أحط بدائرة الإجابة الصحيحة في كل مرة:
| $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a-b=5$$ فإن: | |||
| $$b > a$$ | $$b = a$$ | $$b < a$$ | |
| $$-x=|x|$$ يعني: | |||
| $$x$$ عدد سالب | $$x$$ عدد موجب | لا يمكن | |
| في معلم متعامد $$(O,I,J)$$ و $$A(3,-5)$$ | |||
| $$(OJ)$$ | $$(OI)$$ | $$O$$ | $$B(-5,3)$$ متناظرتان بالنسبة لـ: |
| في معلم متعامد للمستوي $$(O,I,J)$$ و $$A(3,5)$$، مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ إذن: | |||
| $$B(3,-5)$$ | $$B(-3,5)$$ | $$B(-3,-5)$$ | |
المعطى: $$a - b = 5$$
المطلوب: تحديد العلاقة بين $$a$$ و $$b$$
الحل:
الخطوة 1: إعادة كتابة المعادلة
$$a - b = 5$$
$$a = b + 5$$
الخطوة 2: التحليل
بما أن $$a = b + 5$$، فإن $$a$$ أكبر من $$b$$ بـ 5 وحدات
إذن: $$a > b$$
أو بشكل مكافئ: $$b < a$$
مثال توضيحي:
إذا كان $$b = 2$$، فإن $$a = 2 + 5 = 7$$
نلاحظ أن $$7 > 2$$، أي $$a > b$$
الإجابة الصحيحة: $$b < a$$
المطلوب: تحديد طبيعة العدد $$x$$
التذكير بقاعدة القيمة المطلقة:
$$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا كان } x < 0 \end{cases}$$
الحل:
الخطوة 1: تحليل المعادلة $$-x = |x|$$
الحالة الأولى: إذا كان $$x \geq 0$$
$$|x| = x$$
$$-x = x$$
$$-2x = 0$$
$$x = 0$$
الحالة الثانية: إذا كان $$x < 0$$
$$|x| = -x$$
$$-x = -x$$
هذه العبارة صحيحة لكل $$x < 0$$
الاستنتاج:
المعادلة $$-x = |x|$$ تحقق عندما يكون $$x \leq 0$$
أي أن $$x$$ عدد سالب أو معدوم
أمثلة توضيحية:
إذا $$x = -3$$: $$-(-3) = 3$$ و $$|-3| = 3$$ ✓
إذا $$x = 0$$: $$-(0) = 0$$ و $$|0| = 0$$ ✓
إذا $$x = 5$$: $$-(5) = -5$$ و $$|5| = 5$$ ✗
الإجابة الصحيحة: $$x$$ عدد سالب (أو معدوم)
المعطى: في معلم متعامد $$(O,I,J)$$
النقطة $$A(3,-5)$$ والنقطة $$B(-5,3)$$
التذكير بقواعد التناظر:
1) التناظر بالنسبة للنقطة $$O$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(-x,-y)$$
2) التناظر بالنسبة لمحور $$(OI)$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(x,-y)$$
3) التناظر بالنسبة لمحور $$(OJ)$$: $$A(x,y) \rightarrow A'(-x,y)$$
الحل:
الخطوة 1: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$O$$
إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$O$$:
$$B(-3,5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$
إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$ ✗
الخطوة 2: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$(OI)$$
إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$:
$$B(3,5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$
إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$(OI)$$ ✗
الخطوة 3: اختبار التناظر بالنسبة لـ $$(OJ)$$
إذا كانت $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OJ)$$:
$$B(-3,-5)$$ ولكن $$B(-5,3)$$
إذن ليست متناظرتان بالنسبة لـ $$(OJ)$$ ✗
ملاحظة مهمة:
لنلاحظ أن إحداثيتي النقطتين متبادلتان ومعاكستان في الإشارة:
$$A(3,-5)$$ و $$B(-5,3)$$
هذا يدل على تناظر مركزي بالنسبة للمبدأ $$O$$ مع تبادل المحاور
الإجابة الأقرب: التناظر بالنسبة لـ $$O$$ (مع ملاحظة وجود تبادل)
المعطى: النقطة $$A(3,5)$$ في معلم متعامد $$(O,I,J)$$
المطلوب: إيجاد مناظرة $$A$$ بالنسبة لمحور الفواصل $$(OI)$$
قاعدة التناظر بالنسبة لمحور الفواصل $$(OI)$$:
إذا كانت $$A(x,y)$$ نقطة في المستوي، فإن مناظرتها $$B$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ هي:
$$B(x,-y)$$
أي نحتفظ بالإحداثي الأفقي ($$x$$) ونعكس الإحداثي العمودي ($$y$$)
الحل:
لدينا $$A(3,5)$$
الإحداثي الأفقي: $$x_A = 3$$
الإحداثي العمودي: $$y_A = 5$$
تطبيق قاعدة التناظر:
$$x_B = x_A = 3$$
$$y_B = -y_A = -5$$
النتيجة:
$$B(3,-5)$$
التفسير الهندسي:
النقطة $$B$$ تقع على نفس المسافة من محور $$(OI)$$ مثل النقطة $$A$$، لكن في الجهة المقابلة
المسافة من $$A$$ إلى $$(OI)$$: $$5$$ وحدات (فوق المحور)
المسافة من $$B$$ إلى $$(OI)$$: $$5$$ وحدات (تحت المحور)
الإجابة الصحيحة: $$B(3,-5)$$
نعتبر العبارتين:
$$E(a,b) = (2-a) - [7-(2+a)+9] + (b-5)$$
$$F(a) = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$
(1) بيّن أن $$E = b-17$$ و $$F = a-18$$
(3) أحسب $$a-b$$ إذا علمت أن $$E = F$$
(4) قارن $$E$$ و $$F$$:
أ) إذا علمت أن $$a-b=10$$
ب) إذا علمت أن $$a > b$$
المعطى: $$E(a,b) = (2-a) - [7-(2+a)+9] + (b-5)$$
الخطوة 1: تبسيط الأقواس الداخلية
$$E = (2-a) - [7-2-a+9] + (b-5)$$
$$E = (2-a) - [14-a] + (b-5)$$
الخطوة 2: إزالة الأقواس المعقوفة
$$E = (2-a) - 14 + a + (b-5)$$
الخطوة 3: إزالة جميع الأقواس
$$E = 2 - a - 14 + a + b - 5$$
الخطوة 4: جمع الحدود المتشابهة
الحدود الثابتة: $$2 - 14 - 5 = -17$$
الحدود التي تحتوي على $$a$$: $$-a + a = 0$$
الحدود التي تحتوي على $$b$$: $$b$$
النتيجة النهائية:
$$E = b - 17$$
تم إثبات أن $$E = b - 17$$ ✓
المعطى: $$F(a) = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$
الخطوة 1: إزالة الأقواس (انتباه للإشارات)
$$F = 15 - 3 + a - 9 - a + 13 - (-a-2)$$
$$F = 15 - 3 + a - 9 - a + 13 + a + 2$$
الخطوة 2: جمع الحدود المتشابهة
الحدود الثابتة: $$15 - 3 - 9 + 13 + 2 = 18$$
الحدود التي تحتوي على $$a$$: $$a - a + a = a$$
النتيجة النهائية:
$$F = a + 18$$
تصحيح: الجواب في الكتاب يقول $$F = a - 18$$، لكن الحساب الصحيح يعطي $$F = 18 + a$$
دعونا نتحقق مرة أخرى:
$$F = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$
$$= 15 - 3 + a - 9 - a + 13 + a + 2$$
$$= (15-3-9+13+2) + (a-a+a)$$
$$= 18 + a$$
ملاحظة: إذا كانت العبارة الأصلية هي:
$$F(a) = 15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (a+2)$$
فإن: $$F = 15 - 3 + a - 9 - a + 13 - a - 2 = 14 - a$$
أو إذا كانت: $$F(a) = -15 - (3-a) - 9 - (a-13) - (-a-2)$$
فإن: $$F = -15 - 3 + a - 9 - a + 13 + a + 2 = a - 12$$
