فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي 🤪

🚀 التمرين عدد 1 (5 نقاط) - صواب أو خطأ 💯

أكمل بصواب أو خطأ:

العدد 7048 يقبل القسمة على 4 و 9

✓ صواب ✗ خطأ

كل عدد يقبل القسمة على 25 يقبل القسمة على 5

✓ صواب ✗ خطأ

القيمة المطلقة لعدد صحيح سالب هي العدد نفسه

✓ صواب ✗ خطأ

نقطتان A و B متساويتا البعد عن نقطة O هما متناظرتان بالنسبة إلى النقطة O

✓ صواب ✗ خطأ

حيث: \(\Delta' \perp \Delta\) مناظر مستقيم \(\Delta\) بالنسبة إلى نقطة O هو مستقيم \(\Delta'\)

✓ صواب ✗ خطأ

✅ الإجابات الصحيحة:

1) خطأ ❌

التحقق من 7048:
• للقسمة على 4: آخر رقمين = 48 → 48 ÷ 4 = 12 ✔
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام = 7+0+4+8 = 19
19 ÷ 9 ≠ عدد صحيح ✗
⇒ العدد يقبل القسمة على 4 لكن لا يقبل القسمة على 9

2) صواب ✔

🔥 إذا كان العدد يقبل القسمة على 25، فهو يقبل القسمة على 5 (لأن 25 = 5×5)

3) خطأ ❌

🔍 القيمة المطلقة لعدد سالب هي مقابل العدد (موجب)

مثال: \(|-5| = 5\) وليس -5

4) خطأ ❌

🔍 لكي تكون A و B متناظرتين بالنسبة لـ O، يجب:

• O منتصف [AB]

• التساوي في البعد عن O ليس كافياً!

5) خطأ ❌

🔍 في التناظر المركزي:

• المستقيمات المتناظرة متوازية وليست عمودية

• العمودية خاصية التناظر المحوري وليس المركزي

🧮 التمرين عدد 2 🎪

نعتبر مربعاً قيس طول محيطه \(P = 5^{2013} - 5^{2012}\)

°1) أوجد قيس طول ضلع هذا المربع

✅ الحل:

محيط المربع = 4 × طول الضلع
P = 5^{2013} - 5^{2012}
= 5^{2012} × 5 - 5^{2012}
= 5^{2012}(5 - 1)
= 5^{2012} × 4

إذن: 4 × طول الضلع = 4 × 5^{2012}
⇒ طول الضلع = 5^{2012} ✅

°2) حدد رقم آحاد العدد \(2 \times 4^{50} + 2^{103}\)

✅ الحل:

نحتاج إيجاد رقم آحاد كل حد:

• الحد الأول: 2 × 4^{50}
قوى 4: 4¹=4, 4²=16, 4³=64, 4⁴=256, ...
رقم آحاد يتكرر: 4, 6, 4, 6, ...
50 زوجي ⇒ رقم آحاد 4^{50} = 6
2 × 6 = 12 ⇒ رقم آحاد = 2

• الحد الثاني: 2^{103}
قوى 2: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, ...
رقم آحاد يتكرر كل 4: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ...
103 = 4×25 + 3 ⇒ رقم آحاد 2^{103} = 8

المجموع: 2 + 8 = 10
⇒ رقم آحاد النتيجة = 0 ✅

°3) عوض النقطتين بالأرقام المناسبة ليكون العدد \(\overline{5.2.4}\) قابلاً للقسمة على 5 و 8 (أعط كل الحلول)

✅ الحل:

العدد: \(5a2b4\) حيث \(a\) و \(b\) رقمان

شرط القسمة على 5: آخر رقم = 0 أو 5
لكن آخر رقم = 4 (ثابت) ✗

هناك خطأ في السؤال! ربما المقصود:
العدد \(52ab5\) أو \(5a2b0\)

إذا افترضنا العدد \(5a2b0\):
• شرط القسمة على 5: ✔ (ينتهي بـ 0)
• شرط القسمة على 8: آخر 3 أرقام تقبل القسمة على 8
b0 يجب أن تكون: 2b0
200 ÷ 8 = 25 ✔ → b=0
240 ÷ 8 = 30 ✔ → b=4
280 ÷ 8 = 35 ✔ → b=8

الحلول: (a يمكن أن يكون أي رقم 0-9)
b = 0, 4, 8 مع أي قيمة لـ a

🔷 التمرين عدد 3 - التناظر المركزي 🗿

ليكن ABCD مربعاً و O منتصف القطرين. لتكن E نقطة من [AB[

°1) أكمل:

• مناظرة A بالنسبة إلى O هي: .....

• مناظرة [BO) بالنسبة إلى O هي: .....

• مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O هي: .....

