} = \frac{\text{OB}}{\text{OD}}$. وبما أن $\text{A}, \text{O}, \text{C}$ و $\text{B}, \text{O}, \text{D}$ على استقامة واحدة، فإن $\left( \text{AB} \right) \parallel \left( \text{CD} \right)$ (مبرهنة طالس العكسية).
**نعود للسؤال:** \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{CD}}{\text{EC}}$. **لا يمكن إثباتها.**
2) حساب $\frac{\text{AE}}{\text{ED}}$:
حسب المعطيات: $\text{E}$ نقطة من $\left( \text{AD} \right)$ بحيث $\frac{\text{AE}}{\text{ED}} = \frac{1}{2}$.
النسبة معطاة بشكل مباشر في نص التمرين.
**الإجابة:** \frac{\text{AE}}{\text{ED}} = \frac{1}{2}$
التمرين 9
الزوايا المحيطية والمركزية

نعتبر $\mathcal{C}$ الدائرة ذات المركز $\text{O}$ والقطر $\left[ \text{AB} \right]$. $\text{M}$ نقطة من الدائرة $\mathcal{C}$ تختلف عن $\text{A}$ و $\text{B}$. $\left( \text{AP} \right)$ المستقيم الموازي لـ $\left( \text{OM} \right)$ يقطع $\left[ \text{BM} \right]$ في $\text{P}$.

1) قارن بين $\text{IN}$ و $\text{AP}$.
2) احسب $\widehat{\text{AOB}}$ و $\widehat{\text{AMB}}$.
✅ الإصلاح المفصل للتمرين 9
1) المقارنة بين $\text{IN}$ و $\text{AP}$:
لا توجد نقطة $I$ أو $N$ في نص التمرين. **يجب مراجعة نص السؤال.**
**نحاول إثبات أن $\text{P}$ هي منتصف $\left[ \text{BM} \right]$:**
في المثلث $\triangle \text{BAM}$: $\text{O}$ منتصف $\left[ \text{AB} \right]$ (مركز الدائرة).
لدينا $\left( \text{OM} \right) \parallel \left( \text{AP} \right)$ (حسب المعطيات).
في $\triangle \text{BAP}$: $\left( \text{OM} \right)$ يمر بمنتصف $\left[ \text{AB} \right]$.
حسب مبرهنة الموسط، لا يمكن.
**نعتبر $\triangle \text{BAP}$:** $\left( \text{OM} \right)$ لا يمر بمنتصف $\left[ \text{BM} \right]$.
**نعتبر $\triangle \text{BAM}$:** $\text{O}$ منتصف $\left[ \text{AB} \right]$. $\left( \text{OP} \right)$ لا يوازي \left( \text{AM} \right)$.
**الإجابة:** لا يمكن المقارنة لعدم وجود $I$ و $N$.
2) حساب $\widehat{\text{AOB}}$ و $\widehat{\text{AMB}}$:
**حساب $\widehat{\text{AOB}}$:**
بما أن $\left[ \text{AB} \right]$ قطر، فإن $\text{A}$, $\text{O}$, $\text{B}$ على استقامة واحدة.
إذن $\widehat{\text{AOB}}$ هي زاوية مستقيمة.
**النتيجة:** $\widehat{\text{AOB}} = 180^{\circ}$.
**حساب $\widehat{\text{AMB}}$:**
الزاوية $\widehat{\text{AMB}}$ هي زاوية محيطية تحصر القوس $\widehat{\text{AB}}$ (نصف الدائرة).
الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس هي $\widehat{\text{AOB}} = 180^{\circ}$.
الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس.
$\widehat{\text{AMB}} = \frac{1}{2} \widehat{\text{AOB}} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
**النتيجة:** $\widehat{\text{AMB}} = 90^{\circ}$.