فرض مراقبة عدد 2

الإجابة الصحيحة: $$x = \frac{11}{4}$$ أو $$x = -\frac{11}{4}$$

التعليل:

القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بين هذا العدد والصفر على محور الأعداد.

إذا كان $$\left|x\right| = \frac{11}{4}$$، فهذا يعني أن $$x$$ يبعد عن الصفر مسافة $$\frac{11}{4}$$

لذلك يوجد حلان: $$x = \frac{11}{4}$$ (على يمين الصفر) أو $$x = -\frac{11}{4}$$ (على يسار الصفر)

الإجابة الصحيحة: متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$

التعليل:

لكي تكون النقطتان $$A(x_A;y_A)$$ و $$B(x_B;y_B)$$ متناظرتين بالنسبة لـ $$O$$، يجب أن:

$$x_B = -x_A$$ و $$y_B = -y_A$$

نلاحظ أن: $$x_B = 2 = -(-2) = -x_A$$ ✓

و $$y_B = -3 = -(3) = -y_A$$ ✓

إذن النقطتان $$A$$ و $$B$$ متناظرتان بالنسبة لمركز المعلم $$O$$

الإجابة الصحيحة: له مركز تناظر مركزي

التعليل:

المستطيل له مركز تناظر مركزي وهو نقطة تقاطع قطريه.

إذا عينا $$O$$ نقطة تقاطع قطري المستطيل $$ABCD$$، فإن:

- النقطة $$A$$ مناظرة $$C$$ بالنسبة لـ $$O$$

- النقطة $$B$$ مناظرة $$D$$ بالنسبة لـ $$O$$

وبالتالي المستطيل مناظر لنفسه بالنسبة لـ $$O$$

الإجابة الصحيحة: $$x$$ موجب

التعليل:

القيمة المطلقة لعدد دائماً موجبة أو معدومة.

إذا كان $$\left|x\right| = x$$، فهذا يعني أن $$x$$ لم يتغير بعد أخذ القيمة المطلقة.

هذا يحدث فقط عندما يكون $$x \geq 0$$ (أي $$x$$ موجب أو معدوم)

مثال: إذا كان $$x = 5$$، فإن $$\left|5\right| = 5$$ ✓

لكن إذا كان $$x = -5$$، فإن $$\left|-5\right| = 5 \neq -5$$ ✗

اختزال $$E$$:

$$E = -(1-a) + 3 - [b-(1-a)] - (-2+a)$$

$$E = -1+a + 3 - [b-1+a] + 2-a$$

$$E = -1+a + 3 - b+1-a + 2-a$$

$$E = (a-a-a) + (-1+3+1+2) - b$$

$$\boxed{E = -a + 5 - b}$$

اختزال $$F$$:

$$F = -b - [-3-(1+a)-b] - (b-2)$$

$$F = -b - [-3-1-a-b] - b + 2$$

$$F = -b + 3+1+a+b - b + 2$$

$$F = (-b+b-b) + (3+1+2) + a$$

$$\boxed{F = a - b + 6}$$

$$E = -a + 5 - b$$

$$E = -(-2) + 5 - 2$$

$$E = 2 + 5 - 2$$

$$\boxed{E = 5}$$

$$E = -a + 5 - b = -a - b + 5$$

$$E = -(a+b) + 5$$

$$E = -(-10) + 5$$

$$E = 10 + 5$$

$$\boxed{E = 15}$$

إذا كان $$a$$ و $$b$$ متقابلان، فإن $$b = -a$$

$$E = -a + 5 - b$$

$$E = -a + 5 - (-a)$$

$$E = -a + 5 + a$$

$$\boxed{E = 5}$$

$$F = a - b + 6$$

$$F = a - a + 6$$

$$\boxed{F = 6}$$

نحتاج إلى معرفة $$b$$ أو نقارن التعبيرين مباشرة:

$$E = -a + 5 - b = -(-3) + 5 - b = 3 + 5 - b = 8 - b$$

$$F = a - b + 6 = -3 - b + 6 = 3 - b$$

$$E - F = (8-b) - (3-b) = 8 - b - 3 + b = 5$$

بما أن $$E - F = 5 > 0$$

$$\boxed{E > F}$$

$$E = -a + 5 - b = -(a+b) + 5$$

لكن علينا استعمال $$a-b = -12$$، أي $$a = b - 12$$

$$E = -(b-12) + 5 - b$$

$$E = -b + 12 + 5 - b$$

$$E = -2b + 17$$

لا يمكن المقارنة بدون معرفة $$b$$

أو بطريقة أخرى:

$$E - 7 = -a - b + 5 - 7 = -a - b - 2$$

بما أن $$a = b - 12$$:

$$E - 7 = -(b-12) - b - 2 = -b + 12 - b - 2 = -2b + 10$$

إشارة $$E-7$$ تعتمد على قيمة $$b$$

$$F = a - b + 6 = a - (-2) + 6 = a + 2 + 6 = a + 8$$

$$F - (-a+7) = (a+8) - (-a+7)$$

$$F - (-a+7) = a + 8 + a - 7$$

$$F - (-a+7) = 2a + 1$$

إشارة الفرق تعتمد على قيمة $$a$$

- إذا $$a > -\frac{1}{2}$$ فإن $$F > -a+7$$

- إذا $$a = -\frac{1}{2}$$ فإن $$F = -a+7$$

- إذا $$a < -\frac{1}{2}$$ فإن $$F < -a+7$$

الحالة الأولى: $$-1-(x-2) = -4$$

$$-1 - x + 2 = -4$$

$$1 - x = -4$$

$$-x = -4 - 1$$

$$-x = -5$$

$$\boxed{x = 5}$$

الحالة الثانية: $$-1-(3-x) = -2$$

$$-1 - 3 + x = -2$$

$$-4 + x = -2$$

$$x = -2 + 4$$

$$\boxed{x = 2}$$

الحالة الثالثة: $$-3 = -(-3-\left|x\right|) - 1$$

$$-3 = 3 + \left|x\right| - 1$$

$$-3 = 2 + \left|x\right|$$

$$\left|x\right| = -3 - 2$$

$$\left|x\right| = -5$$

هذه المعادلة مستحيلة لأن القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة

$$\boxed{\text{لا يوجد حل}}$$

في المعلم المتعامد $$(O,I,J)$$:

- النقطة $$A(2,4)$$: نتحرك وحدتين على محور الفواصل ثم 4 وحدات على محور التراتيب

- النقطة $$B(4,-4)$$: نتحرك 4 وحدات على محور الفواصل ثم -4 وحدات (للأسفل) على محور التراتيب

- النقطة $$C(4,4)$$: نتحرك 4 وحدات على محور الفواصل ثم 4 وحدات على محور التراتيب

- النقطة $$D(-2,-4)$$: نتحرك -2 وحدة (لليسار) على محور الفواصل ثم -4 وحدات (للأسفل) على محور التراتيب

للتحقق من $$(OI) // (AC)$$:

المستقيم $$(OI)$$ هو محور الفواصل (المحور الأفقي)

النقطتان $$A(2,4)$$ و $$C(4,4)$$ لهما نفس الترتيب $$y = 4$$

إذن المستقيم $$(AC)$$ أفقي (موازي لمحور الفواصل)

$$\boxed{(OI) // (AC)}$$

للتحقق من $$(OI) // (BD)$$:

النقطتان $$B(4,-4)$$ و $$D(-2,-4)$$ لهما نفس الترتيب $$y = -4$$

إذن المستقيم $$(BD)$$ أفقي (موازي لمحور الفواصل)

$$\boxed{(OI) // (BD)}$$

إحداثيات النقطة $$I$$ هي $$(1,0)$$ لأن $$I$$ هي النقطة على محور الفواصل وحدة واحدة من $$O$$

لكن في معلم متعامد معين، نفترض أن $$I(1,0)$$

حساب $$IA$$:

بما أن $$A(2,4)$$ و نفترض $$I$$ على محور الفواصل بحيث نحسب المسافة

في المثلث القائم الزاوية الذي يتكون من الإسقاطات:

الفرق الأفقي: $$\left|2-x_I\right|$$ والفرق العمودي: $$\left|4-0\right| = 4$$

طريقة أسهل باستعمال التناظر المركزي:

بما أن المطلوب بين أن $$ID = IA$$، نبحث عن $$I$$ التي تحقق ذلك

$$I$$ هي منتصف $$[AD]$$:

$$x_I = \frac{x_A + x_D}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

$$y_I = \frac{y_A + y_D}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

إذن $$I$$ هي نقطة الأصل $$O$$!

تصحيح: يبدو أن هناك خطأ في نص التمرين. لنفترض أن المطلوب هو بيان أن $$O$$ منتصف $$[AD]$$:

$$\boxed{OA = OD \text{ حيث } O \text{ منتصف } [AD]}$$

لإثبات أن المثلث قائم الزاوية في $$C$$، نبين أن $$(CA) \perp (CB)$$

الطريقة: باستعمال خواص المستقيمات في المعلم

النقاط: $$A(2,4)$$، $$B(4,-4)$$، $$C(4,4)$$

المستقيم $$(CA)$$:

- النقطتان $$C(4,4)$$ و $$A(2,4)$$ لهما نفس الترتيب $$y = 4$$

- إذن $$(CA)$$ أفقي (موازي لمحور الفواصل)

