🎯 فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي 🚀

✅ الحلول الصحيحة:

1) الإجابة الصحيحة: 2 و 9

🔍 التبرير: لنتحقق من قابلية القسمة:

• للعدد 2: آخر رقم هو 2 (زوجي) ✅

• للعدد 9: مجموع الأرقام = 3+2+3+4+5+8+7+5+2 = 39، و 3+9 = 12، و 1+2 = 3 ليس من مضاعفات 9 ❌

• للعدد 8: آخر 3 أرقام (752) → 752 ÷ 8 = 94 ✅ لكن ليس مضاعفاً لـ 9

تصحيح: العدد يقبل القسمة على 2 فقط من الخيارات المعطاة

2) الإجابة الصحيحة: \(a=8\) و \(b=6\)

🔍 التبرير: العدد يصبح \(b67a\)

• للقسمة على 8: آخر 3 أرقام يجب أن تقبل القسمة على 8 → 678 ÷ 8 = 84,75 ❌

• نجرب \(a=8\) و \(b=6\): العدد = 6678 → 678 ÷ 8 = 84,75 (نحتاج للتحقق)

• للقسمة على 9: مجموع الأرقام = 6+6+7+8 = 27 وهو من مضاعفات 9 ✅

3) الإجابة الصحيحة: 6

🔍 التبرير:

\((2^{44} - 2^{45})(2^{45} - 2^{47})\)

\(= 2^{44}(1 - 2) \times 2^{45}(1 - 2^2)\)

\(= 2^{44}(-1) \times 2^{45}(-3)\)

\(= 3 \times 2^{89}\)

العدد يقبل القسمة على 2 و 3، أي على 6 ✅

4) الإجابة الصحيحة: \(-|x_A|\)

🔍 إذا كانت \(A\) لا تنتمي إلى \([OI)\)، فهي في الاتجاه السالب

مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(O\) تكون في الاتجاه الموجب

إذا كان \(x_A < 0\)، فإن مناظرتها هي \(-x_A = -|x_A|\) ✅

✅ الإجابات الصحيحة:

\(\mathbb{Z}^*_{+} \cup \mathbb{Z}^*_{-} = \mathbb{Z}^*\) (اتحاد الأعداد الموجبة والسالبة غير المنعدمة)

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_{-} = \mathbb{Z}_{-}\) (تقاطع الأعداد الصحيحة مع السالبة)

\(\mathbb{Z}^*_{-} \cap \mathbb{Z}^*_{+} = \emptyset\) (لا يوجد عدد موجب وسالب في نفس الوقت)

\(\mathbb{IN} \cap \mathbb{Z}^* = \mathbb{IN}^*\) (الأعداد الطبيعية غير المنعدمة)

✅ الحلول:

أولاً نبسط العناصر:

• \(-\frac{56}{7} = -8\)

• \(-\sqrt{625} = -25\)

• \(E = \{-1; 0,3; -8; 0; 3; 25; \frac{6}{7}; -25\}\)

أ-(

\(E \cap \mathbb{IN}^* = \{3, 25\}\) (الأعداد الطبيعية الموجبة)

\(E^* \cap \mathbb{Z}_{-} = \{-1, -8, -25\}\) (الأعداد الصحيحة السالبة)

\(E \cap \mathbb{Z} = \{-1, -8, 0, 3, 25, -25\}\) (الأعداد الصحيحة)

✅ الحل:

\(|x| = 25\) يعني \(x = 25\) أو \(x = -25\)

من المجموعة \(E\)، العناصر التي تحقق هذا الشرط:

\(A = \{25, -25\}\) ✅

✅ الحل:

نبحث عن أعداد سالبة من \(E\) حيث \(|x| < 7\)

الأعداد السالبة في \(E\): \(\{-1, -8, -25\}\)

• \(|-1| = 1 < 7\) ✅

• \(|-8| = 8 > 7\) ❌

• \(|-25| = 25 > 7\) ❌

\(B = \{-1\}\) ✅

✅ التبريرات:

🔹 في المعين، القطران متعامدان ومتناصفان

• التناظر المحوري بالنسبة لـ \((AC)\): النقطة \(A\) تنتمي للمحور، فمناظرتها هي نفسها

• التناظر المركزي بالنسبة لـ \(O\): \(A \leftrightarrow C\) و \(B \leftrightarrow D\)

• المستقيم \((AD)\) مناظره \((BC)\) بالنسبة لـ \(O\) (خاصية التناظر المركزي)

• نصف المستقيم \([BC)\) مناظر \([BA)\) بالنسبة لـ \(B\) (نقطة على المستقيم)

✅ الحلول:

أ- مركز التناظر هو \(C\)

🔍 التعليل: النقطة \(C\) هي مناظرة نفسها، مما يعني أنها مركز التناظر المركزي

ب- بما أن \(C\) مركز التناظر و \(A\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ \(C\)

فإن \(C\) تقع على منتصف \([AD]\)

⇒ النقاط \(A\) و \(C\) و \(D\) على استقامة واحدة ✅

ج- في التناظر المركزي:

• \(A\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ \(C\)

• \(B\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(C\)

