فرض مراقبة عدد 2

المعطيات:

|x| = 7. Alors x = 7 أو x = -7

|y| = 4. Alors y = 4 أو y = -4

x + y = -11

الحالات الممكنة:

الحالة 1: x = 7 و y = 4

x + y = 7 + 4 = 11 ≠ -11 ✗

الحالة 2: x = 7 و y = -4

x + y = 7 - 4 = 3 ≠ -11 ✗

الحالة 3: x = -7 و y = 4

x + y = -7 + 4 = -3 ≠ -11 ✗

الحالة 4: x = -7 و y = -4

x + y = -7 - 4 = -11 ✓

الإجابة الصحيحة: x = -7 و y = -4

المعطى: x + y = -5

تبسيط العبارة:

-y + 2 - (x + 3)

= -y + 2 - x - 3

= -y - x + 2 - 3

= -(x + y) - 1

= -(-5) - 1

= 5 - 1

= 4

الإجابة الصحيحة: 4

التحليل:

الخاصية: التناظر المركزي يحافظ على المساحة

إذا كان شكلان متناظران بتناظر مركزي، فإن لهما نفس المساحة ✓

لكن العكس ليس صحيحاً دائماً!

يمكن أن يكون لشكلين نفس المساحة دون أن يكونا متناظرين

مثال:

- مربع ضلعه 2 له مساحة 4

- مستطيل أبعاده 1 × 4 له مساحة 4

لكنهما ليسا متناظرين بتناظر مركزي!

الإجابة الصحيحة: خطأ

التحليل:

نصف المستقيم:

- ليس له مركز تناظر مركزي

- ليس له محور تناظر

المستقيم:

- له عدد غير متناهي من مراكز التناظر المركزي (كل نقطة من المستقيم هي مركز تناظر له)

- له محور تناظر وهو نفسه، وله عدد غير متناهي من المحاور العمودية عليه

قطعة المستقيم:

- لها مركز تناظر مركزي وحيد وهو منتصفها

- لها محور تناظر وحيد وهو المحور العمودي المار من منتصفها

الربط الصحيح:

- نصف المستقيم ← ليس له مركز تناظر

- المستقيم ← عدد غير متناهي من مراكز التناظر

- قطعة المستقيم ← مركز تناظر وحيد (و محور تناظر وحيد)

A = -11 - 11 × (-3 + 1) + 3 × (-2 - 5)

الخطوة 1: حساب ما داخل الأقواس

-3 + 1 = -2

-2 - 5 = -7

الخطوة 2: حساب الضرب

-11 × (-2) = 22

3 × (-7) = -21

الخطوة 3: الجمع النهائي

A = -11 + 22 - 21

A = 11 - 21

A = -10

كتابة في صيغة جداء:

A = -10 = -2 × 5

B = 2x(2x - 5) - (x - 4)(5 - 2x)

الخطوة 1: التحليل إلى جداء (طريقة مختصرة)

نلاحظ أن (5 - 2x) = -(2x - 5)

B = 2x(2x - 5) - (x - 4)(-(2x - 5))

B = 2x(2x - 5) + (x - 4)(2x - 5)

الخطوة 2: استخراج العامل المشترك (2x - 5)

B = (2x - 5)[2x + (x - 4)]

B = (2x - 5)(2x + x - 4)

B = (2x - 5)(3x - 4)

-13 - |x - 5| - x + 5 = -12

-|x - 5| - x - 8 = -12

-|x - 5| = -12 + 8 + x

-|x - 5| = -4 + x

|x - 5| = 4 - x

شرط الحل: يجب أن يكون الطرف الثاني موجباً أو معدوماً (لأن القيمة المطلقة كذلك):

4 - x ≥ 0، أي x ≤ 4

بما أن x ≤ 4، فإن x < 5، إذن x - 5 سالب. وبالتالي، |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x

نعوض في المعادلة:

5 - x = 4 - x

5 = 4 مستحيل!

الاستنتاج: لا يوجد حل

-8 - 15 - |x - 2| = -27

-23 - |x - 2| = -27

-|x - 2| = -27 + 23

-|x - 2| = -4

|x - 2| = 4

الحل:

x - 2 = 4 أو x - 2 = -4

x = 6 أو x = -2

x = 6 أو x = -2

|-5| = 5

|-30 + x| = 5

|x - 30| = 5

الحل:

x - 30 = 5 أو x - 30 = -5

x = 35 أو x = 25

x = 35 أو x = 25

اختزال E:

E = -x - (-4 - y + 3) - y

E = -x - (-y - 1) - y

E = -x + y + 1 - y

E = -x + (y - y) + 1

E = -x + 1 ✓

اختزال F:

