فرض المراقبة رقم 1

🎯 التمرين رقم 1 - أحط بدائرة (4 نقاط)

أحط بدائرة كل إجابة صحيحة (يمكن أن توجد أكثر من إجابة صحيحة)

\(64^{21} + 5 \times 64^4\) يقبل القسمة على	3 7 12 4
العدد 60a348 يقبل القسمة على 8 إذا كان a يساوي:	4 7 6 لا يمكن
إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة لـ O فإن	O منتصف [AB] A منتصف [OB] AB=AO OA=OB
مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقق \(\|x\| = -x\) هي	\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^\) \(\mathbb{Z}_-\) \(\mathbb{Z}^_-\)
العدد \(\|-(−12)\|\) ينتمي إلى	\(\mathbb{Z}_+\) \(\mathbb{Z}_-\) فارغة أخرى

✅ الحلول التفصيلية:

1) \(64^{21} + 5 \times 64^4\) يقبل القسمة على:

\(64^{21} + 5 \times 64^4 = 64^4(64^{17} + 5)\)
\(64 = 2^6\) إذن \(64^{17} = (2^6)^{17} = 2^{102}\) (زوجي)
\(64^{17}\) زوجي، إذن \(64^{17} + 5\) فردي
نحسب باقي القسمة على 3:
\(64 \equiv 1 \pmod{3}\) إذن \(64^{17} \equiv 1 \pmod{3}\)
\(64^{17} + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓
الجواب: 3

2) العدد 60a348 يقبل القسمة على 8:

للقسمة على 8: آخر 3 أرقام (a48) يجب أن تقبل القسمة على 8
048 ÷ 8 = 6 ✓ → a = 0
148 ÷ 8 = 18.5 ✗
248 ÷ 8 = 31 ✓ → a = 2
348 ÷ 8 = 43.5 ✗
448 ÷ 8 = 56 ✓ → a = 4
548 ÷ 8 = 68.5 ✗
648 ÷ 8 = 81 ✓ → a = 6
748 ÷ 8 = 93.5 ✗
848 ÷ 8 = 106 ✓ → a = 8
الجواب: a = 4 (من بين الخيارات)

3) إذا كان A و B متناظرتان بالنسبة لـ O:

تعريف التناظر المركزي:
A و B متناظرتان بالنسبة لـ O ⇔ O منتصف [AB] ✓
الجواب: O منتصف [AB]

4) مجموعة الأعداد التي تحقق \(|x| = -x\):

\(|x| = -x\) يعني أن x ≤ 0
للأعداد الصحيحة: x ∈ ℤ₋ = {..., -3, -2, -1, 0}
الجواب: ℤ₋

5) العدد \(|-(−12)|\):

\(|-(−12)| = |12| = 12\)
12 ∈ ℤ₊ (موجب) ✓
12 ∈ ℤ₋? لا، لأن 12 > 0
الجواب: ℤ₊

📊 التمرين رقم 2 - المجموعات (5 نقاط)

نعتبر المجموعة:
\(A = \left\{(-2); -21456; -2; 0.03; \frac{3^{2015} + 9^{1008} + 3 \times 27^{672}}{4}; O; \frac{38664}{9}; \frac{37258}{8}; \sqrt{3^2 + 4^2}\right\}\)

1) أكمل:

\(A \cap \mathbb{Z} = \) ................

\(A \cap \mathbb{Z}^*_+ = \) ................

\(A \cap \mathbb{Z}_- = \) ................

\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^* = \) ................

\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^*_- = \) ................

\(\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Z}^* = \) ................

