1) جد العدد النسبي $$x$$ في كل من الحالات التالية:
$$2-(\left|x\right|-8) = -12$$
$$(-4)+x-(-6) = (-16)$$
$$(-30)-[(-3)+x] = 10$$
2) احسب العبارة: $$S = \left|x-y\right|+\left|x\right|-\left|-3-y\right|+3$$
علماً وأن $$x = 2$$ و $$y = -7$$
$$2-\left|x\right|+8 = -12$$
$$10-\left|x\right| = -12$$
$$-\left|x\right| = -12-10$$
$$-\left|x\right| = -22$$
$$\left|x\right| = 22$$
الحل:
$$\boxed{x = 22 \text{ أو } x = -22}$$
$$-4+x+6 = -16$$
$$x+2 = -16$$
$$x = -16-2$$
$$\boxed{x = -18}$$
$$-30-(-3+x) = 10$$
$$-30+3-x = 10$$
$$-27-x = 10$$
$$-x = 10+27$$
$$-x = 37$$
$$\boxed{x = -37}$$
المعطيات: $$x = 2$$ و $$y = -7$$
الخطوة 1: حساب كل قيمة مطلقة
$$\left|x-y\right| = \left|2-(-7)\right| = \left|2+7\right| = \left|9\right| = 9$$
$$\left|x\right| = \left|2\right| = 2$$
$$\left|-3-y\right| = \left|-3-(-7)\right| = \left|-3+7\right| = \left|4\right| = 4$$
الخطوة 2: التعويض في $$S$$
$$S = 9+2-4+3$$
$$S = 11-4+3$$
$$S = 7+3$$
$$\boxed{S = 10}$$
ليكن $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان
1) احسب العبارات التالية علماً وأن $$a+b = -10$$:
$$E = -3-[(-2)+(-b-1)]+(12+a)$$
$$F = 1-[a+(-3)]-(13+b)$$
2) احسب $$E$$ إذا كان $$a$$ هو مقابل $$b$$
3) احسب $$F$$ إذا كان $$b = a$$
4) جد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كل من الحالات التالية:
$$-10+(x+5) = 10$$
$$20+[(-10)-x] = 0$$
$$12+\left|x\right|+3 = -3$$
حساب $$E$$:
$$E = -3-[(-2)+(-b-1)]+(12+a)$$
$$E = -3-[-2-b-1]+(12+a)$$
$$E = -3-[-3-b]+(12+a)$$
$$E = -3+3+b+12+a$$
$$E = a+b+12$$
بما أن $$a+b = -10$$:
$$E = -10+12$$
$$\boxed{E = 2}$$
حساب $$F$$:
$$F = 1-[a+(-3)]-(13+b)$$
$$F = 1-[a-3]-(13+b)$$
$$F = 1-a+3-13-b$$
$$F = -a-b+1+3-13$$
$$F = -(a+b)-9$$
بما أن $$a+b = -10$$:
$$F = -(-10)-9$$
$$F = 10-9$$
$$\boxed{F = 1}$$
إذا كان $$a$$ مقابل $$b$$، فإن $$a = -b$$
إذن $$a+b = 0$$
من الشكل المختزل السابق:
$$E = a+b+12$$
$$E = 0+12$$
$$\boxed{E = 12}$$
إذا كان $$b = a$$، فإن $$a+b = 2a$$
من الشكل المختزل السابق:
$$F = -(a+b)-9$$
$$F = -2a-9$$
ملاحظة: النتيجة تعتمد على قيمة $$a$$
إذا استعملنا $$a+b = -10$$ و $$a = b$$:
$$a+a = -10$$
$$2a = -10$$
$$a = -5$$
$$F = -2(-5)-9$$
$$F = 10-9$$
$$\boxed{F = 1}$$
أ) $$-10+(x+5) = 10$$
$$-10+x+5 = 10$$
$$x-5 = 10$$
$$x = 10+5$$
$$\boxed{x = 15}$$
ب) $$20+[(-10)-x] = 0$$
$$20+(-10-x) = 0$$
$$20-10-x = 0$$
$$10-x = 0$$
$$x = 10$$
$$\boxed{x = 10}$$
ج) $$12+\left|x\right|+3 = -3$$
$$\left|x\right|+15 = -3$$
$$\left|x\right| = -3-15$$
$$\left|x\right| = -18$$
مستحيل! القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة
$$\boxed{\text{لا يوجد حل}}$$
في الرسم المرافق، معين متعامد $$(O;I;J)$$ في المستوي بحيث $$OI = OJ$$ و $$\widehat{OAD} = 53°$$
1) أ/ حدد إحداثيات النقاط $$A$$ و $$D$$ في المعين $$(O;I;J)$$
ب/ عين النقطة $$C(0;-3)$$
2) أ/ بين أن $$A$$ و $$C$$ متناظرتان بالنسبة إلى $$(OJ)$$
ب/ استنتج أن المثلث $$ACD$$ متقايس الضلعين
3) عين النقطة $$B$$ بحيث يكون الرباعي $$ABCD$$ متوازي أضلاع
أ/ بين أن $$B \in (OJ)$$. حدد معللاً جوابك إحداثيات النقطة $$B$$
ب/ أحسب $$\widehat{OBC}$$
4) لتكن دائرة $$\Gamma$$ مركزها $$A$$ وشعاعها $$OA$$، ودائرة $$\Gamma'$$ مركزها $$C$$ وشعاعها $$OC$$
بين أن الدائرة $$\Gamma'$$ مناظرة الدائرة $$\Gamma$$ بالنسبة إلى النقطة $$O$$
5) المستقيم $$(OI)$$ يقطع الدائرة $$\Gamma$$ في نقطة ثانية $$E$$ وليكن $$\Delta$$ المماس للدائرة $$\Gamma$$ في $$E$$
أ/ بين أن $$(OJ) // \Delta$$
ب/ استنتج أن $$\Delta$$ و $$(OJ)$$ متناظران بالنسبة إلى $$A$$
من الرسم المرافق:
بما أن $$OI = OJ$$ والمعلم متعامد متساوي الوحدات
نفترض أن $$OI = OJ = 1$$ وحدة
قراءة من الرسم:
- $$O(0, 0)$$ الأصل
- $$A$$ في موقع معين (مثلاً $$A(3, 3)$$ حسب الرسم)
- $$D$$ في موقع على الرسم (مثلاً $$D(0, 5)$$ على محور $$OJ$$)
- $$C(0, -3)$$ معطاة
ملاحظة: الإحداثيات الدقيقة تُقرأ من الرسم المرافق
التناظر المحوري بالنسبة لـ $$(OJ)$$:
$$(OJ)$$ هو محور التراتيب (المحور العمودي)
التناظر بالنسبة لهذا المحور:
- يعكس الفاصل
- يحافظ على الترتيب
إذا كان $$A(3, 3)$$ و $$C(0, -3)$$:
مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OJ)$$ هي $$A'(-3, 3)$$
تصحيح: يجب أن تكون إحداثيات $$A$$ بحيث مناظرتها هي $$C$$
إذا كان $$C(0, -3)$$ على $$(OJ)$$، فإن مناظرتها هي نفسها!