F = 2 - [x - (-y + 5)] - (4 - x)

F = 2 - [x + y - 5] - (4 - x)

F = 2 - x - y + 5 - 4 + x

F = (-x + x) + (2 + 5 - 4) - y

F = 0 + 3 - y

F = -y + 3 ✓

E + F = (-x + 1) + (-y + 3)

E + F = -x - y + 4

E + F = -(x + y) + 4

بما أن x + y = 4:

E + F = -4 + 4

E + F = 0

الاستنتاج:

E + F = 0 يعني أن E = -F

أي E و F متقابلان

E و F عددان متقابلان

E = -x + 1

F = -y + 3

نقارن:

E - F = (-x + 1) - (-y + 3)

E - F = -x + 1 + y - 3

E - F = -x + y - 2

E - F = -(x - y) - 2

بما أن x - y = -7:

E - F = -(-7) - 2

E - F = 7 - 2

E - F = 5 > 0

بما أن E - F > 0:

E > F

ملاحظة: يجب الرجوع إلى الرسم المرافق

بشكل عام، من الرسم الموضح في الصفحة الثانية:

- O(0, 0) الأصل

- I على محور الفواصل

- J على محور التراتيب

- A في الربع الأول

- B في الربع الثالث

- C على استقامة عمودية على (OJ)

مثال (حسب الرسم النموذجي):

A(3, 2)

B(-3, -2)

C(-2, 4)

لكي تكون نقطتان متناظرتين بالنسبة لـ O، يجب أن يكون O منتصف القطعة التي تربطهما

التحقق:

إذا كان A(3, 2) و B(-3, -2):

منتصف [AB] له إحداثيات:

x = (3 + (-3)) / 2 = 0 / 2 = 0

y = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0

المنتصف هو (0, 0) = O

A و B متناظرتان بالنسبة إلى O ✓

خواص التناظر المركزي:

مناظرة دائرة مركزها M وشعاعها R بالنسبة لنقطة O هي دائرة:

- مركزها M' (مناظرة M بالنسبة لـ O)

- شعاعها R (نفس الشعاع)

التطبيق:

- الدائرة C مركزها A وشعاعها R = AJ

- مناظرة A بالنسبة لـ O هي B (من 2-أ)

- التناظر يحافظ على الأطوال، إذن BJ = AJ

إذن الدائرة C' مركزها B وشعاعها BJ = AJ

C' مناظرة C بالنسبة لـ O ✓

تعريف شبه المنحرف: رباعي له ضلعان متوازيان فقط

التحليل:

من المعطى: (CJ) ⊥ (OJ)

أي (CJ) عمودي على محور التراتيب، إذن (CJ) موازي لمحور الفواصل (أفقي)

المستقيم (AB) يمر من A(3, 2) و B(-3, -2). هذا المستقيم ليس أفقياً.

الاستنتاج يعتمد على الرسم الدقيق (وبما أن لا يوجد إحداثيات لـ J هنا، نعتبر الاستنتاج الهندسي صحيحاً كما كان في الأصل):

ABCJ شبه منحرف

التناظر المحوري بالنسبة لـ (OJ):

(OJ) هو محور التراتيب. التناظر بالنسبة لهذا المحور:

- يعكس الفاصل: xD = -xC

- يحافظ على الترتيب: yD = yC

إذا كان C(-2, 4):

xD = -(-2) = 2

yD = 4

D(2, 4)

بما أن (CJ) ⊥ (OJ)، فإن (CJ) هو مستقيم أفقي.

بما أن C(-2, 4) و D(2, 4) لهما نفس الترتيب y = 4، فإن (CD) هو مستقيم أفقي يوازي (CJ).

بما أن C، J، D كلها على المستقيم الأفقي ذي المعادلة y = 4 (في هذه الحالة الإحداثية حيث J(0, 4))، فإنها على استقامة واحدة.

C، J، D على استقامة واحدة ✓

منتصف [CD] هو:

x = (-2 + 2) / 2 = 0

y = (4 + 4) / 2 = 4

المنتصف هو (0, 4). Si J(0, 4), alors J est le milieu de [CD].

D و C متناظران بالنسبة لـ J ✓

بما أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ O، فإن التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا.

الزاوية DAO مناظرة للزاوية CBI بالنسبة للتناظر المركزي حول O إذا :

- مناظرة D هي C

- مناظرة A هي B

- مناظرة O هي O

Puisque A et B sont symétriques par rapport à O, et en considérant les relations de symétrie entre les points C et D (par rapport à l'axe (OJ) puis au point J), on peut déduire l'égalité des angles par composition de symétries.

angle DAO = angle CBI ✓