فرض مراقبة عدد 2 (مثال رقم 3)

المعطى: $$a - b = 5$$

المطلوب: تحديد العلاقة بين $$a$$ و $$b$$

الحل:

الخطوة 1: إعادة كتابة المعادلة

$$a - b = 5$$

$$a = b + 5$$

الخطوة 2: التحليل

بما أن $$a = b + 5$$، فإن $$a$$ أكبر من $$b$$ بـ 5 وحدات

إذن: $$a > b$$

أو بشكل مكافئ: $$b < a$$

مثال توضيحي:

إذا كان $$b = 2$$، فإن $$a = 2 + 5 = 7$$

نلاحظ أن $$7 > 2$$، أي $$a > b$$

الإجابة الصحيحة: $$b < a$$

المطلوب: تحديد طبيعة العدد $$x$$

التذكير بقاعدة القيمة المطلقة:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا كان } x < 0 \end{cases}$$

الحل:

الخطوة 1: تحليل المعادلة $$-x = |x|$$

الحالة الأولى: إذا كان $$x \geq 0$$

$$|x| = x$$

$$-x = x$$

$$-2x = 0$$

$$x = 0$$

الحالة الثانية: إذا كان $$x < 0$$

$$|x| = -x$$

$$-x = -x$$

هذه العبارة صحيحة لكل $$x < 0$$

الاستنتاج:

المعادلة $$-x = |x|$$ تحقق عندما يكون $$x \leq 0$$

أي أن $$x$$ عدد سالب أو معدوم

أمثلة توضيحية:

إذا $$x = -3$$: $$-(-3) = 3$$ و $$|-3| = 3$$ ✓

إذا $$x = 0$$: $$-(0) = 0$$ و $$|0| = 0$$ ✓

إذا $$x = 5$$: $$-(5) = -5$$ و $$|5| = 5$$ ✗

الإجابة الصحيحة: $$x$$ عدد سالب (أو معدوم)

المعطى: في معلم متعامد $$(O,I,J)$$

النقطة $$A(3,-5)$$ والنقطة $$B(-5,3)$$

التذكير بقواعد التناظر:

1) التناظر بالنسبة للنقطة $$O$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(-x,-y)$$

2) التناظر بالنسبة لمحور $$(OI)$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(x,-y)$$

3) التناظر بالنسبة لمحور $$(OJ)$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(-x,y)$$

الحل:

الخطوة 1: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$O$$

إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$O$$:

$$B(-3,5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$

إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$ ✗

الخطوة 2: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$(OI)$$

إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$:

$$B(3,5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$

إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$(OI)$$ ✗

الخطوة 3: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$(OJ)$$

إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OJ)$$:

$$B(-3,-5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$

إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$(OJ)$$ ✗

ملاحظة مهمة:

لنلاحظ أن إحداثيتي النقطتين متبادلتان ومعاكستان في الإشارة:

$$A(3,-5)$$ و $$B(-5,3)$$

هذا يدل على تناظر مركزي بالنسبة للمبدأ $$O$$ مع تبادل المحاور

الإجابة الأقرب: التناظر بالنسبة لـ $$O$$ (مع ملاحظة وجود تبادل)

المعطى: النقطة $$A(3,5)$$ في معلم متعامد $$(O,I,J)$$

المطلوب: إيجاد مناظرة $$A$$ بالنسبة لمحور الفواصل $$(OI)$$

قاعدة التناظر بالنسبة لمحور الفواصل $$(OI)$$:

إذا كانت $$A(x,y)$$ نقطة في المستوي، فإن مناظرتها $$B$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ هي:

$$B(x,-y)$$

أي نحتفظ بالإحداثي الأفقي ($$x$$) ونعكس الإحداثي العمودي ($$y$$)

الحل:

لدينا $$A(3,5)$$

الإحداثي الأفقي: $$x_A = 3$$

الإحداثي العمودي: $$y_A = 5$$

تطبيق قاعدة التناظر:

$$x_B = x_A = 3$$

$$y_B = -y_A = -5$$

النتيجة:

$$B(3,-5)$$

التفسير الهندسي:

النقطة $$B$$ تقع على نفس المسافة من محور $$(OI)$$ مثل النقطة $$A$$، لكن في الجهة المقابلة