المستقيم $$(CB)$$:

- النقطتان $$C(4,4)$$ و $$B(4,-4)$$ لهما نفس الفاصل $$x = 4$$

- إذن $$(CB)$$ عمودي (موازي لمحور التراتيب)

بما أن $$(CA)$$ أفقي و $$(CB)$$ عمودي، فإنهما متعامدان

$$\boxed{\text{المثلث } ABC \text{ قائم الزاوية في } C}$$

خاصية: في المثلث القائم الزاوية، المستقيم الذي يصل رأس الزاوية القائمة بمنتصف الوتر عمودي على الوتر، ومنتصف الوتر يبعد نفس المسافة عن الرؤوس الثلاثة

لكن الأسهل: نحسب إحداثيات منتصف $$[AB]$$:

$$x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

إذن منتصف $$[AB]$$ له إحداثيات $$(3, 0)$$

هذه النقطة تقع على محور الفواصل عند $$x=3$$

إذا كنا نسمي هذه النقطة $$I$$، فإن:

$$\boxed{I \text{ هي منتصف } [AB]}$$

لإثبات أن رباعي هو مستطيل، يجب إثبات أنه متوازي أضلاع وله زاوية قائمة

الطريقة 1: إثبات أن الأضلاع المتقابلة متوازية

المستقيم $$(AC)$$:

$$A(2,4)$$ و $$C(4,4)$$ ← نفس الترتيب ← $$(AC)$$ أفقي

المستقيم $$(BD)$$:

$$B(4,-4)$$ و $$D(-2,-4)$$ ← نفس الترتيب ← $$(BD)$$ أفقي

$$\boxed{(AC) // (BD)}$$ ✓

المستقيم $$(AB)$$:

نلاحظ أن الفرق في الفواصل: $$4-2=2$$ والفرق في التراتيب: $$-4-4=-8$$

المستقيم $$(CD)$$:

الفرق في الفواصل: $$-2-4=-6$$ والفرق في التراتيب: $$-4-4=-8$$

نحتاج إلى طريقة أفضل. لنحسب أطوال الأضلاع:

$$AC$$: بما أن لهما نفس $$y$$، فإن $$AC = \left|4-2\right| = 2$$

$$BD$$: بما أن لهما نفس $$y$$، فإن $$BD = \left|4-(-2)\right| = 6$$

بما أن $$AC \neq BD$$، فالرباعي ليس متوازي أضلاع بهذا الترتيب!

تصحيح: ربما المقصود $$ABCD$$ أو $$ABDC$$

لنجرب الرباعي $$ABDC$$:

- $$(AB)$$ و $$(DC)$$

- $$(BD)$$ و $$(AC)$$

لدينا $$(BD) // (AC)$$ ✓ (كلاهما أفقي)

$$BD = 6$$ و $$AC = 2$$، إذن ليسا متقايسين

الخلاصة: يبدو أن هناك خطأ في صياغة السؤال. الترتيب الصحيح للرؤوس يجب أن يكون بحيث تكون الأضلاع المتقابلة متقايسة ومتوازية.

إذا كانت $$E$$ مناظرة $$O$$ بالنسبة لـ $$I(3,0)$$، فإن $$I$$ منتصف $$[OE]$$

$$x_I = \frac{x_O + x_E}{2} \implies 3 = \frac{0 + x_E}{2} \implies x_E = 6$$

$$y_I = \frac{y_O + y_E}{2} \implies 0 = \frac{0 + y_E}{2} \implies y_E = 0$$

إذن $$\boxed{E(6, 0)}$$

إثبات $$DE = OC$$:

$$D(-2, -4)$$ و $$E(6, 0)$$:

الفرق الأفقي: $$\left|6-(-2)\right| = 8$$

الفرق العمودي: $$\left|0-(-4)\right| = 4$$

$$O(0, 0)$$ و $$C(4, 4)$$:

الفرق الأفقي: $$\left|4-0\right| = 4$$

الفرق العمودي: $$\left|4-0\right| = 4$$

لحساب الأطوال نحتاج إلى صيغة المسافة، لكن هذه تتطلب جذور تربيعية

في إطار برنامج 8ème، نكتفي بملاحظة العلاقات الهندسية

$$F$$ هي نقطة تقاطع $$(ED)$$ و $$(OB)$$

هذا السؤال يتطلب حسابات متقدمة لإيجاد إحداثيات $$F$$

في إطار برنامج 8ème، يمكن استعمال خواص التناظر المركزي

إذا كانت هناك نقطة تناظر مركزي تحول $$D$$ إلى $$B$$، فإن $$F$$ تكون على محور التناظر