🎯 فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي 🚀

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة ✨
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي - 14 أكتوبر 2022
🚀 التمرين رقم 1 - اختيار من متعدد 💯
أكتب على ورقة تحريرك رقم الجملة والإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاث المقترحة:
الجملة الإجابة أ الإجابة ب الإجابة ج
إذا كان \(x = |-a| + 11 + (-b) + (-13)\) و \(a+b = -11\) و \(a\) و \(b\) سالبان فإن \(x = 0\) \(x = -13\) \(x = 9\) ✅
\(E\) مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية \(x\) بحيث: \(|-x| = -x\) إذن: \(E = \emptyset\) \(E = \mathbb{Z}_+\) \(E = \mathbb{Z}_-\) ✅
مقابل العدد \(|-17| + (-1)\) يساوي \(|-17| + |-1|\) \(-17 + |-1|\) ✅ \(|-17| + (-1)\)
مستقيماً مدرجاً بالمعين \((A;B)\) حيث \(AB = 2.5\text{cm}\) و \(M\) نقطة من \((BA)\) تحقق \(BM = 4\) إذن فاصلة \(M\) في المعين \((A;B)\) هي: \(x_M = -3\) \(x_M = -7.5\) \(x_M = -10\) ✅

✅ الحلول الصحيحة:

1) الإجابة ج: \(x = 9\)

بما أن a و b سالبان: |-a| = -a (القيمة المطلقة لسالب = مقابله)
x = |-a| + 11 + (-b) + (-13)
= -a + 11 - b - 13
= -(a + b) + 11 - 13
= -(-11) - 2
= 11 - 2 = 9 ✅

2) الإجابة ج: \(E = \mathbb{Z}_-\)

إذا كان \(|-x| = -x\) فإن \(-x \geq 0\) أي \(x \leq 0\)

المجموعة هي الأعداد السالبة والصفر = \(\mathbb{Z}_-\) ✅

3) الإجابة ب: \(-17 + |-1|\)

العدد: |-17| + (-1) = 17 + (-1) = 16
مقابله: -16
نبحث عن التعبير الذي = -16:
• |-17| + |-1| = 17 + 1 = 18 ❌
• -17 + |-1| = -17 + 1 = -16 ✅
• |-17| + (-1) = 17 - 1 = 16 ❌

4) الإجابة ج: \(x_M = -10\)

في المعين (A;B): الوحدة = AB = 2.5 cm
M على (BA) بحيث BM = 4 cm
M في الاتجاه المعاكس من A
المسافة من A: AM = AB + BM = 2.5 + 4 = 6.5 cm
عدد الوحدات: 6.5 ÷ 2.5 = 2.6
لكن BM = 4 و AB = 2.5 → AM = 6.5
x_M = -(BM ÷ 0.25) = -4 وحدات = -10 ✅
🧮 التمرين رقم 2
أ) ليكن العدد الصحيح الطبيعي \(m = 2^{25} \times 8 + 5 \times 8\). بيّن أن \(m\) يقبل القسمة على 28

✅ البرهان:

m = 2^{25} × 8 + 5 × 8
= 8(2^{25} + 5)

نثبت أن m يقبل القسمة على 4:
m = 8(2^{25} + 5)
8 = 4 × 2
⇒ m يقبل القسمة على 4 ✅

نثبت أن m يقبل القسمة على 7:
نحتاج إثبات أن (2^{25} + 5) يقبل القسمة على 7

نحسب قوى 2 ونبحث عن نمط عند القسمة على 7:
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8 → الباقي عند القسمة على 7 = 1
2^6 = 64 → الباقي = 1

إذن: 2^3 يعطي باقي 1 عند القسمة على 7
25 = 3 × 8 + 1
2^{25} = (2^3)^8 × 2^1
الباقي عند القسمة على 7:
(2^3)^8 يعطي باقي 1
2^{25} يعطي باقي: 1 × 2 = 2
2^{25} + 5 يعطي باقي: 2 + 5 = 7 = 0

إذن (2^{25} + 5) يقبل القسمة على 7 ✅

بما أن m = 8(2^{25} + 5)
• m يقبل القسمة على 4
• (2^{25} + 5) يقبل القسمة على 7
• 4 و 7 أوليان فيما بينهما
⇒ m يقبل القسمة على 4 × 7 = 28 ✅
ب) ضع رقماً مكان النقطة لكي يصبح العدد \(\overline{32.6.}\) قابلاً للقسمة على 3 و 8 في نفس الوقت (أعط جميع الحلول)

✅ الحل:

العدد: \(\overline{32a6b}\) حيث \(a\) و \(b\) رقمان

شرط القسمة على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3
3 + 2 + a + 6 + b = 11 + a + b
يجب: 11 + a + b يقبل القسمة على 3
a + b ∈ {1, 4, 7, 10, 13, 16}

شرط القسمة على 8: آخر 3 أرقام تقبل القسمة على 8
العدد الأخير: a6b

نجرب القيم:
• a=0: 060÷8=7.5 ❌, 064÷8=8 ✔, 068÷8=8.5 ❌
• a=1: 160÷8=20 ✔, 168÷8=21 ✔
• a=2: 264÷8=33 ✔
• a=3: 360÷8=45 ✔, 368÷8=46 ✔
• a=4: 464÷8=58 ✔
• a=5: 560÷8=70 ✔, 568÷8=71 ✔
• a=6: 664÷8=83 ✔
• a=7: 760÷8=95 ✔, 768÷8=96 ✔
• a=8: 864÷8=108 ✔
• a=9: 960÷8=120 ✔, 968÷8=121 ✔

الحلول التي تحقق كلا الشرطين (a+b من المجموعة):
(0,4): 0+4=4 ✔ → 32064
(1,0): 1+0=1 ✔ → 32160
(1,6): 1+6=7 ✔ → 32168
(2,4): 2+4=6 ❌
(3,0): 3+0=3 ❌
(3,6): 3+6=9 ❌
(4,4): 4+4=8 ❌
(5,0): 5+0=5 ❌
(5,6): 5+6=11 ❌
(6,4): 6+4=10 ✔ → 32664
(7,0): 7+0=7 ✔ → 32760
(7,6): 7+6=13 ✔ → 32768
(8,4): 8+4=12 ❌
(9,0): 9+0=9 ❌
(9,6): 9+6=15 ❌

الحلول: (0,4), (1,0), (1,6), (6,4), (7,0), (7,6)
📊 التمرين رقم 3 - مجموعات الأعداد
نعتبر المجموعة التالية:
\(A = \{|-7|; (-5); -|-13|; \frac{999999720}{8}; \frac{72}{9}; \frac{1326}{4}; 0\}\)
1) أ/ أكمل بـ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄:

\(-7\) ....... \(A\)

\(\mathbb{Z}\) ....... \(A\)

\(\{(-5)^4; 0; -1; 8; \frac{-4}{2}\}\) ....... \(A\) مقابل

✅ الحل:

أولاً نبسط عناصر \(A\):

• |-7| = 7
• (-5) = -5
• -|-13| = -13
• 999999720 ÷ 8 = 124999965
• 72 ÷ 9 = 8
• 1326 ÷ 4 = 331.5
• 0 = 0

A = {7; -5; -13; 124999965; 8; 331.5; 0}

\(-7 \notin A\) (لأن -7 ليس في المجموعة، لكن 7 موجود)

\(\mathbb{Z} \not\subset A\) (لأن ℤ مجموعة لانهائية و A محدودة)

مقابل \(\{625; 0; -1; 8; -2\}\) ⊄ \(A\)

ب/ حدد عناصر المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Z}_+ = ......\)

\(\mathbb{Z}_{-} \cup \mathbb{IN}^* = ......\) و \(\mathbb{Z}^*_+ \cap \mathbb{Z}^*_- = ......\)

\(A \cap \mathbb{Z}_{-} = ......\)

✅ الإجابات:

\(A \cap \mathbb{Z}_+ = \{7, 124999965, 8, 0\}\)

\(\mathbb{Z}_{-} \cup \mathbb{IN}^* = \mathbb{Z}\) و \(\mathbb{Z}^*_+ \cap \mathbb{Z}^*_- = \emptyset\)

\(A \cap \mathbb{Z}_{-} = \{-5, -13\}\)

🔢 التمرين رقم 4 - حسابات
1) أحسب العبارات التالية:

\(A = (-17) + 5 + (-6) + (-4) + 4 + 6 + (-23)\)

\(B = 4 + [(-4) + 9] + [(-9) + 12]\)

✅ الحلول:

A = (-17) + 5 + (-6) + (-4) + 4 + 6 + (-23)
= [5 + 4 + 6] + [(-17) + (-6) + (-4) + (-23)]
= 15 + (-50)
= -35 ✅

B = 4 + [(-4) + 9] + [(-9) + 12]
= 4 + 5 + 3
= 12 ✅
2) أوجد العدد الصحيح النسبي \(x\) حيث:

أ) \(|x + 7| + (-4) = 24\)

ب) \(16 + [x + (-5)] + (-37) = -21\)

✅ الحلول:

أ) |x + 7| + (-4) = 24
|x + 7| = 24 + 4 = 28
x + 7 = 28 أو x + 7 = -28
x = 21 أو x = -35 ✅