سنفترض أن $$F = a - 18$$ حسب التمرين (قد يكون هناك خطأ في النسخ)
المعطى:
$$E = b - 17$$
$$F = a - 18$$ (حسب التمرين)
$$E = F$$
الحل:
الخطوة 1: كتابة المعادلة
$$b - 17 = a - 18$$
الخطوة 2: إيجاد $$a - b$$
$$b - 17 = a - 18$$
$$b - a = -18 + 17$$
$$b - a = -1$$
$$a - b = 1$$
التحقق:
إذا كان $$a - b = 1$$، أي $$a = b + 1$$
$$E = b - 17$$
$$F = (b+1) - 18 = b - 17$$
إذن $$E = F$$ ✓
الجواب: $$a - b = 1$$
المعطى:
$$E = b - 17$$
$$F = a - 18$$
$$a - b = 10$$
الحل:
الخطوة 1: حساب الفرق بين $$E$$ و $$F$$
$$E - F = (b-17) - (a-18)$$
$$E - F = b - 17 - a + 18$$
$$E - F = b - a + 1$$
$$E - F = -(a-b) + 1$$
الخطوة 2: التعويض بـ $$a-b=10$$
$$E - F = -10 + 1$$
$$E - F = -9$$
الخطوة 3: الاستنتاج
بما أن $$E - F = -9 < 0$$
إذن: $$E < F$$
مثال عددي:
إذا كان $$b = 0$$، فإن $$a = 10$$
$$E = 0 - 17 = -17$$
$$F = 10 - 18 = -8$$
نلاحظ أن $$-17 < -8$$، أي $$E < F$$ ✓
الجواب: $$E < F$$
المعطى:
$$E = b - 17$$
$$F = a - 18$$
$$a > b$$
الحل:
الخطوة 1: حساب الفرق بين $$E$$ و $$F$$
من السؤال السابق نعلم أن:
$$E - F = b - a + 1$$
الخطوة 2: تحليل الحالة عندما $$a > b$$
بما أن $$a > b$$، فإن $$b - a < 0$$
نضع $$a - b = k$$ حيث $$k > 0$$
$$E - F = b - a + 1 = -(a-b) + 1 = -k + 1$$
الخطوة 3: دراسة إشارة $$E - F$$
$$E - F = 1 - k$$
نميز ثلاث حالات:
• إذا كان $$k < 1$$ (أي $$0 < a-b < 1$$): $$E - F > 0$$، إذن $$E > F$$
• إذا كان $$k = 1$$ (أي $$a-b = 1$$): $$E - F = 0$$، إذن $$E = F$$
• إذا كان $$k > 1$$ (أي $$a-b > 1$$): $$E - F < 0$$، إذن $$E < F$$
أمثلة عددية:
1) إذا $$a=1$$ و $$b=0.5$$ (حيث $$a-b=0.5 < 1$$):
$$E = 0.5 - 17 = -16.5$$
$$F = 1 - 18 = -17$$
$$E > F$$ ✓
2) إذا $$a=3$$ و $$b=2$$ (حيث $$a-b=1$$):
$$E = 2 - 17 = -15$$
$$F = 3 - 18 = -15$$
$$E = F$$ ✓
3) إذا $$a=10$$ و $$b=5$$ (حيث $$a-b=5 > 1$$):
$$E = 5 - 17 = -12$$
$$F = 10 - 18 = -8$$
$$E < F$$ ✓
الجواب: المقارنة تعتمد على قيمة $$a-b$$:
• إذا $$0 < a-b < 1$$: $$E > F$$
• إذا $$a-b = 1$$: $$E = F$$
• إذا $$a-b > 1$$: $$E < F$$
ملاحظة: إذا كان السؤال يفترض أن $$a$$ و $$b$$ أعداد صحيحة، فإن $$a > b$$ يعني $$a - b \geq 1$$، وفي هذه الحالة: $$E \leq F$$
(1) أحسب ما يلي:
$$A = 18 - (-5+11) - 5 + (-6)$$
$$B = |-6-(-5)| + 6 - |11 + (-21)| + 9$$
(2) أوجد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كل حالة إن أمكن ذلك:
$$x - (-11) = -6$$
$$-8 - (x+5) = 3$$
$$4 - (3-|x|) = -8$$
المعطى: $$A = 18 - (-5+11) - 5 + (-6)$$
الخطوة 1: حساب ما بين الأقواس
$$-5 + 11 = 6$$
$$A = 18 - 6 - 5 + (-6)$$
الخطوة 2: إزالة الأقواس
$$A = 18 - 6 - 5 - 6$$
الخطوة 3: الحساب من اليسار إلى اليمين
$$A = 18 - 6 - 5 - 6$$
$$A = 12 - 5 - 6$$
$$A = 7 - 6$$
$$A = 1$$
أو بطريقة أخرى (جمع الأعداد الموجبة والسالبة):
الأعداد الموجبة: $$+18$$
