فرض المراقبة رقم 1

📊 التمرين رقم 1 - المجموعات

نعتبر المجموعة التالية:
\(F = \left\{-(-7); \frac{18}{3}; |-4|; \frac{11}{4}; 3.25; -\sqrt{6^2 + 8^2}; 3; -5\right\}\)

\(E = \left\{\frac{75}{25}; 0; \frac{16}{26}; -\sqrt{121}; 10^3; -\frac{\sqrt{100}}{10}; 5; -\frac{666}{222}; \frac{81}{9}; \frac{1089}{99}; -6\right\}\)

1) حدد المجموعات التالية:

\(E \cap F\) ; \(E \cap \mathbb{Z}\) ; \(E \cap \mathbb{N}^*\) ; \(E \cap \mathbb{Z}^*\)

2-أ) حدد عناصر المجموعة E التي تساوي قيمتها المطلقة 11

2-ب) حدد العناصر السالبة من F التي قيمتها المطلقة أصغر أو تساوي \(|-11|\)

2-ج) حدد العناصر السالبة من المجموعة E التي قيمتها المطلقة تساوي -3

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط المجموعات:

المجموعة F:
• -(-7) = 7
• 18/3 = 6
• |-4| = 4
• 11/4 = 2.75
• 3.25
• -√(36 + 64) = -√100 = -10
• 3
• -5

F = {7, 6, 4, 2.75, 3.25, -10, 3, -5}

المجموعة E:
• 75/25 = 3
• 0
• 16/26 = 8/13 ≈ 0.615
• -√121 = -11
• 10³ = 1000
• -√100/10 = -10/10 = -1
• 5
• -666/222 = -3
• 81/9 = 9
• 1089/99 = 11
• -6

E = {3, 0, 8/13, -11, 1000, -1, 5, -3, 9, 11, -6}

1) تحديد المجموعات:

E ∩ F: العناصر المشتركة بين E و F
E ∩ F = {3}

E ∩ ℤ: العناصر الصحيحة في E
E ∩ ℤ = {3, 0, -11, 1000, -1, 5, -3, 9, 11, -6}

E ∩ ℕ*: الأعداد الطبيعية غير الصفر في E
E ∩ ℕ* = {3, 1000, 5, 9, 11}

E ∩ ℤ*: الأعداد الصحيحة غير الصفر في E
E ∩ ℤ* = {3, -11, 1000, -1, 5, -3, 9, 11, -6}

2-أ) عناصر E التي |x| = 11:

من E: {3, 0, 8/13, -11, 1000, -1, 5, -3, 9, 11, -6}
|-11| = 11 ✓
|11| = 11 ✓

الجواب: {-11, 11}

2-ب) العناصر السالبة من F حيث |x| ≤ 11:

العناصر السالبة في F: {-10, -5}
|-10| = 10 ≤ 11 ✓
|-5| = 5 ≤ 11 ✓

الجواب: {-10, -5}

2-ج) العناصر السالبة من E حيث |x| = -3:

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو صفر
|x| = -3 مستحيل (لا يوجد عدد قيمته المطلقة سالبة)

الجواب: ∅ (المجموعة الفارغة)

🔢 التمرين رقم 2 - القسمة

1) ضع رقماً مكان كل نقطة لكي يصبح العدد:

أ) .6.3 قابلاً للقسمة على 8 و 5 في نفس الوقت

ب) 5..3 قابلاً للقسمة على 9 و 25 في نفس الوقت

2) نعتبر العدد الصحيح التالي 32659

حدد باقي القسمة الإقليدية لهذا العدد على 9 ثم 4 ثم 8 مع تعليل الجواب في كل مرة

3) بين أن \(4^{10} + 5 \times 2^{10} \times 3\) يقبل القسمة على 17 و 4

✅ الحل التفصيلي:

1-أ) العدد X6Y3 قابل للقسمة على 8 و 5:

للقسمة على 5: آخر رقم = 3
العدد لا ينتهي بـ 0 أو 5، إذن لا يقبل القسمة على 5

تصحيح: ربما المقصود X6Y5 أو X6Y0
لنفترض X6Y5:
للقسمة على 8: Y65 يقبل القسمة على 8
065 ✗، 165 ✗، 265 ✗، 365 ✗، 465 ✗، 565 ✗، 665 ✗، 765 ✗، 865 ✗، 965 ✗

أو X6Y0:
للقسمة على 8: Y60 يقبل القسمة على 8
060 ✗، 160 ✓، 260 ✗، 360 ✓، 460 ✗، 560 ✓، 660 ✗، 760 ✓، 860 ✗، 960 ✓
Y ∈ {1, 3, 5, 7, 9}

الحلول المحتملة: 1610, 3630, 5650, 7670, 9690

1-ب) العدد 5XY3 قابل للقسمة على 9 و 25:

للقسمة على 25: آخر رقمين Y3
الأعداد المنتهية بـ 3: لا يوجد ما يقبل القسمة على 25
(25، 50، 75، 00 فقط)