3) من بين عناصر المجموعة A حدد تلك التي تقبل القسمة على 3 و 4 في نفس الوقت

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط عناصر A:

• (-2) = -2 ✓
• -21456 ✓
• -2 (مكرر) ✓
• 0.03 (كسري) ✓
• \(\frac{3^{2015} + 9^{1008} + 3 \times 27^{672}}{4}\):
  \(= \frac{3^{2015} + (3^2)^{1008} + 3 \times (3^3)^{672}}{4}\)
  \(= \frac{3^{2015} + 3^{2016} + 3 \times 3^{2016}}{4}\)
  \(= \frac{3^{2015} + 3^{2016} + 3^{2017}}{4}\)
  \(= \frac{3^{2015}(1 + 3 + 9)}{4} = \frac{13 \times 3^{2015}}{4}\) (كسري) ✓
• O = 0 ✓
• \(\frac{38664}{9} = 4296\) ✓
• \(\frac{37258}{8} = 4657.25\) (كسري) ✓
• \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) ✓

1) العناصر بعد التبسيط:

A = {-2, -21456, 0.03, (كسر), 0, 4296, 4657.25, 5}

\(A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -21456, 0, 4296, 5\}\)
\(A \cap \mathbb{Z}^*_+ = \{4296, 5\}\)
\(A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2, -21456\}\)
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z}^*\) (لأن ℤ* = ℤ \ {0})
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^*_- = \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z}^*_-\)

3) العناصر القابلة للقسمة على 3 و 4 (أي على 12):

العناصر الصحيحة: -2, -21456, 0, 4296, 5

• -2: لا تقبل القسمة على 12 ✗
• -21456: 21456 ÷ 12 = 1788 ✓
• 0: يقبل القسمة على أي عدد ✓
• 4296: 4296 ÷ 12 = 358 ✓
• 5: لا يقبل القسمة على 12 ✗

الجواب: {-21456, 0, 4296}

🔢 التمرين رقم 3 - إكمال الأعداد (3 نقاط)

ضع رقماً مكان كل نقطة لكي يصبح العدد:

أ) . 7 . 5 قابلاً للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت

ب) 5 . . 3 قابلاً للقسمة على 9 و 25 في نفس الوقت

✅ الحل التفصيلي:

أ) العدد X7Y5 قابل للقسمة على 4 و 9:

للقسمة على 4: آخر رقمين (Y5) يقبلان القسمة على 4
05 ✗، 15 ✗، 25 ✗، 35 ✗، 45 ✗، 55 ✗، 65 ✗، 75 ✗، 85 ✗، 95 ✗
لا يوجد Y يجعل Y5 قابلاً للقسمة على 4

تصحيح السؤال: ربما المقصود X7Y4 أو X7Y6 أو X7Y8
لنفترض العدد: X7Y4
للقسمة على 4: Y4 يقبل القسمة على 4
04 ✓، 24 ✓، 44 ✓، 64 ✓، 84 ✓

للقسمة على 9: X + 7 + Y + 4 = X + Y + 11 يقبل القسمة على 9
X + Y + 11 = 18 → X + Y = 7
الحلول: (X=3, Y=4): 3744 ✓
(X=7, Y=0): 7704 ✓

إذا كان السؤال كما هو (X7Y5):
لا يوجد حل لأن الأعداد المنتهية بـ 5 لا تقبل القسمة على 4

ب) العدد 5XY3 قابل للقسمة على 9 و 25:

للقسمة على 25: آخر رقمين (Y3) يقبلان القسمة على 25
الأعداد المنتهية بـ 3 والقابلة للقسمة على 25 لا توجد
(25, 50, 75, 00 فقط)

تصحيح: ربما المقصود 5XY5 أو 5XY0
لنفترض: 5XY5
للقسمة على 25: Y5 يقبل القسمة على 25
25 ✓، 75 ✓

للقسمة على 9: 5 + X + Y + 5 = 10 + X + Y يقبل القسمة على 9
10 + X + Y = 18 → X + Y = 8

إذا Y = 2: X = 6 → العدد 5625 ✓
إذا Y = 7: X = 1 → العدد 5175 ✓

الحل: 5625 أو 5175

📐 التمرين رقم 4 - رسم هندسي (2 نقاط)

فيما يلي مستقيمان Δ و D متعامدان و O نقطة لا تنتمي إلى Δ ولا إلى D و B مناظرة النقطة A بالنسبة إلى O. أرسم, مستعملاً الكوس فقط المستقيم Δ' مناظر Δ بالنسبة إلى O مع تعليل الجواب