الأعداد السالبة: $$-6 - 5 - 6 = -17$$
$$A = 18 - 17 = 1$$
الجواب: $$A = 1$$
المعطى: $$B = |-6-(-5)| + 6 - |11 + (-21)| + 9$$
الخطوة 1: حساب ما بين القيم المطلقة
القيمة الأولى: $$-6 - (-5) = -6 + 5 = -1$$
$$|-1| = 1$$
القيمة الثانية: $$11 + (-21) = 11 - 21 = -10$$
$$|-10| = 10$$
الخطوة 2: التعويض في العبارة
$$B = 1 + 6 - 10 + 9$$
الخطوة 3: الحساب
$$B = 7 - 10 + 9$$
$$B = -3 + 9$$
$$B = 6$$
أو بطريقة أخرى:
الأعداد الموجبة: $$1 + 6 + 9 = 16$$
الأعداد السالبة: $$-10$$
$$B = 16 - 10 = 6$$
الجواب: $$B = 6$$
المعطى: $$x - (-11) = -6$$
الخطوة 1: تبسيط الطرف الأيسر
$$x - (-11) = x + 11$$
المعادلة تصبح: $$x + 11 = -6$$
الخطوة 2: عزل $$x$$
$$x = -6 - 11$$
$$x = -17$$
التحقق:
نعوض $$x = -17$$ في المعادلة الأصلية:
$$(-17) - (-11) = -17 + 11 = -6$$ ✓
الجواب: $$x = -17$$
المعطى: $$-8 - (x+5) = 3$$
الخطوة 1: إزالة الأقواس
$$-8 - x - 5 = 3$$
$$-13 - x = 3$$
الخطوة 2: عزل $$x$$
$$-x = 3 + 13$$
$$-x = 16$$
$$x = -16$$
التحقق:
نعوض $$x = -16$$ في المعادلة الأصلية:
$$-8 - (-16+5) = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$$ ✓
الجواب: $$x = -16$$
المعطى: $$4 - (3-|x|) = -8$$
الخطوة 1: إزالة الأقواس
$$4 - 3 + |x| = -8$$
$$1 + |x| = -8$$
الخطوة 2: عزل القيمة المطلقة
$$|x| = -8 - 1$$
$$|x| = -9$$
الخطوة 3: التحليل
نعلم أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي هي دائماً موجبة أو معدومة:
$$|x| \geq 0$$ لكل عدد حقيقي $$x$$
ولكن المعادلة تعطينا $$|x| = -9$$
وبما أن $$-9 < 0$$، فإن هذا مستحيل!
الاستنتاج:
المعادلة $$|x| = -9$$ لا تقبل أي حل في مجموعة الأعداد الحقيقية
التفسير الهندسي:
القيمة المطلقة $$|x|$$ تمثل المسافة بين $$x$$ والصفر على محور الأعداد
والمسافة لا يمكن أن تكون سالبة
الجواب: المعادلة لا تقبل حلاً (مستحيلة)
في المستوي $$(O,I,J)$$ معلم متعامد حيث $$OI = OJ$$
(1) عين النقاط $$A(2,3)$$ و $$B(-2,3)$$ و $$E(-3,5)$$ و $$F(-3,5)$$
(2) بيّن أن $$A$$ و $$B$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$(OJ)$$
(3) أ) ابن النقطة $$C$$ مناظرة $$B$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ و حدد إحداثيات النقطة $$C$$
ب) استنتج أن المثلث $$ABC$$ قائم الزاوية
ت) بيّن أن $$O$$ منتصف $$[AC]$$
(3) الدائرة $$(\mathcal{C})$$ التي مركزها $$E$$ وشعاعها $$2\text{cm}$$
أ) ابن $$(\mathcal{C}')$$ مناظرة $$(\mathcal{C})$$ ثم حدد مركز و شعاع $$(\mathcal{C}')$$ معللاً الإجابة
(4) بيّن أن $$\widehat{EAC} = \widehat{FCA}$$
النقاط المعطاة:
• $$A(2,3)$$: الإحداثي الأفقي $$x=2$$، الإحداثي العمودي $$y=3$$
• $$B(-2,3)$$: الإحداثي الأفقي $$x=-2$$، الإحداثي العمودي $$y=3$$
• $$E(-3,5)$$: الإحداثي الأفقي $$x=-3$$، الإحداثي العمودي $$y=5$$
• $$F(-3,5)$$: نفس إحداثيات $$E$$ (ربما خطأ في النسخ، قد تكون $$F(3,5)$$)
ملاحظة: بافتراض أن $$F(3,-5)$$ كما في الملف الأصلي
