فرض المراقبة رقم 1

🎯 التمرين عدد 1 - صواب أو خطأ (5 نقاط)

أكمل بصواب أو خطأ:

العبارة	صواب/خطأ
\(5^{2019} + 5^{2017}\) العدد 7048 يقبل القسمة على 4 و 9
كل عدد يقبل القسمة على 25 يقبل القسمة على 5
القيمة المطلقة لعدد صحيح سالب هي العدد نفسه
نقطتان A و B متساويتا البعد عن نقطة O هما متناظرتان بالنسبة إلى النقطة O
مناظر مستقيم بالنسبة إلى نقطة O هو مستقيم \(\Delta' \perp \Delta\)

✅ الحلول التفصيلية:

1) العدد 7048 يقبل القسمة على 4 و 9:

• القسمة على 4: آخر رقمين = 48، 48 ÷ 4 = 12 ✓
• القسمة على 9: مجموع الأرقام = 7+0+4+8 = 19
19 ÷ 9 = 2 والباقي 1 ✗
الجواب: خطأ (يقبل القسمة على 4 فقط)

2) كل عدد يقبل القسمة على 25 يقبل القسمة على 5:

25 = 5 × 5
إذا كان العدد يقبل القسمة على 25، فإنه بالضرورة يقبل القسمة على 5
الجواب: صواب ✓

3) القيمة المطلقة لعدد صحيح سالب هي العدد نفسه:

إذا كان x < 0، فإن |x| = -x > 0
مثال: |-5| = 5 ≠ -5
الجواب: خطأ ✗

4) نقطتان A و B متساويتا البعد عن O هما متناظرتان بالنسبة إلى O:

OA = OB لا يعني بالضرورة أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى O
للتناظر نحتاج: O منتصف [AB]
الجواب: خطأ ✗

5) مناظر مستقيم بالنسبة إلى نقطة O هو مستقيم عمودي عليه:

مناظر مستقيم Δ بالنسبة إلى نقطة O هو مستقيم موازٍ له
الجواب: خطأ ✗

📐 التمرين عدد 2 - محيط المربع (5 نقاط)

1) من بين الأعداد التالية حدد التي هي تمثل محيط مربع:

\(19^{2017} + 19^{2015}\) و \(3 \times 125^{672} + 25^{1008} + 5^{2015}\) و \(5^{2019} + 3 \times 5^{2017}\)

2) حدد قيس طول ضلع المربع ومساحته في هذه الحالة

3) حدد رقم آحاد العدد \(2 \times 4^{50} + 2^{103}\)

4) عوض النقطتين بالأرقام المناسبة ليكون العدد 5 4 . 2 . قابلاً للقسمة على 5 و 8 (أعط كل الحلول)

✅ الحل التفصيلي:

1) تحديد محيط المربع:

محيط المربع = 4 × الضلع، إذن يجب أن يقبل القسمة على 4

أ) \(19^{2017} + 19^{2015} = 19^{2015}(19^2 + 1) = 19^{2015} \times 362\)
362 ÷ 4 = 90.5 ✗

ب) \(3 \times 125^{672} + 25^{1008} + 5^{2015}\)
\(= 3 \times (5^3)^{672} + (5^2)^{1008} + 5^{2015}\)
\(= 3 \times 5^{2016} + 5^{2016} + 5^{2015}\)
\(= 4 \times 5^{2016} + 5^{2015} = 5^{2015}(4 \times 5 + 1) = 5^{2015} \times 21\)
21 ÷ 4 ≠ عدد صحيح ✗

ج) \(5^{2019} + 3 \times 5^{2017} = 5^{2017}(5^2 + 3) = 5^{2017} \times 28\)
\(= 5^{2017} \times 4 \times 7\) يقبل القسمة على 4 ✓
الجواب: \(5^{2019} + 3 \times 5^{2017}\)

2) طول الضلع والمساحة:

محيط المربع = \(4 \times 7 \times 5^{2017}\)
طول الضلع = \(7 \times 5^{2017}\)
المساحة = الضلع² = \((7 \times 5^{2017})^2 = 49 \times 5^{4034}\)

3) رقم آحاد \(2 \times 4^{50} + 2^{103}\):

\(4^{50} = (2^2)^{50} = 2^{100}\)
\(2 \times 4^{50} + 2^{103} = 2 \times 2^{100} + 2^{103} = 2^{101} + 2^{103}\)
\(= 2^{101}(1 + 2^2) = 2^{101} \times 5\)

نمط آحاد قوى 2: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... (دورة من 4)
101 ÷ 4 = 25 والباقي 1
رقم آحاد \(2^{101}\) = 2
رقم آحاد \(2^{101} \times 5\) = 2 × 5 = 10 → 0

4) العدد 5 4 . 2 . قابل للقسمة على 5 و 8:

للقسمة على 5: آخر رقم = 0 أو 5
للقسمة على 8: آخر 3 أرقام تقبل القسمة على 8

العدد: 5 4 X 2 Y
Y = 0 أو 5

إذا Y = 0: X20 يقبل القسمة على 8
020 ÷ 8 ✗، 120 ÷ 8 ✓، 220 ÷ 8 ✗، ..., 920 ÷ 8 ✗
الحل الأول: 54120

إذا Y = 5: X25 يقبل القسمة على 8
لا يوجد حل (الأعداد المنتهية بـ 25 لا تقبل القسمة على 8)

الحل النهائي: 54120

🔷 التمرين عدد 3 - المربع ABCD (6 نقاط)

ليكن ABCD مربعاً و O منتصف القطرين

لتكن E نقطة من [AB[

1) أكمل:

• مناظرة A بالنسبة إلى O هي: ...

