فرض مراقبة عـ2 في الرياضيات

✅ الحل النهائي - التمرين الثاني

• **1) أ) إثبات $E = x+y+3\sqrt{2}-\sqrt{3}$:**
• نشر العبارة الأولى $A = (5\sqrt{3}+x)(2-3\sqrt{3})$: $A = 10\sqrt{3} - 45 + 2x - 3x\sqrt{3}$
• نشر العبارة الثانية $B = (y-3\sqrt{3})(2-\sqrt{2})-2\sqrt{2}$: $B = 2y - y\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$
• ملاحظة: هناك خطأ واضح في نشر العبارة الأولى في التمرين الأصلي (الصورة)، حيث من المستحيل أن نجد النتيجة المطلوبة $E = x+y+3\sqrt{2}-\sqrt{3}$ بهذه العبارة.
• سنفترض أن العبارة الأصلية كانت يجب أن تكون بشكل آخر يوصل إلى النتيجة المطلوبة **أو** أن المطلوب هو مجرد إثبات تلك العبارة بناءً على خطأ سابق في الورقة (سأركز على النتيجة المطلوبة $E$).
• بما أن المطلوب هو $E = x+y+3\sqrt{2}-\sqrt{3}$، فإن المطلوب في (ب) و (3) و (4) سيتم حله بافتراض هذه النتيجة لـ $E$. **النتيجة المفترضة: $E = x+y+3\sqrt{2}-\sqrt{3}$**
• **1) ب) حساب $E$ عندما $x+y = 2\sqrt{2}-3$:**
• لدينا: $E = (x+y) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• نعوّض $x+y$ بقيمتها: $E = (2\sqrt{2}-3) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• نجمع الجذور المتشابهة: $E = (2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) - 3 - \sqrt{3}$
• $E = 5\sqrt{2} - 3 - \sqrt{3}$
• **2) حساب $E$ بمعلومية $x-y$ و $x+y$:**
• المعطيات: $x-y = \sqrt{3}-2\sqrt{2}$ و $x+y = 2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• نلاحظ أنّ: $x+y = -( \sqrt{3}-2\sqrt{2}) = -(x-y)$
• بالتعويض في $E$: $E = (x+y) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• $E = (2\sqrt{2}-\sqrt{3}) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• نجمع الحدود المتشابهة: $E = (2\sqrt{2}+3\sqrt{2}) + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})$
• $E = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
• **3) إيجاد $x+y$ عندما $E$ و $3-\sqrt{2}$ متقابلان:**
• شرط التّقابل: $E + (3-\sqrt{2}) = 0$ $E = -(3-\sqrt{2}) = -3+\sqrt{2}$
• نعوّض قيمة $E$ في العبارة: $x+y+3\sqrt{2}-\sqrt{3} = -3+\sqrt{2}$
• نعزل $x+y$: $x+y = -3+\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{3}$
• نجمع الحدود المتشابهة: $x+y = -3 + (\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + \sqrt{3}$
• $x+y = -3 - 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$
• **4) أوجد $x+y$ عندما $E=4$ (بافتراض أن هذا هو المطلوب):**
• ملاحظة على نص التمرين: المعطيات $E=4$ و $y=1$ و $x=2+\sqrt{3}$ متناقضة مع المطلوب "أوجد $x+y$"، لأن $x+y = 3+\sqrt{3}$ محددة. سنفترض أن المطلوب هو "بيّن أنّ $E=4$".
• حساب $x+y$: $x+y = (2+\sqrt{3}) + 1 = 3+\sqrt{3}$
• حساب $E$ بالتعويض في النتيجة المفترضة: $E = (x+y) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• $E = (3+\sqrt{3}) + 3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• $E = 3 + 3\sqrt{2}$
• الاستنتاج: بما أن $3 + 3\sqrt{2} \ne 4$، فإن هناك خطأ في المعطيات الأصلية. سنقدم الحل كما هو في الصورة (إيجاد $x+y$):
• حل السؤال كما هو مكتوب في الصورة: $x+y = (2+\sqrt{3}) + 1 = 3+\sqrt{3}$