يتم تعيين النقاط على المعلم المتعامد بوضع الإحداثيات المناسبة
المعطى:
$$A(2,3)$$ و $$B(-2,3)$$
قاعدة التناظر بالنسبة لمحور التراتيب $$(OJ)$$:
إذا كانت $$M(x,y)$$ نقطة، فإن مناظرتها $$M'$$ بالنسبة لـ $$(OJ)$$ هي:
$$M'(-x,y)$$
الإثبات:
الخطوة 1: نحدد مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OJ)$$
$$A(2,3) \rightarrow A'(-2,3)$$
الخطوة 2: المقارنة مع $$B$$
نلاحظ أن $$A'(-2,3) = B(-2,3)$$
التفسير الهندسي:
• النقطتان $$A$$ و $$B$$ لهما نفس الإحداثي العمودي ($$y=3$$)
• الإحداثي الأفقي متعاكس في الإشارة ($$2$$ و $$-2$$)
• المحور $$(OJ)$$ يمر من منتصف القطعة $$[AB]$$ وهو عمودي عليها
حساب منتصف $$[AB]$$:
$$I_{AB} = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (0,3)$$
هذه النقطة تقع على المحور $$(OJ)$$ (حيث $$x=0$$)
النتيجة: $$A$$ و $$B$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$(OJ)$$ ✓
المعطى: $$C$$ مناظرة $$B$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$
$$B(-2,3)$$
قاعدة التناظر بالنسبة لمحور الفواصل $$(OI)$$:
إذا كانت $$M(x,y)$$ نقطة، فإن مناظرتها $$M'$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$ هي:
$$M'(x,-y)$$
الحل:
تطبيق القاعدة على $$B(-2,3)$$:
$$C(-2,-3)$$
التحقق:
• منتصف $$[BC]$$: $$I_{BC} = \left(\frac{-2+(-2)}{2}, \frac{3+(-3)}{2}\right) = (-2,0)$$
• هذه النقطة تقع على المحور $$(OI)$$ (حيث $$y=0$$) ✓
• المحور $$(OI)$$ عمودي على القطعة $$[BC]$$ (التي هي عمودية) ✓
الجواب: $$C(-2,-3)$$
المعطى:
$$A(2,3)$$، $$B(-2,3)$$، $$C(-2,-3)$$
الطريقة 1: باستخدام الإحداثيات
الخطوة 1: حساب أطوال أضلاع المثلث
$$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{4^2 + 0} = 4$$
$$BC = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6$$
$$AC = \sqrt{(2-(-2))^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}$$
الخطوة 2: تطبيق نظرية فيثاغورس
نتحقق من العلاقة: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$
$$52 = 16 + 36$$
$$52 = 52$$ ✓
الطريقة 2: باستخدام الجداء السلمي (متجهات)
$$\vec{BA} = (4,0)$$
$$\vec{BC} = (0,-6)$$
$$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \times 0 + 0 \times (-6) = 0$$
إذن $$\vec{BA} \perp \vec{BC}$$
الطريقة 3: بالملاحظة المباشرة
• $$AB$$ أفقية ($$y$$ ثابت = 3)
• $$BC$$ عمودية ($$x$$ ثابت = -2)
• الأضلاع الأفقية والعمودية متعامدة
النتيجة: المثلث $$ABC$$ قائم الزاوية في $$B$$ ✓
المعطى:
$$A(2,3)$$، $$C(-2,-3)$$، $$O(0,0)$$
الطريقة 1: حساب إحداثيات منتصف $$[AC]$$
إحداثيات المنتصف $$I$$ للقطعة $$[AC]$$:
$$I = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$
$$I = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + (-3)}{2}\right)$$
$$I = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)$$
$$I = (0,0) = O$$
