فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي 🤪

🚀 التمرين رقم 1 - أحط بدائرة الإجابة الصحيحة 💯

أحط بدائرة الإجابة الصحيحة الوحيدة في كل مرة:

العدد \(8^{29} + 3 \times 8^{29}\) يقبل القسمة على	15 7 32
D مستقيم يمر من نقطة I و D' مستقيم موازٍ لـ D ويمر من نقطة J فإن مناظر D' بالنسبة إلى J هو	D D' (IJ)
\(x = 8 \times 207 + 3\) و \(y = 8 \times 121 + 2\) حدد العدد الصحيح z الذي يحقق \(x + y + z\) مضاعف لـ 8	3271 3251 3261

✅ الحلول الصحيحة:

1) الإجابة: 32 ✔

8^{29} + 3 × 8^{29}
= 8^{29}(1 + 3)
= 8^{29} × 4
= 8^{29} × 4
= 8 × 8^{28} × 4
= 32 × 8^{28}

إذن العدد يقبل القسمة على 32 ✅

2) الإجابة: D ✔

🔍 بالتناظر المركزي بالنسبة لـ J:

• D' يمر من J

• مناظر D' بالنسبة لـ J هو مستقيم يمر من J ويوازي D'

• بما أن D' // D

⇒ مناظر D' هو D ✅

3) الإجابة: 3251 ✔

x = 8 × 207 + 3 = 1656 + 3 = 1659
y = 8 × 121 + 2 = 968 + 2 = 970
x + y = 1659 + 970 = 2629

باقي قسمة 2629 على 8:
2629 = 8 × 328 + 5
باقي = 5

لكي يكون x + y + z مضاعفاً لـ 8:
نحتاج z بحيث باقي قسمته على 8 = 3
(لأن 5 + 3 = 8 ≡ 0)

نجرب الخيارات:
• 3271 = 8 × 408 + 7 ❌
• 3251 = 8 × 406 + 3 ✔
• 3261 = 8 × 407 + 5 ❌

الإجابة الصحيحة: 3251 ✅

🧮 التمرين رقم 2 - قابلية القسمة

1) أكمل النقاط بما يناسب حتى يصبح العدد \(\overline{a845b0}\) قابلاً للقسمة على 5 و 8 في نفس الوقت

✅ الحل:

العدد: \(\overline{a845b0}\)

شرط القسمة على 5: آخر رقم = 0 أو 5
آخر رقم = 0 ✔

شرط القسمة على 8: آخر 3 أرقام تقبل القسمة على 8
الأرقام الثلاثة الأخيرة: 5b0

نجرب قيم b:
• 500 ÷ 8 = 62.5 ❌
• 510 ÷ 8 = 63.75 ❌
• 520 ÷ 8 = 65 ✔ → b=2
• 530 ÷ 8 = 66.25 ❌
• 540 ÷ 8 = 67.5 ❌
• 550 ÷ 8 = 68.75 ❌
• 560 ÷ 8 = 70 ✔ → b=6
• 570 ÷ 8 = 71.25 ❌
• 580 ÷ 8 = 72.5 ❌
• 590 ÷ 8 = 73.75 ❌

الحلول:
• b ∈ {2, 6}
• a يمكن أن يكون أي رقم من 0 إلى 9

الأعداد الممكنة:
a84520 و a84560 (حيث a ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9})

2) أكمل النقاط بما يناسب ليصبح العدد \(\overline{a7b48}\) قابلاً للقسمة على 4 و باقي قسمته على 9 هو 5

✅ الحل:

العدد: \(\overline{a7b48}\)

شرط القسمة على 4: آخر رقمين 48
48 ÷ 4 = 12 ✔

شرط باقي القسمة على 9 = 5:
مجموع الأرقام عند قسمته على 9 يعطي باقي 5
a + 7 + b + 4 + 8 = a + b + 19

نبحث عن قيم a و b بحيث:
عند قسمة (a + b + 19) على 9، الباقي = 5

نحسب: 19 ÷ 9 = 2 والباقي 1
إذن نحتاج: a + b + 1 يعطي باقي 5 عند القسمة على 9
أي: a + b = 4 أو 13 أو 22

الحلول الممكنة:
• إذا a + b = 4: (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)
• إذا a + b = 13: (4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)
• إذا a + b = 22: لا يمكن (لأن أقصى مجموع = 18)

3) عدد الكراسات بمكتبة مثل 7 أضعاف عدد الكتب. حدد معللاً جوابك، من بين المقترحات التالية العدد الإجمالي للكراسات والكتب معاً في هذه المكتبة:
26598 ؛ 77777 ؛ 29232

✅ الحل:

ليكن عدد الكتب = x
عدد الكراسات = 7x
العدد الإجمالي = x + 7x = 8x

إذن العدد الإجمالي يجب أن يقبل القسمة على 8:

• 26598: آخر 3 أرقام = 598
598 ÷ 8 = 74.75 ❌

• 77777: آخر 3 أرقام = 777
777 ÷ 8 = 97.125 ❌

• 29232: آخر 3 أرقام = 232
232 ÷ 8 = 29 ✔

الإجابة: 29232 ✅

التحقق:
29232 ÷ 8 = 3654
عدد الكتب = 3654
عدد الكراسات = 7 × 3654 = 25578
المجموع = 3654 + 25578 = 29232 ✔

📊 التمرين رقم 3 - مجموعات الأعداد

نعتبر المجموعة:
\(A = \{-3; |-7|; -(-2); 0.3; \frac{36}{12}; 0; \frac{11}{7}; \sqrt{25}; (-5)\}\)

1) أكمل:

\(A \cap \mathbb{Z}_+ = ......\)

\(\mathbb{Z}_{+} \cup \mathbb{Z} = ......\)

\(A \cap \mathbb{Z}^*_+ = ......\)

\(\mathbb{Z}^*_+ \cap \mathbb{Z}_{-} = ......\)

✅ الحل:

أولاً نبسط عناصر A:

• -3 = -3
• |-7| = 7
• -(-2) = 2
• 0.3 = 0.3
• 36/12 = 3
• 0 = 0
• 11/7 ≈ 1.57
• √25 = 5
• (-5) = -5

A = {-3; 7; 2; 0.3; 3; 0; 11/7; 5; -5}

\(A \cap \mathbb{Z}_+ = \{7, 2, 3, 0, 5\}\)

\(\mathbb{Z}_{+} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)

\(A \cap \mathbb{Z}^*_+ = \{7, 2, 3, 5\}\)

\(\mathbb{Z}^*_+ \cap \mathbb{Z}_{-} = \emptyset\)

2) حدد المجموعات التالية:

\(E = \{x \in A; |x| \leq 3\}\)

\(F = \{x \in \mathbb{Z}_{-}; |x| = -x\}\)

\(G = \{x \in A; |x| = 7\}\)

\(H = \{x \in A; |x| > 9\}\)

✅ الحلول:

\(E = \{-3; 2; 0.3; 3; 0; 11/7\}\)

\(F = \mathbb{Z}_{-}\) (لأن كل عدد سالب |x| = -x)

\(G = \{7\}\) (لأن -7 ∉ A)

\(H = \emptyset\) (لا يوجد عدد في A قيمته المطلقة > 9)

3) نعتبر المستقيم المدرج التالي بالمعين (O,I)

أ) ضع النقاط M و N و P و Q التي فاصلاتها على التوالي -4 و 3 و -1 و 2

ب) أكمل بما يناسب: OM = ..., ON = ..., MN = ..., NQ = ...

ج) لو غيّرنا النقطة الوحدية لتصبح P فما هي فاصلات M و N في المعين الجديد (O,P)

✅ الحلول:

أ) النقاط على المستقيم المدرج

ب)

OM = |-4| = 4
ON = |3| = 3
MN = |3 - (-4)| = 7
NQ = |2 - 3| = 1

ج) إذا أصبحت P الوحدة (فاصلتها -1 في المعين القديم):

الوحدة القديمة OI = 1
الوحدة الجديدة OP = |-1| = 1

في المعين الجديد:
x_M = -4/1 = -4
x_N = 3/1 = 3

لا تتغير الفاصلات لأن OP = OI = 1

🔺 التمارين 4 و 5 - هندسة (تناظر مركزي)

هذه التمارين تتطلب رسوماً هندسية دقيقة وإنشاءات متعددة

التمرين 4: مثلث ABC بحيث AB=6cm، AC=4cm، BC=5cm

يتضمن: تناظر مركزي، توازي مستقيمات، منتصف قطعة، حساب زوايا

التمرين 5: مثلث ABC بحيث ∠ABC = 50° و BC = 5cm و I منتصف [AB]

يتضمن: تناظر مركزي، دوائر، مماسات، استقامة نقاط

✅ ملاحظات عامة للحل:

التمرين 4 - خطوات الحل:

1) إنشاء F مناظرة A بالنسبة لـ E (منتصف BC)

2) إثبات (AB) // (CF) باستخدام خصائص التناظر المركزي

3) إثبات أن D منتصف [BG] باستخدام خاصية المستقيمات المتناظرة

4) حساب الزاوية BCF (تساوي الزاوية BAC)

5) إثبات استقامة E و H و D باستخدام خصائص المنتصفات

التمرين 5 - خطوات الحل:

1) رسم المثلث ABC ثم إنشاء D مناظرة C بالنسبة لـ I

2) إثبات AD = 5cm و (AD) // (BC) بالتناظر المركزي

3) إثبات ∠BAD = 50° (زوايا متناظرة)

4) إنشاء E و F مناظرتي B و C بالنسبة لـ A

5) إثبات (EF) // (AD) و EF = AD باستخدام التناظر

6) إثبات ∠DAB = ∠FEA (زوايا متقابلة في متوازي الأضلاع)

7) العمل مع الدوائر والمماسات لإثبات التناظر

🎯 فرض المراقبة رقم 1 - الثامنة أساسي 🚀