✅ الإجابات:

🔍 في المربع ABCD، O مركز المربع (تقاطع القطرين):

• مناظرة A بالنسبة إلى O هي: C ✅

• مناظرة [BO) بالنسبة إلى O هي: [DO) ✅

• مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O: نحتاج إيجاد مناظرات النقاط

- مناظرة E: نقطة E' على [CD) بحيث O منتصف [EE']

- مناظرة A: C

- مناظرة O: O (نفسها)

⇒ مناظرة القطعة EAO هي: القطعة E'CO ✅

°2) \((OE)\) يقطع \((CD)\) في نقطة F

أ- بيّن أن O منتصف [EF]

✅ البرهان:

🔍 بما أن ABCD مربع و O مركزه:

• E تقع على (AB)

• F تقع على (CD)

• (AB) ∥ (CD) (أضلاع متقابلة في المربع)

• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:

- مناظر (AB) هو (CD)

- مناظرة E (على AB) هي F (على CD)

⇒ O منتصف [EF] ✅

ب- عيّن النقطة I منتصف [BC] و النقطة J منتصف [AD]. بيّن أن I و O و J على استقامة واحدة

✅ البرهان:

🔍 في المربع ABCD:

• I منتصف [BC]

• J منتصف [AD]

• O مركز المربع

• القطعة [IJ] تصل منتصفي ضلعين متقابلين

• هذه القطعة تمر بمركز المربع O

⇒ I و O و J على استقامة واحدة ✅

🔥 خاصية: في المربع، المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين متقابلين يمر بالمركز

ج- بيّن أن AICJ متوازي أضلاع

✅ البرهان:

لنبرهن أن AICJ متوازي أضلاع باستخدام الأضلاع المتوازية:

الطريقة 1: إثبات (AI) ∥ (CJ) و (AJ) ∥ (CI)

• في المربع ABCD:
- I منتصف [BC]
- J منتصف [AD]

• في المثلث ABC:
- I منتصف [BC]
- لنعتبر M منتصف [AB]
- المستقيم (MI) يوازي (AC) (خاصية المستقيم الأوسط)

• بنفس الطريقة في المثلث ACD:
- J منتصف [AD]
- المستقيم يوازي (AC)

• لنثبت (AI) ∥ (CJ):
- نلاحظ أن AI و CJ متساويان في الطول
- وكلاهما يوازي نفس الاتجاه

الطريقة 2 (أبسط): باستخدام التناظر المركزي

• بما أن O مركز المربع و O على [IJ] (من السؤال السابق)
• في المربع: (AB) ∥ (CD) و (BC) ∥ (AD)
• I منتصف [BC] و J منتصف [AD]
• إذن: (AI) ∥ (CJ) (لأن كلاهما يوازي قطر المربع)
• و (IC) ∥ (AJ) (لأن كلاهما يوازي قطر المربع)

⇒ AICJ متوازي أضلاع (له ضلعان متقابلان متوازيان) ✅

📊 التمرين عدد 4 - مجموعات الأعداد 🎯

°1) أتمم بما يناسب:

\(\mathbb{Z}^* \cup \mathbb{Z}_{-} = ......\)

\(\mathbb{IN} \cap \mathbb{Z}_{-} = ......\)

\(\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{Z}^*_{+} = ......\)

\(\mathbb{Z}_{-} \cup \mathbb{Z}_{+} = ......\)

✅ الإجابات:

\(\mathbb{Z}^* \cup \mathbb{Z}_{-} = \mathbb{Z}_{-} \cup \mathbb{Z}^*_{+} = \mathbb{Z}\) (جميع الأعداد الصحيحة)

\(\mathbb{IN} \cap \mathbb{Z}_{-} = \{0\}\) (الصفر فقط مشترك)

\(\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{Z}^*_{+} = \mathbb{Z}^*_{+} = \mathbb{IN}^*\) (الأعداد الموجبة غير المنعدمة)

\(\mathbb{Z}_{-} \cup \mathbb{Z}_{+} = \mathbb{Z}\) (جميع الأعداد الصحيحة)

°2) لنعتبر المجموعة \(A = \{(-2); (-3); \left(-\frac{56}{8}\right); 0; 3; 5; \frac{6}{7}; (-\sqrt{25})\}\). حدد عناصر المجموعات التالية:

✅ الحل:

أولاً نبسط العناصر:

• \(-\frac{56}{8} = -7\)

• \(-\sqrt{25} = -5\)

• \(A = \{-2; -3; -7; 0; 3; 5; \frac{6}{7}; -5\}\)

أ-(

\(A \cap \mathbb{IN}^* = \{3, 5\}\) (الأعداد الطبيعية الموجبة)

\(A \cap \mathbb{Z}_{-} = \{-2, -3, -7, -5\}\) (الأعداد الصحيحة السالبة)

\(A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -3, -7, 0, 3, 5, -5\}\) (الأعداد الصحيحة)

ب- مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية \(x\) المنتمية لـ \(A\) حيث \(|x| = 3\)

\(|x| = 3\) يعني \(x = 3\) أو \(x = -3\)

\(B = \{3, -3\}\) ✅

ج- مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة المنتمية لـ \(A\) حيث \(|x| < 4\)

الأعداد السالبة: \(\{-2, -3, -7, -5\}\)

• \(|-2| = 2 < 4\) ✅

• \(|-3| = 3 < 4\) ✅

• \(|-7| = 7 > 4\) ❌

• \(|-5| = 5 > 4\) ❌

\(C = \{-2, -3\}\) ✅

🎯 فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي 🚀