الطريقة 2: باستخدام المتجهات
نتحقق من أن $$\vec{OA} = -\vec{OC}$$:
$$\vec{OA} = (2,3)$$
$$\vec{OC} = (-2,-3)$$
$$-\vec{OC} = (2,3) = \vec{OA}$$ ✓
الطريقة 3: باستخدام المسافات
$$OA = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$
$$OC = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$$
$$OA = OC$$ و $$O$$، $$A$$، $$C$$ على استقامة واحدة
إذن $$O$$ هو منتصف $$[AC]$$
التفسير الهندسي:
النقطة $$C$$ هي مناظرة $$A$$ بالنسبة للمبدأ $$O$$
(تناظر مركزي بالنسبة لـ $$O$$)
النتيجة: $$O$$ منتصف $$[AC]$$ ✓
المعطى:
الدائرة $$(\mathcal{C})$$ مركزها $$E(-3,5)$$ وشعاعها $$R = 2\text{cm}$$
ملاحظة: لم يحدد التمرين بالنسبة لماذا يكون التناظر
سنفترض أنه التناظر بالنسبة لـ $$(OI)$$ (الأكثر احتمالاً)
خصائص التناظر المحوري للدائرة:
عند تناظر دائرة بالنسبة لمحور:
• مركز الدائرة الجديدة هو مناظر المركز الأصلي
• الشعاع يبقى نفسه (التناظر يحافظ على المسافات)
الحل:
الخطوة 1: إيجاد مناظر $$E$$ بالنسبة لـ $$(OI)$$
$$E(-3,5) \rightarrow E'(-3,-5)$$
الخطوة 2: تحديد الدائرة $$(\mathcal{C}')$$
• مركز $$(\mathcal{C}')$$ هو $$E'(-3,-5)$$
• شعاع $$(\mathcal{C}')$$ هو $$R' = 2\text{cm}$$
التعليل:
التناظر المحوري تحويل متساوي المسافات (isométrie)، لذلك:
• يحول الدائرة إلى دائرة
• يحافظ على الشعاع
• مركز الدائرة الجديدة هو صورة المركز الأصلي
الجواب: $$(\mathcal{C}')$$ مركزها $$E'(-3,-5)$$ وشعاعها $$2\text{cm}$$
المعطى:
$$A(2,3)$$، $$C(-2,-3)$$، $$E(-3,5)$$، $$F(3,-5)$$ (بافتراض التصحيح)
الملاحظة الأساسية:
من الفقرة السابقة، نعلم أن:
• $$E$$ و $$F$$ متناظران بالنسبة لـ $$O$$ (تناظر مركزي)
• $$A$$ و $$C$$ متناظران بالنسبة لـ $$O$$ (من السؤال 3-ت)
الإثبات:
الخطوة 1: خاصية التناظر المركزي
التناظر المركزي بالنسبة لـ $$O$$ يحول:
• $$E \rightarrow F$$
• $$A \rightarrow C$$
• $$C \rightarrow A$$
الخطوة 2: حفظ الزوايا
التناظر المركزي يحافظ على قياس الزوايا، لذلك:
$$\widehat{EAC} = \widehat{FCA}$$
الطريقة البديلة: باستخدام المتجهات
يمكن حساب الزاويتين باستخدام الجداء السلمي:
للزاوية $$\widehat{EAC}$$:
$$\vec{AE} = (-3-2, 5-3) = (-5,2)$$
$$\vec{AC} = (-2-2, -3-3) = (-4,-6)$$
للزاوية $$\widehat{FCA}$$:
$$\vec{CF} = (3-(-2), -5-(-3)) = (5,-2)$$
$$\vec{CA} = (2-(-2), 3-(-3)) = (4,6)$$
نلاحظ أن:
$$\vec{CF} = -\vec{AE}$$ و $$\vec{CA} = -\vec{AC}$$
إذن الزاويتان متساويتان في القياس
النتيجة: $$\widehat{EAC} = \widehat{FCA}$$ ✓
ليكن $$(O,I,J)$$ معلماً متعامداً في المستوي حيث $$OI = OJ = 1\text{cm}$$
(1) عين النقاط $$A(3,1)$$ و $$B(-3,-1)$$
(2) بيّن أن $$O$$ منتصف $$[AB]$$
(3) ما هي مناظرة قطعة المستقيم $$[AB]$$ بالنسبة إلى $$O$$؟ علل جوابك
(4) أرسم الدائرة $$(\mathcal{C})$$ التي مركزها $$A$$ وشعاعها $$2\text{cm}$$ ثم ابن الدائرة $$(\mathcal{C}')$$ مناظرة $$(\mathcal{C})$$ بالنسبة إلى $$O$$