✅ الحل التفصيلي:

خطوات الرسم:

1) نرسم المستقيمين Δ و D المتعامدين
2) نضع النقطة O خارج المستقيمين
3) نضع النقطة A على Δ
4) نرسم B مناظرة A بالنسبة لـ O (O منتصف [AB])

لرسم Δ' مناظر Δ:
• نختار نقطتين A₁ و A₂ على Δ
• نرسم B₁ مناظرة A₁ بالنسبة لـ O
• نرسم B₂ مناظرة A₂ بالنسبة لـ O
• Δ' = (B₁B₂)

التعليل:
مناظر مستقيم بالنسبة لنقطة هو مستقيم موازٍ له
إذن Δ' // Δ

ملاحظة: باستعمال الكوس فقط، نقيس المسافات لإيجاد النقاط المناظرة

🔷 التمرين رقم 5 - شبه المنحرف (6 نقاط)

فيما يلي شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD] بحيث AB = 3cm و CD = 6cm
والنقطة I منتصف [AD]

1) حدد مناظر المستقيم (AB) بالنسبة إلى I معللاً جوابك
ابن النقطة C' مناظرة C بالنسبة إلى I

2) احسب C'AD معللاً جوابك

3) نعتبر النقطة K المسقط العمودي للنقطة B على (CD) و L مناظرة K بالنسبة إلى I. بين أن L هي منتصف [AC']

4أ) لتكن T نقطة من [AB] بحيث AT = 2cm. المستقيم (IT) يقطع (CD) في U بين أن U و T متناظرتان بالنسبة إلى I مستعيناً بما يلي:

T هي نقطة تقاطع (.....) و (.....)

إذا .....................................................................

4ب) استنتج نوع الرباعي ATDU

✅ الحل التفصيلي:

1) مناظر (AB) بالنسبة لـ I:

I منتصف [AD]
مناظر A بالنسبة لـ I هو D
نرسم C' مناظرة C بالنسبة لـ I (I منتصف [CC'])

مناظر (AB) بالنسبة لـ I هو المستقيم الذي يمر بـ D وموازٍ لـ (AB)
لكن (AB) // (CD) (قاعدتا شبه المنحرف)
إذن مناظر (AB) = (DC')

2) حساب C'AD:

بما أن I منتصف [AD] و I منتصف [CC']
الرباعي ADC'C متوازي أضلاع (قطراه يتقاطعان في منتصفهما)
إذن AC' = DC و AC' // DC

DC = 6cm
C'AD = 6cm

3) L منتصف [AC']:

K المسقط العمودي لـ B على (CD)
L مناظرة K بالنسبة لـ I

في شبه المنحرف ABCD:
(AB) // (CD) و BK ⊥ (CD)
إذن BK ⊥ (AB) أيضاً

بما أن I منتصف [AD] و L مناظرة K بالنسبة لـ I:
الرباعي AKLD متوازي أضلاع

بالتناظر المركزي حول I:
مناظر K هو L
مناظر B هو نقطة على (DC') بحيث تكون L منتصف [AC']

إذن L منتصف [AC'] ✓

4أ) U و T متناظرتان بالنسبة لـ I:

T هي نقطة تقاطع (AB) و (IT)
U هي نقطة تقاطع (CD) و (IT)

إذا أثبتنا أن مناظر (AB) بالنسبة لـ I هو (CD):
بما أن (AB) // (CD) و I منتصف [AD]
أي مستقيم يقطع (AB) و (CD) يقطعهما في نقطتين متناظرتين بالنسبة لـ I

إذن U و T متناظرتان بالنسبة لـ I ✓
(I منتصف [TU])

4ب) نوع الرباعي ATDU:

I منتصف [AD] و I منتصف [TU]
إذن الرباعي ATDU متوازي أضلاع
(قطراه [AD] و [TU] يتقاطعان في منتصفهما I)

ATDU متوازي أضلاع ✓

📝 فرض المراقبة رقم 1 🎯