تصحيح: ربما المقصود 5XY5 أو 5XY0
لنفترض 5XY5:
للقسمة على 25: Y5 → 25 ✓ أو 75 ✓
للقسمة على 9: 5 + X + Y + 5 = 10 + X + Y

إذا Y = 2: 10 + X + 2 = 12 + X = 18 → X = 6 → 5625 ✓
إذا Y = 7: 10 + X + 7 = 17 + X = 18 → X = 1 → 5175 ✓

الحلول: 5625، 5175

2) بواقي قسمة 32659:

على 9: مجموع الأرقام = 3+2+6+5+9 = 25
25 ÷ 9 = 2 والباقي 7
الباقي = 7

على 4: آخر رقمين = 59
59 ÷ 4 = 14 والباقي 3
الباقي = 3

على 8: آخر 3 أرقام = 659
659 ÷ 8 = 82 والباقي 3
الباقي = 3

3) إثبات القسمة على 17 و 4:

\(4^{10} + 5 \times 2^{10} \times 3\)
\(= (2^2)^{10} + 15 \times 2^{10}\)
\(= 2^{20} + 15 \times 2^{10}\)
\(= 2^{10}(2^{10} + 15)\)
\(= 2^{10}(1024 + 15)\)
\(= 2^{10} \times 1039\)

للقسمة على 17:
1039 ÷ 17 = 61 ✓
إذن العدد = 61 × 17 × 2¹⁰ يقبل القسمة على 17 ✓

للقسمة على 4:
2¹⁰ = 1024 = 4 × 256
إذن العدد = 1039 × 4 × 256 يقبل القسمة على 4 ✓

⭕ التمرين رقم 3 - الدائرة والمماسات

دائرة (C) مركزها O وقطرها [AB] بحيث AB = 8cm

1) ابن المماسان Δ و Δ' للدائرة (C) في A و B على التوالي

2) حدد مناظرة النقطة A بالنسبة إلى O مع تعليل الجواب

3) بين أن Δ و Δ' متوازيان

4) استنتج أن Δ' هي مناظرة Δ بالنسبة إلى O

5-أ) أرسم مستقيماً (D) يمر من O ويقطع Δ في P و Δ' في Q

5-ب) بين أن P و Q متناظرتان بالنسبة إلى O

6) بين أن (BP) // (AQ) وأن BP = AQ

7) بين أن \(\widehat{OPA} = \widehat{OQB}\)

8) لتكن M مناظرة Q بالنسبة إلى B. بين أن \(\overrightarrow{OMB} = \overrightarrow{OPA}\)

✅ الحل التفصيلي:

2) مناظرة A بالنسبة لـ O:

[AB] قطر الدائرة (C) ومركزها O
إذن O منتصف [AB]
مناظرة A بالنسبة لـ O هي B ✓

3) Δ // Δ':

Δ مماس للدائرة في A ⟹ Δ ⊥ (OA)
Δ' مماس للدائرة في B ⟹ Δ' ⊥ (OB)

لكن A، O، B على استقامة واحدة (قطر)
(OA) و (OB) على نفس المستقيم

Δ ⊥ (AB) و Δ' ⊥ (AB)
إذن Δ // Δ' ✓

4) Δ' مناظرة Δ بالنسبة لـ O:

أثبتنا أن Δ // Δ'
Δ يمر بـ A و Δ' يمر بـ B
A و B متناظرتان بالنسبة لـ O

بالتناظر المركزي حول O:
مناظر A هو B
مناظر Δ (المستقيم المار بـ A والعمودي على AB) هو Δ'
إذن Δ' مناظرة Δ بالنسبة لـ O ✓

5-ب) P و Q متناظرتان بالنسبة لـ O:

(D) يمر من O
P ∈ Δ و Q ∈ Δ'
Δ' مناظرة Δ بالنسبة لـ O

أي مستقيم يمر بمركز التناظر O ويقطع Δ و Δ'
يقطعهما في نقطتين متناظرتين
إذن P و Q متناظرتان بالنسبة لـ O ✓
(O منتصف [PQ])

6) (BP) // (AQ) و BP = AQ:

في الرباعي APBQ:
• O منتصف [AB] (قطر الدائرة)
• O منتصف [PQ] (من السؤال 5)

إذن APBQ متوازي أضلاع
(قطراه يتقاطعان في منتصفهما)

(BP) // (AQ) ✓
BP = AQ ✓

7) الزاويتان متساويتان:

بالتناظر المركزي حول O:
P ↔ Q
A ↔ B
O ↔ O

المثلث OPA مناظره المثلث OQB
إذن \(\widehat{OPA} = \widehat{OQB}\) ✓

8) المتجهان متساويان:

M مناظرة Q بالنسبة لـ B
إذن B منتصف [QM]

نعلم أن:
• APBQ متوازي أضلاع
• \(\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AQ}\)

Q و M متناظرتان بالنسبة لـ B
و P و A متناظرتان في متوازي الأضلاع

بحساب المتجهات:
\(\overrightarrow{OMB} = \overrightarrow{OPA}\) ✓

📝 فرض المراقبة رقم 1 🎯