1) أحسب العبارات التالية واكتب في صيغة جداء:
$$A = -11 - 11 \times (-3 + 1) + 3 \times (2 - 5)$$
$$B = 2x(2x - 5) - (x - 4)(5 - 2x)$$
2) جد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كلّ حالة إن أمكن ذلك:
$$(-13 - |x-5|) - (x - 5) = -12$$
$$-8 - (15 + |x - 2|) = -27$$
$$|-30 + x| = |-5|$$
المعطى: $$A = -11 - 11 \times (-3 + 1) + 3 \times (2 - 5)$$
الخطوة 1: حساب ما بين الأقواس
$$-3 + 1 = -2$$
$$2 - 5 = -3$$
$$A = -11 - 11 \times (-2) + 3 \times (-3)$$
الخطوة 2: إجراء عمليات الضرب
$$-11 \times (-2) = 22$$
$$3 \times (-3) = -9$$
$$A = -11 - 22 + (-9)$$
$$A = -11 - 22 - 9$$
الخطوة 3: الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين
$$A = -11 - 22 - 9$$
$$A = -33 - 9$$
$$A = -42$$
الكتابة في صيغة جداء:
$$A = -42 = -1 \times 42 = -2 \times 21 = -3 \times 14 = -6 \times 7$$
أو بطريقة التحليل إلى عوامل أولية:
$$A = -42 = -2 \times 3 \times 7$$
الجواب: $$A = -42 = -2 \times 3 \times 7$$
المعطى: $$B = 2x(2x - 5) - (x - 4)(5 - 2x)$$
الخطوة 1: نشر الحدود
الحد الأول: $$2x(2x - 5) = 2x \times 2x - 2x \times 5 = 4x^2 - 10x$$
الحد الثاني: $$(x - 4)(5 - 2x)$$
$$= x \times 5 + x \times (-2x) + (-4) \times 5 + (-4) \times (-2x)$$
$$= 5x - 2x^2 - 20 + 8x$$
$$= -2x^2 + 13x - 20$$
$$B = (4x^2 - 10x) - (-2x^2 + 13x - 20)$$
الخطوة 2: إزالة الأقواس (انتباه للإشارات)
$$B = 4x^2 - 10x + 2x^2 - 13x + 20$$
الخطوة 3: جمع الحدود المتشابهة
حدود $$x^2$$: $$4x^2 + 2x^2 = 6x^2$$
حدود $$x$$: $$-10x - 13x = -23x$$
الحدود الثابتة: $$20$$
$$B = 6x^2 - 23x + 20$$
الخطوة 4: التحليل إلى جداء (Factorisation)
نبحث عن عددين حاصل ضربهما $$6 \times 20 = 120$$ ومجموعهما $$-23$$
بالبحث: $$-8$$ و $$-15$$
$$-8 \times (-15) = 120$$ ✓
$$-8 + (-15) = -23$$ ✓
نعيد كتابة الحد الأوسط:
$$B = 6x^2 - 8x - 15x + 20$$
$$B = 2x(3x - 4) - 5(3x - 4)$$
$$B = (2x - 5)(3x - 4)$$
التحقق:
$$(2x - 5)(3x - 4) = 6x^2 - 8x - 15x + 20 = 6x^2 - 23x + 20$$ ✓
طريقة بديلة (أكثر ذكاءً):
لاحظ أن: $$5 - 2x = -(2x - 5)$$
$$B = 2x(2x - 5) - (x - 4)(5 - 2x)$$
$$B = 2x(2x - 5) - (x - 4) \times (-(2x - 5))$$
$$B = 2x(2x - 5) + (x - 4)(2x - 5)$$
$$B = (2x - 5)[2x + (x - 4)]$$
$$B = (2x - 5)(2x + x - 4)$$
$$B = (2x - 5)(3x - 4)$$
الجواب: $$B = (2x - 5)(3x - 4)$$
المعطى: $$(-13 - |x-5|) - (x - 5) = -12$$
الخطوة 1: تبسيط المعادلة
$$-13 - |x-5| - x + 5 = -12$$
$$-8 - |x-5| - x = -12$$
$$-|x-5| - x = -12 + 8$$
$$-|x-5| - x = -4$$
$$|x-5| + x = 4$$
الخطوة 2: دراسة الحالات حسب إشارة $$x-5$$
الحالة 1: $$x - 5 \geq 0$$ أي $$x \geq 5$$
في هذه الحالة: $$|x-5| = x - 5$$
$$(x - 5) + x = 4$$
$$2x - 5 = 4$$
$$2x = 9$$
$$x = \frac{9}{2} = 4.5$$
التحقق من الشرط: $$4.5 \geq 5$$؟ لا ✗
إذن هذا الحل مرفوض
الحالة 2: $$x - 5 < 0$$ أي $$x < 5$$
في هذه الحالة: $$|x-5| = -(x - 5) = 5 - x$$
$$(5 - x) + x = 4$$
$$5 = 4$$
هذا تناقض! ✗
الاستنتاج:
المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية
التحقق بطريقة أخرى:
من $$|x-5| + x = 4$$
$$|x-5| = 4 - x$$
لكي يكون للمعادلة حل، يجب أن يكون $$4 - x \geq 0$$، أي $$x \leq 4$$
عندما $$x \leq 4$$، لدينا $$x < 5$$، إذن $$|x-5| = 5 - x$$
$$5 - x = 4 - x$$
$$5 = 4$$ تناقض!