- حدد معللاً جوابك مركزها وشعاعها
(5) الدائرة $$(\mathcal{C})$$ تقطع $$[AB]$$ في نقطة $$E$$ والدائرة $$(\mathcal{C}')$$ تقطع $$[AB]$$ في نقطة $$F$$
بين أن $$E$$ و $$F$$ متناظرتين بالنسبة إلى $$O$$
المعطى: معلم متعامد $$(O,I,J)$$ حيث $$OI = OJ = 1\text{cm}$$
النقاط المطلوب تعيينها:
• $$A(3,1)$$: نتحرك 3 وحدات على محور $$(OI)$$ ثم وحدة واحدة موازياً لمحور $$(OJ)$$
• $$B(-3,-1)$$: نتحرك 3 وحدات في الاتجاه السالب على محور $$(OI)$$ ثم وحدة واحدة في الاتجاه السالب موازياً لمحور $$(OJ)$$
ملاحظة:
النقطتان $$A$$ و $$B$$ تقعان على جانبين متقابلين من المبدأ $$O$$
الإحداثيات متعاكسة في الإشارة، مما يوحي بتناظر مركزي
يتم تعيين النقاط بدقة على المعلم المتعامد
المعطى: $$A(3,1)$$ و $$B(-3,-1)$$
الطريقة 1: حساب إحداثيات المنتصف
إحداثيات منتصف القطعة $$[AB]$$ هي:
$$I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
التعويض:
$$I = \left(\frac{3 + (-3)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}\right)$$
$$I = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)$$
$$I = (0,0) = O$$
الطريقة 2: باستخدام المتجهات
نحسب $$\vec{OA}$$ و $$\vec{OB}$$:
$$\vec{OA} = (3,1)$$
$$\vec{OB} = (-3,-1) = -\vec{OA}$$
بما أن $$\vec{OB} = -\vec{OA}$$، فإن $$O$$ منتصف $$[AB]$$
الطريقة 3: حساب المسافات
$$OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$
$$OB = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$
$$AB = \sqrt{(3-(-3))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$
نلاحظ أن: $$OA + OB = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = AB$$
وبما أن $$O$$، $$A$$، $$B$$ على استقامة واحدة و $$OA = OB$$، فإن $$O$$ منتصف $$[AB]$$
النتيجة: $$O$$ منتصف $$[AB]$$ ✓
المطلوب: تحديد مناظرة $$[AB]$$ بالنسبة للتناظر المركزي ذي المركز $$O$$
خاصية التناظر المركزي:
في التناظر المركزي بالنسبة لنقطة $$O$$:
• إذا كانت $$M$$ نقطة، فإن مناظرتها $$M'$$ تحقق: $$O$$ منتصف $$[MM']$$
• مناظر قطعة مستقيم هو قطعة مستقيم
الحل:
الخطوة 1: إيجاد مناظر النقطتين $$A$$ و $$B$$
• مناظر $$A(3,1)$$ بالنسبة لـ $$O$$ هو $$A'(-3,-1) = B$$
• مناظر $$B(-3,-1)$$ بالنسبة لـ $$O$$ هو $$B'(3,1) = A$$
الخطوة 2: الاستنتاج
مناظرة القطعة $$[AB]$$ بالنسبة لـ $$O$$ هي القطعة $$[BA]$$
أي أن $$[AB] = [BA]$$ (نفس القطعة)
التعليل:
بما أن $$O$$ منتصف $$[AB]$$، فإن التناظر المركزي بالنسبة لـ $$O$$ يبادل بين طرفي القطعة
القطعة $$[AB]$$ تحول إلى نفسها
نقول أن $$[AB]$$ **ثابتة عمومياً** بالنسبة للتناظر (أي أن القطعة ككل تحول إلى نفسها، وإن كانت نقاطها تتبادل)
الجواب: مناظرة $$[AB]$$ بالنسبة لـ $$O$$ هي نفسها $$[AB]$$
لأن $$A \rightarrow B$$ و $$B \rightarrow A$$، والقطعة تحول إلى نفسها
المعطى:
الدائرة $$(\mathcal{C})$$ مركزها $$A(3,1)$$ وشعاعها $$R = 2\text{cm}$$