المسافة من $$A$$ إلى $$(OI)$$: $$5$$ وحدات (فوق المحور)

المسافة من $$B$$ إلى $$(OI)$$: $$5$$ وحدات (تحت المحور)

الإجابة الصحيحة: $$B(3,-5)$$

المعطى: $$E(a,b) = (2-a) - [7-(2+a)+9] + (b-5)$$

الخطوة 1: تبسيط الأقواس الداخلية

$$E = (2-a) - [7-2-a+9] + (b-5)$$

$$E = (2-a) - [14-a] + (b-5)$$

الخطوة 2: إزالة الأقواس المعقوفة

$$E = (2-a) - 14 + a + (b-5)$$

الخطوة 3: إزالة جميع الأقواس

$$E = 2 - a - 14 + a + b - 5$$

الخطوة 4: جمع الحدود المتشابهة

الحدود الثابتة: $$2 - 14 - 5 = -17$$

الحدود التي تحتوي على $$a$$: $$-a + a = 0$$

الحدود التي تحتوي على $$b$$: $$b$$

النتيجة النهائية:

$$E = b - 17$$

تم إثبات أن $$E = b - 17$$ ✓

المعطى: $$F(a) = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$

الخطوة 1: إزالة الأقواس (انتباه للإشارات)

$$F = 15 - 3 + a - 9 - a + 13 - (-a-2)$$

$$F = 15 - 3 + a - 9 - a + 13 + a + 2$$

الخطوة 2: جمع الحدود المتشابهة

الحدود الثابتة: $$15 - 3 - 9 + 13 + 2 = 18$$

الحدود التي تحتوي على $$a$$: $$a - a + a = a$$

النتيجة النهائية:

$$F = a + 18$$

تصحيح: الجواب في الكتاب يقول $$F = a - 18$$، لكن الحساب الصحيح يعطي $$F = 18 + a$$

دعونا نتحقق مرة أخرى:

$$F = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$

$$= 15 - 3 + a - 9 - a + 13 + a + 2$$

$$= (15-3-9+13+2) + (a-a+a)$$

$$= 18 + a$$

سنفترض أن $$F = a - 18$$ حسب التمرين (قد يكون هناك خطأ في النسخ)

المعطى:

$$E = b - 17$$

$$F = a - 18$$ (حسب التمرين)

$$E = F$$

الحل:

الخطوة 1: كتابة المعادلة

$$b - 17 = a - 18$$

الخطوة 2: إيجاد $$a - b$$

$$b - 17 = a - 18$$

$$b - a = -18 + 17$$

$$b - a = -1$$

$$a - b = 1$$

التحقق:

إذا كان $$a - b = 1$$، أي $$a = b + 1$$

$$E = b - 17$$

$$F = (b+1) - 18 = b - 17$$

إذن $$E = F$$ ✓

الجواب: $$a - b = 1$$

المعطى:

$$E = b - 17$$

$$F = a - 18$$

$$a - b = 10$$

الحل:

الخطوة 1: حساب الفرق بين $$E$$ و $$F$$

$$E - F = (b-17) - (a-18)$$

$$E - F = b - 17 - a + 18$$

$$E - F = b - a + 1$$

$$E - F = -(a-b) + 1$$

الخطوة 2: التعويض بـ $$a-b=10$$

$$E - F = -10 + 1$$

$$E - F = -9$$

الخطوة 3: الاستنتاج

بما أن $$E - F = -9 < 0$$

إذن: $$E < F$$

مثال عددي:

إذا كان $$b = 0$$، فإن $$a = 10$$

$$E = 0 - 17 = -17$$

$$F = 10 - 18 = -8$$

نلاحظ أن $$-17 < -8$$، أي $$E < F$$ ✓

الجواب: $$E < F$$

المعطى:

$$E = b - 17$$

$$F = a - 18$$

$$a > b$$

الحل:

الخطوة 1: حساب الفرق بين $$E$$ و $$F$$

من السؤال السابق نعلم أن:

$$E - F = b - a + 1$$

الخطوة 2: تحليل الحالة عندما $$a > b$$

بما أن $$a > b$$، فإن $$b - a < 0$$

نضع $$a - b = k$$ حيث $$k > 0$$

$$E - F = b - a + 1 = -(a-b) + 1 = -k + 1$$

الخطوة 3: دراسة إشارة $$E - F$$

$$E - F = 1 - k$$

نميز ثلاث حالات:

• إذا كان $$k < 1$$ (أي $$0 < a-b < 1$$): $$E - F > 0$$، إذن $$E > F$$

• إذا كان $$k = 1$$ (أي $$a-b = 1$$): $$E - F = 0$$، إذن $$E = F$$

• إذا كان $$k > 1$$ (أي $$a-b > 1$$): $$E - F < 0$$، إذن $$E < F$$

الجواب: المقارنة تعتمد على قيمة $$a-b$$:

• إذا $$0 < a-b < 1$$: $$E > F$$

• إذا $$a-b = 1$$: $$E = F$$

• إذا $$a-b > 1$$: $$E < F$$

ملاحظة: إذا كان السؤال يفترض أن $$a$$ و $$b$$ أعداد صحيحة، فإن $$a > b$$ يعني $$a - b \geq 1$$، وفي هذه الحالة: $$E \leq F$$

المعطى: $$A = 18 - (-5+11) - 5 + (-6)$$

الخطوة 1: حساب ما بين الأقواس

$$-5 + 11 = 6$$

$$A = 18 - 6 - 5 + (-6)$$

الخطوة 2: إزالة الأقواس

$$A = 18 - 6 - 5 - 6$$

الخطوة 3: الحساب من اليسار إلى اليمين

$$A = 18 - 6 - 5 - 6$$

$$A = 12 - 5 - 6$$

$$A = 7 - 6$$

$$A = 1$$

الجواب: $$A = 1$$

المعطى: $$B = |-6-(-5)| + 6 - |11 + (-21)| + 9$$

الخطوة 1: حساب ما بين القيم المطلقة

القيمة الأولى: $$-6 - (-5) = -6 + 5 = -1$$

$$|-1| = 1$$

القيمة الثانية: $$11 + (-21) = 11 - 21 = -10$$

$$|-10| = 10$$

الخطوة 2: التعويض في العبارة

$$B = 1 + 6 - 10 + 9$$

الخطوة 3: الحساب

$$B = 7 - 10 + 9$$

$$B = -3 + 9$$

$$B = 6$$

الجواب: $$B = 6$$

المعطى: $$x - (-11) = -6$$

الخطوة 1: تبسيط الطرف الأيسر

$$x - (-11) = x + 11$$

المعادلة تصبح: $$x + 11 = -6$$

الخطوة 2: عزل $$x$$

$$x = -6 - 11$$

$$x = -17$$

التحقق:

نعوض $$x = -17$$ في المعادلة الأصلية:

$$(-17) - (-11) = -17 + 11 = -6$$ ✓

الجواب: $$x = -17$$

المعطى: $$-8 - (x+5) = 3$$

الخطوة 1: إزالة الأقواس

$$-8 - x - 5 = 3$$

$$-13 - x = 3$$

الخطوة 2: عزل $$x$$

$$-x = 3 + 13$$

$$-x = 16$$

$$x = -16$$

التحقق:

نعوض $$x = -16$$ في المعادلة الأصلية:

$$-8 - (-16+5) = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$$ ✓

الجواب: $$x = -16$$

المعطى: $$4 - (3-|x|) = -8$$

الخطوة 1: إزالة الأقواس

$$4 - 3 + |x| = -8$$

$$1 + |x| = -8$$

الخطوة 2: عزل القيمة المطلقة

$$|x| = -8 - 1$$

$$|x| = -9$$

الخطوة 3: التحليل

نعلم أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي دائماً موجبة أو معدومة:

$$|x| \geq 0$$ لكل عدد حقيقي $$x$$

ولكن المعادلة تعطينا $$|x| = -9$$

وبما أن $$-9 < 0$$، فإن هذا مستحيل!

الجواب: المعادلة لا تقبل حلاً (مستحيلة)

يرجى الرجوع إلى التصحيح التفصيلي في المثال الأول للحصول على الحل الكامل لهذا التمرين.

التمرين يتضمن:

• تعيين النقاط في معلم متعامد

• إثبات التناظر المحوري والمركزي

• خصائص المثلثات القائمة

• خصائص الدوائر والتناظرات

• المساواة بين الزوايا