✅ الحل النهائي - التمرين الثالث

• **1) إثبات $a = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$:**
• تبسيط الجذور: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$
• التعويض في $a$: $a = 5\sqrt{2} + 2(6\sqrt{2}) - 3(5\sqrt{2} - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7}$
• نشر وتبسيط: $a = 5\sqrt{2} + 12\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7}$
• تجميع حدود $\sqrt{2}$: $(5+12-15)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
• تجميع حدود $\sqrt{7}$: $(3-2)\sqrt{7} = \sqrt{7}$
• **إذن: $a = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$**
• **2) إثبات $b = 2\sqrt{2} - \sqrt{7}$:**
• نشر العبارة الأولى: $(\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}+2) = \sqrt{7}^2 + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 6$
• $= 7 - \sqrt{7} - 6 = 1 - \sqrt{7}$
• تبسيط الجزء الثاني: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
• تبسيط الجزء الثالث: $|\sqrt{8}+1| = \sqrt{8}+1 = 2\sqrt{2}+1$ (لأن $\sqrt{8}+1$ موجب)
• التعويض في $b$: $b = (1 - \sqrt{7}) + 4\sqrt{2} - (2\sqrt{2}+1)$
• نشر وتبسيط: $b = 1 - \sqrt{7} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 1$
• تجميع الحدود: $b = (1-1) + (4\sqrt{2}-2\sqrt{2}) - \sqrt{7}$
• **إذن: $b = 2\sqrt{2} - \sqrt{7}$**
• **3) إثبات $a$ مقلوب $b$:**
• نحسب الجداء $a \times b$: $a \times b = (2\sqrt{2} + \sqrt{7})(2\sqrt{2} - \sqrt{7})$
• هذا جداء من الشكل $(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$: $a \times b = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2$
• $a \times b = (4 \times 2) - 7$
• $a \times b = 8 - 7 = 1$
• بما أن $a \times b = 1$: **إذن: $a$ مقلوب $b$** (أي $a = \frac{1}{b}$ و $b = \frac{1}{a}$)
• **4) استنتاج قيمة العدد $\frac{1}{b^2} - \frac{a}{b}$:**
• من السؤال 3، لدينا $a = \frac{1}{b}$.
• نعوّض في العبارة: $\frac{1}{b^2} - \frac{a}{b} = \frac{1}{b^2} - \frac{\frac{1}{b}}{b}$
• $\frac{1}{b^2} - \frac{a}{b} = \frac{1}{b^2} - \frac{1}{b} \times \frac{1}{b}$
• $\frac{1}{b^2} - \frac{a}{b} = \frac{1}{b^2} - \frac{1}{b^2}$
• **النتيجة: $\frac{1}{b^2} - \frac{a}{b} = 0$**
• **5) إثبات أن $\sqrt{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \sqrt{28} + 5}$ عدد صحيح طبيعي:**
• من السؤال 3، لدينا $a = \frac{1}{b}$، أي $\frac{1}{a} = b$.
• التعويض في ما تحت الجذر: $T = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \sqrt{28} + 5$
• نعوّض $\frac{1}{a} = b$: $T = b - \frac{1}{b} + \sqrt{28} + 5$
• ونعوّض $b = \frac{1}{a}$ أي $\frac{1}{b} = a$: $T = b - a + \sqrt{28} + 5$
• لدينا $a = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$ و $b = 2\sqrt{2} - \sqrt{7}$.
• حساب $b-a$: $b - a = (2\sqrt{2} - \sqrt{7}) - (2\sqrt{2} + \sqrt{7})$
• $b - a = 2\sqrt{2} - \sqrt{7} - 2\sqrt{2} - \sqrt{7} = -2\sqrt{7}$
• حساب $T$: $T = -2\sqrt{7} + \sqrt{28} + 5$
• تبسيط $\sqrt{28}$: $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
• $T = -2\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 5$
• $T = 5$
• العدد المطلوب هو: $\sqrt{T} = \sqrt{5}$
• ملاحظة: $\sqrt{5}$ ليس عددًا صحيحًا طبيعيًا. يجب أن تكون العبارة في نص التمرين الأصلي: $\sqrt{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \sqrt{28} + 4}$
• بافتراض أن العبارة هي $\sqrt{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \sqrt{28} + 4}$ (الناتج 4 بدلاً من 5): $T' = b - a + \sqrt{28} + 4$
• $T' = -2\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 4 = 4$
• العدد هو: $\sqrt{T'} = \sqrt{4} = 2$
• **الاستنتاج النهائي (بناءً على افتراض تصحيح):** $\sqrt{4} = 2$ وهو عدد صحيح طبيعي. **النتيجة: 2**

✅ الحل النهائي - التمرين الرابع (نظرية طالس)

المعطيات: مثلث $ABC$، $AB = 7$، $AC = 6$، $BC = 4$.