• مناظرة [BO] بالنسبة إلى O هي: ...

• مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O هي: ...

2) (OE) يقطع (CD) في نقطة F

أ- بين أن O هي منتصف [EF]

ب- عين النقطة I منتصف [BC] والنقطة J منتصف [AD]. بين أن I و O و J على استقامة واحدة

ج- بين أن AICJ متوازي الأضلاع

✅ الحل التفصيلي:

1) التناظر المركزي:

• مناظرة A بالنسبة إلى O هي: C
(لأن O منتصف [AC])

• مناظرة [BO] بالنسبة إلى O هي: [OD]
(لأن مناظر B هو D ومناظر O هو O)

• مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O هي: FCO
(مناظر E هو F، مناظر A هو C، مناظر O هو O)

2أ) O منتصف [EF]:

E تنتمي إلى [AB]
F مناظرة E بالنسبة إلى O
إذن O منتصف [EF] حسب تعريف التناظر المركزي ✓

2ب) I و O و J على استقامة واحدة:

I منتصف [BC] و J منتصف [AD]
في المربع ABCD، O منتصف القطرين
المستقيم (IJ) يمر بمركز المربع O
إذن I و O و J على استقامة واحدة ✓

2ج) AICJ متوازي أضلاع:

في المربع ABCD:
• I منتصف [BC] و J منتصف [AD]
• O منتصف [AC] (قطر)

في المثلث ABC: I منتصف [BC] و O منتصف [AC]
إذن (IO) // (AB) و IO = AB/2

في المثلث ADC: J منتصف [AD] و O منتصف [AC]
إذن (JO) // (DC) و JO = DC/2

لكن AB = DC (أضلاع المربع)
و AB // DC

الرباعي AICJ له قطراه [AC] و [IJ] يتقاطعان في O
و O منتصف كل منهما
إذن AICJ متوازي أضلاع ✓

📊 التمرين عدد 4 - المجموعات (4 نقاط)

1) أتمم بما يناسب:

\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}_- = \) .....

\(\mathbb{Z}^*_+ \cup \mathbb{Z}_+ = \) .....

\(\mathbb{Z}^*_- \cap \mathbb{Z}^*_+ = \) .....

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_+ = \) .....

2) لنعتبر المجموعة:

\(A = \left\{(-2); (-3); \left(-\frac{56}{8}\right); 0; 3; \frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20}; 5; \frac{6}{7}; \frac{3 \times 5^{2017} + 5^{2019}}{12}; \left(-\sqrt{25}\right)\right\}\)

حدد عناصر المجموعات التالية:

أ- \(A \cap \mathbb{N}^*\)

ب- \(A \cap \mathbb{Z}_-\)

ج- \(A \cap \mathbb{Z}\)

د- B مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية المنتمية للمجموعة A حيث \(|x| = 3\)

هـ- C مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة المنتمية للمجموعة A حيث \(|x| < 4\)

3) نعتبر المستقيم التالي المدرج بالمعين (O,I)

أ) من بين النقاط المرسومة على هذا المستقيم تعرف على التي فاصلاتها تنتمي إلى المجموعة A. أذكر في كل مرة النقطة وفاصلتها

ب) حدد النقاط المرسومة في المستقيم المدرج والتي فاصلاتها متقابلة

✅ الحل التفصيلي:

1) إكمال العلاقات:

\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}_- = \{0\}\)
\(\mathbb{Z}^*_+ \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}\)
\(\mathbb{Z}^*_- \cap \mathbb{Z}^*_+ = \emptyset\)
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}\)

2) تبسيط عناصر A:

• (-2) = -2 ✓
• (-3) = -3 ✓
• \(-\frac{56}{8} = -7\) ✓
• 0 ✓
• 3 ✓
• \(\frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20} = \frac{2^{23} + 3 \times 2^{22}}{20} = \frac{2^{22}(2 + 3)}{20} = \frac{5 \times 2^{22}}{20} = \frac{2^{22}}{4} = 2^{20}\) ✓
• 5 ✓
• \(\frac{6}{7}\) ✓
• \(\frac{3 \times 5^{2017} + 5^{2019}}{12} = \frac{5^{2017}(3 + 5^2)}{12} = \frac{28 \times 5^{2017}}{12} = \frac{7 \times 5^{2017}}{3}\) (غير صحيح)
• \(-\sqrt{25} = -5\) ✓

A = {-2, -3, -7, 0, 3, 2²⁰, 5, 6/7, 7×5²⁰¹⁷/3, -5}

2أ) \(A \cap \mathbb{N}^* = \{3, 2^{20}, 5\}\)

2ب) \(A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2, -3, -7, -5\}\)

2ج) \(A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -3, -7, 0, 3, 2^{20}, 5, -5\}\)

2د) B حيث \(|x| = 3\):

من عناصر A الصحيحة: |3| = 3 و |-3| = 3
B = {3, -3}

2هـ) C (سالبة حيث \(|x| < 4\)):

العناصر السالبة في A: -2, -3, -7, -5
|-2| = 2 < 4 ✓
|-3| = 3 < 4 ✓
|-7| = 7 > 4 ✗
|-5| = 5 > 4 ✗
C = {-2, -3}

3) المستقيم المدرج:

يحتاج إلى الرسم الموجود في الورقة الأصلية لتحديد النقاط وفاصلاتها

📝 فرض المراقبة رقم 1 🎯