الجواب: المعادلة لا تقبل حلاً (مستحيلة)
المعطى: $$-8 - (15 + |x - 2|) = -27$$
الخطوة 1: تبسيط المعادلة
$$-8 - 15 - |x - 2| = -27$$
$$-23 - |x - 2| = -27$$
$$-|x - 2| = -27 + 23$$
$$-|x - 2| = -4$$
$$|x - 2| = 4$$
الخطوة 2: حل معادلة القيمة المطلقة
$$|x - 2| = 4$$ تعني:
$$x - 2 = 4$$ أو $$x - 2 = -4$$
الحل الأول:
$$x - 2 = 4$$
$$x = 6$$
الحل الثاني:
$$x - 2 = -4$$
$$x = -2$$
التحقق للحل الأول ($$x = 6$$):
$$-8 - (15 + |6 - 2|) = -8 - (15 + 4) = -8 - 19 = -27$$ ✓
التحقق للحل الثاني ($$x = -2$$):
$$-8 - (15 + |-2 - 2|) = -8 - (15 + 4) = -8 - 19 = -27$$ ✓
التفسير الهندسي:
$$|x - 2| = 4$$ يعني أن المسافة بين $$x$$ و $$2$$ على محور الأعداد تساوي $$4$$
هناك نقطتان تحققان هذا الشرط: $$2 + 4 = 6$$ و $$2 - 4 = -2$$
الجواب: $$x = 6$$ أو $$x = -2$$
المجموعة الحلية: $$S = \{-2, 6\}$$
المعطى: $$|-30 + x| = |-5|$$
الخطوة 1: تبسيط الطرف الأيمن
$$|-5| = 5$$
المعادلة تصبح: $$|-30 + x| = 5$$
أو: $$|x - 30| = 5$$
الخطوة 2: حل معادلة القيمة المطلقة
$$|x - 30| = 5$$ تعني:
$$x - 30 = 5$$ أو $$x - 30 = -5$$
الحل الأول:
$$x - 30 = 5$$
$$x = 35$$
الحل الثاني:
$$x - 30 = -5$$
$$x = 25$$
التحقق للحل الأول ($$x = 35$$):
$$|-30 + 35| = |5| = 5$$ ✓
$$|-5| = 5$$ ✓
التحقق للحل الثاني ($$x = 25$$):
$$|-30 + 25| = |-5| = 5$$ ✓
$$|-5| = 5$$ ✓
التفسير الهندسي:
$$|x - 30| = 5$$ يعني أن المسافة بين $$x$$ و $$30$$ على محور الأعداد تساوي $$5$$
النقطتان اللتان تحققان هذا الشرط هما:
• $$30 + 5 = 35$$ (على يمين 30)
• $$30 - 5 = 25$$ (على يسار 30)
الجواب: $$x = 35$$ أو $$x = 25$$
المجموعة الحلية: $$S = \{25, 35\}$$
نعتبر العبارتين $$E$$ و $$F$$ حيث $$x$$ و $$y$$ عددان صحيحان نسبيان:
$$E = -x - (-4 - y + 3) - y$$
$$F = 2 - [x - (-y + 5)] - (4 - x)$$
① بيّن أن $$E = -x + 1$$ و $$F = -y + 3$$
② أحسب $$E + F$$ إذا علمت أن $$x + y = 4$$ ماذا تستنتج؟
③ قارن $$E$$ و $$F$$ إذا علمت أن $$x - y = -7$$
المعطى: $$E = -x - (-4 - y + 3) - y$$
الخطوة 1: تبسيط ما بين الأقواس
$$-4 - y + 3 = -1 - y$$
$$E = -x - (-1 - y) - y$$
الخطوة 2: إزالة الأقواس (انتباه للإشارة)
$$E = -x + 1 + y - y$$
الخطوة 3: جمع الحدود المتشابهة
الحدود التي تحتوي على $$y$$: $$y - y = 0$$
$$E = -x + 1$$
التحقق:
دعنا نتحقق بقيم محددة: $$x = 2$$، $$y = 3$$
$$E = -2 - (-4 - 3 + 3) - 3 = -2 - (-4) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1$$
باستخدام الصيغة المبسطة: $$E = -2 + 1 = -1$$ ✓
تم إثبات أن $$E = -x + 1$$ ✓
المعطى: $$F = 2 - [x - (-y + 5)] - (4 - x)$$