المطلوب: بناء $$(\mathcal{C}')$$ مناظرة $$(\mathcal{C})$$ بالنسبة لـ $$O$$
خاصية التناظر المركزي للدائرة:
عند تناظر دائرة بالنسبة لنقطة:
• مركز الدائرة الجديدة هو مناظر المركز الأصلي
• الشعاع يبقى نفسه (التناظر المركزي يحافظ على المسافات)
الحل:
الخطوة 1: إيجاد مناظر المركز $$A$$
مناظر $$A(3,1)$$ بالنسبة لـ $$O(0,0)$$ هو:
$$A'(-3,-1) = B$$
الخطوة 2: تحديد الدائرة $$(\mathcal{C}')$$
• مركز $$(\mathcal{C}')$$ هو $$B(-3,-1)$$
• شعاع $$(\mathcal{C}')$$ هو $$R' = 2\text{cm}$$
التعليل:
1) المركز: التناظر المركزي يحول النقطة $$A$$ إلى النقطة $$B$$
2) الشعاع: التناظر المركزي تحويل متساوي المسافات (isométrie)
أي يحافظ على المسافات، لذلك الشعاع يبقى $$2\text{cm}$$
التحقق:
$$OA = \sqrt{10}$$ و $$OB = \sqrt{10}$$
$$O$$ منتصف $$[AB]$$
إذن $$B$$ هو فعلاً مناظر $$A$$ بالنسبة لـ $$O$$ ✓
الجواب: $$(\mathcal{C}')$$ مركزها $$B(-3,-1)$$ وشعاعها $$2\text{cm}$$
المعطى:
• $$E$$ نقطة تقاطع $$(\mathcal{C})$$ مع $$[AB]$$
• $$F$$ نقطة تقاطع $$(\mathcal{C}')$$ مع $$[AB]$$
• $$(\mathcal{C}')$$ مناظرة $$(\mathcal{C})$$ بالنسبة لـ $$O$$
خاصية التناظر المركزي:
التناظر المركزي يحافظ على:
• الانتماء: إذا كانت نقطة على شكل، فمناظرها ينتمي للشكل المناظر
• التقاطع: مناظر نقطة تقاطع هو نقطة تقاطع الأشكال المناظرة
الإثبات:
الخطوة 1: تحليل النقطة $$E$$
$$E$$ تنتمي إلى:
- الدائرة $$(\mathcal{C})$$ (معطى)
- القطعة $$[AB]$$ (معطى)
الخطوة 2: تطبيق التناظر على $$E$$
لنسمي $$E'$$ مناظرة $$E$$ بالنسبة لـ $$O$$
بما أن التناظر المركزي بالنسبة لـ $$O$$ يحول:
- $$(\mathcal{C}) \rightarrow (\mathcal{C}')$$
- $$[AB] \rightarrow [AB]$$ (من السؤال 3)
فإن $$E'$$ تنتمي إلى:
- الدائرة $$(\mathcal{C}')$$ (صورة $$(\mathcal{C})$$)
- القطعة $$[AB]$$ (صورة $$[AB]$$)
الخطوة 3: الاستنتاج
$$E'$$ هي نقطة تقاطع $$(\mathcal{C}')$$ مع $$[AB]$$
حسب المعطى، هذه النقطة هي $$F$$
إذن: $$E' = F$$
التفسير الهندسي:
• الدائرتان $$(\mathcal{C})$$ و $$(\mathcal{C}')$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$
• القطعة $$[AB]$$ تمر من $$O$$ وثابتة عمومياً
• نقاط تقاطع الدائرتين مع $$[AB]$$ متناظرة بالنسبة لـ $$O$$
حساب إضافي (اختياري):
يمكن حساب موقع $$E$$ بدقة:
$$E$$ على $$[AB]$$ و $$AE = 2\text{cm}$$ (شعاع $$(\mathcal{C})$$)
$$AB = 2\sqrt{10} \approx 6.32\text{cm}$$
$$E$$ تقع بين $$A$$ و $$O$$ على بعد $$2\text{cm}$$ من $$A$$
بالمثل، $$F$$ تقع على بعد $$2\text{cm}$$ من $$B$$ في اتجاه $$O$$
بما أن $$O$$ منتصف $$[AB]$$ و $$OA = \sqrt{10} \approx 3.16\text{cm}$$
$$OE = OA - AE = \sqrt{10} - 2 \approx 1.16\text{cm}$$
$$OF = OB - BF = \sqrt{10} - 2 \approx 1.16\text{cm}$$
$$OE = OF$$ و$$E$$، $$O$$، $$F$$ على استقامة واحدة
إذن $$E$$ و $$F$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$ ✓
النتيجة: $$E$$ و $$F$$ متناظرتان بالنسبة لـ $$O$$ ✓