النقطة $M \in [AB]$ بحيث $AM = 5$.

• **1) أ) و ب) حساب $MN$ و إثبات $AN = \frac{30}{7}$:**
• **الخطوة 1: تحديد الشروط (حسب نظرية طالس)**

• الشروط اللازمة لتطبيق النظرية

  1. النقطة $M$ تنتمي إلى المستقيم $(AB)$.
  2. النقطة $N$ تنتمي إلى المستقيم $(AC)$.
  3. المستقيم $(MN)$ يوازي المستقيم $(BC)$ ($(MN) \parallel (BC)$).
• **الخطوة 2: تطبيق النظرية وكتابة النسبة**

• كتابة النسب المتساوية

  بما أن الشروط متوفرة، حسب نظرية طالس في المثلث $ABC$، لدينا:
  $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
• **الخطوة 3: التعويض وحساب الأطوال**

• الحساب والنتائج

  التعويض بالقيم المعلومة: $AB=7$، $AC=6$، $BC=4$، $AM=5$.
  $$\frac{5}{7} = \frac{AN}{6} = \frac{MN}{4}$$
  **حساب $AN$:** $$\frac{AN}{6} = \frac{5}{7} \implies AN = \frac{5 \times 6}{7}$$ $$AN = \frac{30}{7}$$ **النتيجة (1-ب):** **$AN = \frac{30}{7}$ وهو المطلوب.**
  **حساب $MN$:** $$\frac{MN}{4} = \frac{5}{7} \implies MN = \frac{5 \times 4}{7}$$ $$MN = \frac{20}{7}$$ **النتيجة (1-أ):** **$MN = \frac{20}{7}$**
• **2) أ) و ب) حساب $NK$ و طبيعة $MNKB$:**
• ملاحظة على نص التمرين: سنفترض أن المستقيم المار من $N$ والموازي لـ $(AB)$ يقطع $(BC)$ في $K$، لأن هذا هو الشكل الذي يكوّن رباعي معروف (متوازي أضلاع).
• المعطيات الجديدة المفترضة: $(NK) \parallel (AB)$، والنقطة $K$ تقع على $(BC)$.
• **2) أ) حساب $NK$:**
• **تطبيق نظرية طالس في المثلث $ABC$ (نقطة $C$ هي الرأس)**

• الشروط اللازمة لتطبيق النظرية

  1. النقطة $N$ تنتمي إلى المستقيم $(AC)$.
  2. النقطة $K$ تنتمي إلى المستقيم $(BC)$.
  3. المستقيم $(NK)$ يوازي المستقيم $(AB)$ ($(NK) \parallel (AB)$).

• كتابة النسب المتساوية

  $$\frac{CN}{CA} = \frac{CK}{CB} = \frac{NK}{AB}$$

• الحساب والنتائج

  نحسب $CN$: $CN = AC - AN = 6 - \frac{30}{7} = \frac{42 - 30}{7} = \frac{12}{7}$.
  $$\frac{\frac{12}{7}}{6} = \frac{NK}{7}$$
  **حساب $NK$:** $$\frac{12}{7 \times 6} = \frac{NK}{7} \implies \frac{2}{7} = \frac{NK}{7}$$ **$NK = 2$**
• **2) ب) استنتاج طبيعة الرباعي $MNKB$:**
• من 1) لدينا: $(MN) \parallel (BC)$.
• من 2) لدينا: $(NK) \parallel (AB)$.
• بما أن $K \in (BC)$ و $M \in (AB)$، فإن: $(MN) \parallel (BK)$ $(NK) \parallel (MB)$
• الرباعي $MNKB$ لديه ضلعان متقابلان متوازيان ( $MN \parallel BK$ و $NK \parallel MB$).
• **النتيجة:** **الرباعي $MNKB$ هو متوازي أضلاع.**