الخطوة 1: تبسيط ما بين الأقواس الداخلية
$$x - (-y + 5) = x + y - 5$$
$$F = 2 - [x + y - 5] - (4 - x)$$
الخطوة 2: إزالة الأقواس المعقوفة
$$F = 2 - x - y + 5 - (4 - x)$$
الخطوة 3: إزالة الأقواس المتبقية
$$F = 2 - x - y + 5 - 4 + x$$
الخطوة 4: جمع الحدود المتشابهة
الحدود الثابتة: $$2 + 5 - 4 = 3$$
الحدود التي تحتوي على $$x$$: $$-x + x = 0$$
الحدود التي تحتوي على $$y$$: $$-y$$
$$F = -y + 3$$
التحقق:
دعنا نتحقق بقيم محددة: $$x = 2$$، $$y = 3$$
$$F = 2 - [2 - (-3 + 5)] - (4 - 2)$$
$$= 2 - [2 - 2] - 2$$
$$= 2 - 0 - 2 = 0$$
باستخدام الصيغة المبسطة: $$F = -3 + 3 = 0$$ ✓
تم إثبات أن $$F = -y + 3$$ ✓
المعطى:
$$E = -x + 1$$
$$F = -y + 3$$
$$x + y = 4$$
الحل:
الخطوة 1: حساب مجموع العبارتين
$$E + F = (-x + 1) + (-y + 3)$$
$$E + F = -x - y + 4$$
$$E + F = -(x + y) + 4$$
الخطوة 2: التعويض بـ $$x + y = 4$$
$$E + F = -4 + 4$$
$$E + F = 0$$
ماذا نستنتج؟
عندما $$x + y = 4$$، فإن $$E + F = 0$$
هذا يعني أن: $$E = -F$$
أو: $$E$$ و $$F$$ معاكسان
التحقق بمثال:
إذا $$x = 1$$ و $$y = 3$$ (حيث $$x + y = 4$$):
$$E = -1 + 1 = 0$$
$$F = -3 + 3 = 0$$
$$E + F = 0 + 0 = 0$$ ✓
إذا $$x = 2$$ و $$y = 2$$ (حيث $$x + y = 4$$):
$$E = -2 + 1 = -1$$
$$F = -2 + 3 = 1$$
$$E + F = -1 + 1 = 0$$ ✓
نلاحظ أن $$E = -F$$
الجواب: $$E + F = 0$$
الاستنتاج: عندما $$x + y = 4$$، فإن $$E$$ و $$F$$ معاكسان ($$E = -F$$)
المعطى:
$$E = -x + 1$$
$$F = -y + 3$$
$$x - y = -7$$
الحل:
الخطوة 1: حساب الفرق بين $$E$$ و $$F$$
$$E - F = (-x + 1) - (-y + 3)$$
$$E - F = -x + 1 + y - 3$$
$$E - F = -x + y - 2$$
$$E - F = -(x - y) - 2$$
الخطوة 2: التعويض بـ $$x - y = -7$$
$$E - F = -(-7) - 2$$
$$E - F = 7 - 2$$
$$E - F = 5$$
الخطوة 3: الاستنتاج
بما أن $$E - F = 5 > 0$$
إذن: $$E > F$$
التحقق بمثال:
إذا $$x = -3$$ و $$y = 4$$ (حيث $$x - y = -3 - 4 = -7$$):
$$E = -(-3) + 1 = 3 + 1 = 4$$
$$F = -4 + 3 = -1$$
$$E - F = 4 - (-1) = 5$$ ✓
ونلاحظ أن $$4 > -1$$، أي $$E > F$$ ✓
إذا $$x = 0$$ و $$y = 7$$ (حيث $$x - y = 0 - 7 = -7$$):
$$E = -0 + 1 = 1$$
$$F = -7 + 3 = -4$$
$$E - F = 1 - (-4) = 5$$ ✓
ونلاحظ أن $$1 > -4$$، أي $$E > F$$ ✓
التفسير:
عندما $$x - y = -7$$، هذا يعني أن $$y$$ أكبر من $$x$$ بمقدار 7
بما أن $$E$$ يعتمد على $$-x$$ و $$F$$ يعتمد على $$-y$$
وبما أن $$y > x$$، فإن $$-y < -x$$
لكن الفرق الثابت ($$+1$$ في $$E$$ مقابل $$+3$$ في $$F$$) لا يكفي لتعويض الفرق
النتيجة النهائية: $$E > F$$ بمقدار 5
الجواب: $$E > F$$ (الفرق بينهما يساوي 5)