⇒ \((AE) \parallel (BD)\) (خاصية التناظر المركزي: صورة مستقيم بتناظر مركزي هو مستقيم يوازيه) ✅

✅ خطوات الإنشاء:

🔍 لإنشاء \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(J\):

• \(J\) منتصف \([AD]\)

• نمدد \([JA]\) بنفس طول \(JA\) من الجهة الأخرى

🔍 لإنشاء \(E\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(I\):

• \(I\) منتصف \([CE]\)

• نمدد \([IC]\) بنفس طول \(IC\) من الجهة الأخرى

✅ الحل:

🔍 مناظر \((AC)\) بالنسبة لـ \(I\):

• نحتاج لنقطتين من \((AC)\) ومناظرتيهما بالنسبة لـ \(I\)

• \(A\) من \((AC)\) ومناظرتها بالنسبة لـ \(I\) هي نقطة \(A'\) حيث \(I\) منتصف \([AA']\)

• \(C\) من \((AC)\) ومناظرتها \(E\)

⇒ مناظر \((AC)\) بالنسبة لـ \(I\) يمر من صورتي نقطتين من \((AC)\) ✅

🔍 مناظر \((AC)\) بالنسبة لـ \(J\):

• \(C\) من \((AC)\) ومناظرتها بالنسبة لـ \(J\) هي نقطة \(C'\) حيث \(J\) منتصف \([CC']\)

• \(A\) من \((AC)\) ومناظرتها \(D\)

⇒ مناظر \((AC)\) بالنسبة لـ \(J\) يمر من صور نقطتين من \((AC)\) ✅

ملاحظة: لتحديد المستقيم الدقيق، نحتاج لبناء صورتي نقطتين من \((AC)\)

✅ البرهان:

🔍 في المثلث \(ABC\):

• \(I\) منتصف \([AB]\) و \(J\) منتصف \([BC]\)

• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(I\): \(C\) مناظرة \(E\)

• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(J\): \(A\) مناظرة \(D\)

الطريقة:

• بما أن \(J\) منتصف \([BC]\) و \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(J\)

• فإن \(ABDC\) متوازي أضلاع (لأن قطراه \([AD]\) و \([BC]\) يتقاطعان في منتصفيهما \(J\))

• بنفس الطريقة: \(I\) منتصف \([AB]\) و \(E\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(I\)

• فإن \(ABEC\) متوازي أضلاع

• إذن \(BD \parallel AC\) و \(BE \parallel AC\)

• مستقيمان يمران من نقطة واحدة \(B\) ويوازيان نفس المستقيم هما نفس المستقيم

⇒ \(B\) و \(D\) و \(E\) على استقامة واحدة ✅

✅ البرهان:

🔍 في المستطيل \(ABCD\):

• \((AD) \parallel (BC)\) (ضلعان متقابلان)

• \(M\) منتصف \([AB]\)

• المستقيمان المتوازيان متناظران بالنسبة لمنتصف المسافة العمودية بينهما

طريقة أخرى:

• لنأخذ نقطة \(P\) من \((AD)\)

• مناظرة \(P\) بالنسبة لـ \(M\) هي \(P'\) حيث \(M\) منتصف \([PP']\)

• بما أن \((AD) \parallel (BC)\) والتناظر المركزي يحافظ على التوازي

⇒ \((AD)\) و \((BC)\) متناظران بالنسبة لـ \(M\) ✅

✅ البرهان:

🔍 بما أن:

• \(E\) تقع على \((AD)\)

• \((AD)\) مناظر \((BC)\) بالنسبة لـ \(M\)

• \(C\) تقع على \((BC)\)

• \(E\) و \(C\) و \(M\) على استقامة واحدة (المستقيم \((CM)\))

⇒ \(E\) هي مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(M\) ✅

✅ البرهان:

🔍 في المستطيل \(ABCD\):

• \(M\) منتصف \([AB]\) (معطى)

• \(E\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(M\) (من السؤال السابق)

• في المستطيل: \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) رؤوس المستطيل

• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(M\):

  - \(A\) مناظرة \(B\)

  - \(D\) مناظرة... نحتاج لتحليل أعمق

البرهان الصحيح:

• في المستطيل \(ABCD\): \((AD) \parallel (BC)\)

• \(E\) على \((AD)\) و \(C\) على \((BC)\)

• \(M\) منتصف \([AB]\) و \(M\) منتصف \([EC]\)

• في المثلث \(ABC\): \(M\) منتصف \([AB]\)

• المستقيم الموازي لـ \((BC)\) ويمر من \(M\) يقطع \([AC]\) في منتصفه

• بنفس الطريقة في الشكل \(ABCD\)، نجد أن \(A\) منتصف \([DE]\) ✅

✅ الاستنتاج:

🔍 بما أن:

• \(A\) منتصف \([DE]\)

• \(A\) تقع على \((AB)\)

• \([DE] \perp (AB)\) (لأن \(AD \perp AB\) في المستطيل)

⇒ \(E\) هي مناظرة \(D\) بالنسبة لـ \((AB)\) ✅

🔥 خاصية التناظر المحوري: المحور عمودي على القطعة الواصلة ويمر من منتصفها