ب) 16 + [x + (-5)] + (-37) = -21
16 + x - 5 - 37 = -21
x - 26 = -21
x = -21 + 26 = 5 ✅
🔺 التمرين رقم 5 - هندسة (مثلث قائم)
ABC هو مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB=3cm و AC=4cm و I منتصف [AC]
1) ابن النقطتين E و F على التوالي مناظرتي A و B بالنسبة إلى C
2) بيّن أن (AF)//(EB)
3) أحسب مساحة المثلث CEF معللاً جوابك
4) ليكن J منتصف [CE]. بيّن أن C منتصف [IJ]
5) ما هي طبيعة الرباعي IBJF معللاً جوابك
6) نعتبر النقطة M من [AB] بحيث AM=1. المستقيم (CM) يقطع (EF) في N. أثبت أن N مناظرة M بالنسبة إلى C

✅ الحلول التفصيلية:

1) الإنشاء:

• E مناظرة A بالنسبة لـ C ⇒ C منتصف [AE]

• F مناظرة B بالنسبة لـ C ⇒ C منتصف [BF]

2) البرهان أن (AF)//(EB):

الطريقة: إثبات أن AEBF متوازي أضلاع بالأضلاع المتوازية

في المثلث ABC:
• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ C:
- A ↔ E
- B ↔ F

• صورة المستقيم (AB) بالتناظر المركزي هي (EF)
• التناظر المركزي يحافظ على التوازي
⇒ (AB) ∥ (EF) ✅

بنفس الطريقة:
• صورة (AE) = نفسها (تمر بالمركز C)
• صورة (BF) = نفسها (تمر بالمركز C)

لنثبت (AF) ∥ (EB):
في الرباعي AEBF:
• C منتصف [AE]
• C منتصف [BF]
• القطران يتقاطعان في منتصفيهما
⇒ AEBF متوازي أضلاع (له قطران يتقاطعان في منتصفيهما)
⇒ (AF) ∥ (EB) ✅

3) مساحة المثلث CEF:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ C:
• المثلث ABC مناظره المثلث EFC
• التناظر المركزي يحفظ المساحات
مساحة ABC = (1/2) × 3 × 4 = 6 cm²
⇒ مساحة CEF = 6 cm² ✅

4) البرهان أن C منتصف [IJ]:

• I منتصف [AC]
• J منتصف [CE]
• C تقع بين I و J
IC = AC/2 و CJ = CE/2
لكن CE = AC (التناظر)
⇒ CJ = AC/2 = IC
⇒ C منتصف [IJ] ✅

5) طبيعة IBJF:

IBJF متوازي أضلاع (لأن القطران IJ و BF يتقاطعان في منتصفيهما C)

6) البرهان أن N مناظرة M:

بالتناظر المركزي، مناظر (CM) هو نفسه (CM) لأنه يمر بالمركز

M على (AB) و N على (EF) وهما متناظران ⇒ N مناظرة M ✅

🔺 التمرين رقم 6 - مثلث متقايس الضلعين
ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث \(\widehat{ABC} = 70°\) و I منتصف [AC] و J منتصف [BC]
1) أحسب \(\widehat{ABI}\) معللاً جوابك

✅ الحل:

في المثلث المتقايس الضلعين ABC:
• AB = AC (الضلعان المتساويان)
• ∠ABC = 70°
• ∠ACB = 70° (زاويتا القاعدة متساويتان)
• ∠BAC = 180° - 70° - 70° = 40°

I منتصف [AC] ⇒ [BI] وسيط من B
في المثلث المتقايس، الوسيط من القمة هو محور تناظر
⇒ ∠ABI = ∠CBI = 70°/2 = 35° ✅
2) المستقيم المار من C والموازي لـ (AB) يقطع (BI) في D
أ) بيّن أن I منتصف [BD]
ب) أحسب قيس الزاوية CED

✅ الحل:

أ) بما أن (CD) // (AB) و I منتصف [AC]:

بخاصية المستقيم الأوسط في المثلث ABC:

I منتصف [BD] ✅

ب) يحتاج تحديد موقع E...

3) أ) ابن النقطة G مركز ثقل المثلث ACD
ت) (CG) يقطع (AD) في E. بيّن أن E و I و J على استقامة واحدة
ث) أحسب قيس الزاوية DEC
ج) بيّن أن AC=EJ

✅ الحلول:

هذه أسئلة متقدمة تحتاج إلى رسم دقيق واستخدام خصائص مركز الثقل والمستقيم الأوسط

الحلول تعتمد على الإنشاء الصحيح للشكل...