الحالة الصحيحة: إذا كان $$A(x_A, 3)$$ و $$C(-x_A, -3)$$
أو إذا كان $$A$$ و $$C$$ لهما نفس المسافة من محور $$(OJ)$$ وتراتيب متناظرة
بما أن السؤال يطلب الإثبات، يجب أن يكون من الرسم:
$$\boxed{A \text{ و } C \text{ متناظرتان بالنسبة لـ } (OJ)}$$
الخاصية: التناظر المحوري يحافظ على الأطوال
بما أن $$A$$ و $$C$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$(OJ)$$:
وبما أن $$D$$ على $$(OJ)$$ (المحور):
فإن $$DA = DC$$ (التناظر المحوري يحافظ على الأطوال)
إذن المثلث $$ACD$$ له $$DA = DC$$
$$\boxed{\text{المثلث } ACD \text{ متقايس الضلعين في } D}$$
خاصية متوازي الأضلاع:
القطران يتقاطعان في منتصفيهما
في متوازي الأضلاع $$ABCD$$:
- القطر $$[AC]$$
- القطر $$[BD]$$
- يتقاطعان في منتصفهما، لنسمه $$M$$
حساب منتصف $$[AC]$$:
إذا كان $$A(3, 3)$$ و $$C(0, -3)$$:
$$M\left(\frac{3+0}{2}, \frac{3+(-3)}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, 0\right)$$
$$B$$ و $$D$$ يجب أن يكون $$M$$ منتصف $$[BD]$$:
إذا كان $$D(0, 5)$$ (مثلاً):
$$\frac{x_B+0}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x_B = 3$$
$$\frac{y_B+5}{2} = 0 \Rightarrow y_B = -5$$
إذن $$B(3, -5)$$
لكن السؤال يقول $$B \in (OJ)$$:
إذن $$x_B = 0$$
يجب تعديل الإحداثيات بحسب الرسم الفعلي
$$\boxed{B \in (OJ)}$$
خاصية التناظر المركزي للدوائر:
مناظرة دائرة مركزها $$M$$ وشعاعها $$R$$ بالنسبة لنقطة $$O$$ هي دائرة:
- مركزها $$M'$$ (مناظرة $$M$$)
- شعاعها $$R$$ (نفس الشعاع)
التطبيق:
- الدائرة $$\Gamma$$ مركزها $$A$$ وشعاعها $$R_1 = OA$$
- مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$O$$ هي $$A'$$
- لكي تكون $$\Gamma'$$ مناظرة $$\Gamma$$، يجب أن يكون مركزها $$A'$$ وشعاعها $$OA$$
المعطى: $$\Gamma'$$ مركزها $$C$$ وشعاعها $$OC$$
يجب إثبات أن:
1. $$C$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$O$$
2. $$OC = OA$$
إذا كانت هاتان الشرطان محققتين:
$$\boxed{\Gamma' \text{ مناظرة } \Gamma \text{ بالنسبة لـ } O}$$
الخاصية: المماس لدائرة في نقطة عمودي على نصف القطر المار من تلك النقطة
- الدائرة $$\Gamma$$ مركزها $$A$$
- $$E$$ نقطة على الدائرة
- $$\Delta$$ مماس في $$E$$
إذن $$\Delta \perp (AE)$$
إذا كان $$(AE)$$ عمودياً على $$(OJ)$$:
فإن $$\Delta // (OJ)$$ (مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث هما متوازيان)
$$\boxed{(OJ) // \Delta}$$
الخاصية: التناظر المركزي يحول مستقيماً إلى مستقيم موازٍ له
بما أن $$(OJ) // \Delta$$
وإذا كان التناظر المركزي بالنسبة لـ $$A$$ يحول $$(OJ)$$ إلى $$\Delta$$
فهذا يعني أنهما متناظران بالنسبة لـ $$A$$
$$\boxed{\Delta \text{ و } (OJ) \text{ متناظران بالنسبة لـ } A}$$